2017-2018学年北师大版八年级数学上册课件：平行线的证明

1、第七章 平行线的证明 1 为什么要证明,证明的必要性,注意： 判断结论对与否，不能仅凭眼观察，也不可以想当然.,解：不同意.理由如下： 当x=1，2，3，4时， . 但当x=-1时， . 所以并非任意实数x，都能使代数式 的值小于0. 所以正确的说法为对于任意实数x，代数式 的值都不大于0.,例1 当x=1，2，3，4时，代数式 的值都小于0，李明说：“对于任意实数x，代数式 的值都小于0.”你同意李明的说法吗？为什么？,要说明一个结论是否正确，仅靠验算是不够的，需要进行有根有据的推理，利用我们已学过的数学知识，可以判断一部分数学结论是否正确.,检验数学结论的常用方法,注意： 举反例要举出“符

2、合条件，但不符合结论”的例子，不要举出符合结论却不符合条件的例子，也不要举出条件、结论都不符合的例子.,例2 判断下列结论是否正确，如果不正确，请举出一个反例. （1）若|a|=|b|，则a=b； （2）如果ab0，那么a，b都是正数.,解：（1）不正确.反例：|-10|=|10|，但-1010. （2）不正确.反例：(-2)(-3)=60，但-2，-3都不是正数.,举反例是说明某个数学结论错误的常用方法.,不经论证，仅靠视觉猜测得出错误结论,例3 如图7-1-1（1）中的四边形的对边是平行的吗？图7-1-1（2）中的每一对横线呢？请你先观察，再判断，然后利用直尺验证你的结论是否正确. （1）

3、 （2） 图7-1-1,解：图7-1-1（1）中的四边形的对边是平行的. 图7-1-1（2）中的每一对横线都是平行的.,仅靠观察直觉得出的结论未必正确，在本题的两个图形中，看上去都不平行，但通过测量可知是平行的.所以在判断一个数学结论是否正确时，必须进行有根有据的推理.,题型一 实践验证结论,例4 先观察，再验证： （1）图7-1-2（1）中的两条线段a与b哪一条更长？ （2）图7-1-2（2）中的AB与CD平行吗？ （1） （2） 图7-1-2,解：（1）a与b一样长.（2）AB与CD平行.,分析：（1）用直尺量；（2）用三角尺平推.,题型二 从特殊到一般解决规律探究问题,例5 观察下列等式

4、： 12231=13221；13341=14331； 23352=25332；34473=37443； 62286=68226； 根据上述等式填空： （1）52_=_ 25； （2）_396=693 _ .,63,275,36,572,思路导图,题型三 推理在生活中的实际应用,例6 某商场失窃，大量的商品在一夜间被罪犯用汽车运走.甲、乙、丙三名嫌疑犯被警察局传讯，警察局已经掌握了以下事实：（1）罪犯不在甲、乙、丙三人之外；（2）丙作案时总会有甲作从犯；（3）乙不会开车.在此案中，能肯定的作案对象是嫌疑犯（ ） A.乙 B.丙 C.甲 D.甲和丙,C,思路导图,解析：假设作案对象中有乙，由“大量

5、的商品在夜间被罪犯用汽车运走”及“乙不会开车”这两个条件，可知乙不会单独作案.又由“罪犯不在甲、乙、丙三人之外”，可知乙一定得请甲或丙共同作案，而若请丙，由条件（2）可知必定还要再请甲，所以在此假设下，甲一定是作案对象.若作案对象中没有乙，由条件（1）可知作案对象一定是甲或丙.若作案对象不是丙，则作案对象一定是甲.由此可知，无论作案对象中有没有乙，都能肯定甲参与了作案.故选C.,解读中考：,本节的主要内容是判断一个数学结论正确与否，在进行判断时需有根有据的推理.中考中经常需要通过“推理”来验证数学结论或推导结论.,第七章 平行线的证明 2 定义与命题,定义的概念,例1 下列语句属于定义的是 (

6、 ) A.两点之间线段最短 B.25的平方根是5 C.同旁内角互补 D.含有两个未知数，并且未知数的次数是1的整式方程是二元一次方程,解析：正确的一句话不一定是定义，只有对名称或术语的含义加以描述的句子才是定义.故选D.,定义是对名称或术语的含义加以描述，而不是对其性质加以判断.,命题的概念,例2 下列语句是命题的是（ ） A.连接A，B两点 B.用三角尺画AOB=30 C.两点之间，线段最短 D.一个数的立方大于它本身吗?,解析：选项A，B，D都没有对一件事情作出任何判断，故都不是命题.选项C作出了判断，是命题.故选C.,巧记乐背：,判断事情的句子叫命题， 命题有真有假居其一， 证明真命题要

7、靠推理， 证明假命题要举反例.,公理、定理、证明的概念,公理与定理的异同,相同点：（1）都是真命题；（2）都可以作为证明其他命题的依据. 不同点：公理的真实性是通过长期实践被证实的，不需要推理证明，而定理的真实性必须经过推理证明.,例3 下列说法不正确的是（ ） A.证实命题正确与否的推理过程叫作证明 B.定理是可以从理论上进行推理证明的 C.公理的正确与否必须用推理的方法来证实 D.证明命题的真假时每一步都必须有依据,解析：A.是证明的定义，故不符合题意；B.经过证明的真命题叫作定理，故不符合题意；C.公理是公认的真命题，不用证明，故符合题意；D.是演绎推理的要求，故不符合题意.故选C.,公

8、理是不需要推理证明的公认的真命题，定理是需要用推理的方法来证明的真命题.,对公理、定理的概念理解错误,例4 下列命题是假命题的是（ ） A.定理都是命题 B.公理都是命题 C.命题都是定理 D.定义可作为推理的依据,解析：定理、公理都是命题，定义可作为推理的依据，故A，B，D都正确，但命题有真有假，不一定是定理，故C是假命题.故选C.,本题由于对命题、定理、公理的定义，以及它们之间的联系与区别理解错误而易误选其他选项.,混淆命题的条件与结论,例5 指出下列命题的条件和结论： (1)一个锐角的补角大于这个角的余角； (2)异号两数相加得0.,解：(1)条件：一个角是锐角；结论：这个角的补角大于这

9、个角的余角. (2)条件：两个数异号；结论：这两个数相加得0.,写出一个命题的条件和结论，最好的方法是先将命题改写为“如果那么”的形式，由于不能正确地将命题写成“如果那么”的形式，故易混淆命题的条件和结论.,题型一 命题的定义以及写出命题的条件和结论,例6 在下列句子中，哪些是命题？哪些不是命题？若是命题，请先改写成“如果那么”的形式，再分别找出命题的条件和结论. （1）和为90的两个角互为余角. （2）-8小于-6吗？ （3）乘积为1的两个数互为倒数.,思路导图 根据命题的定义判断以上句子是不是命题,将是命题的句子改写成“如果那么”的形式，再找出其条件和结论,解：（1）是命题. 改写：如果两

10、个角的和为90，那么这两个角互为余角. 条件：两个角的和为90.结论：这两个角互为余角. （2）不是命题. （3）是命题. 改写：如果两个数的乘积为1，那么这两个数互为倒数. 条件：两个数的乘积为1.结论：这两个数互为倒数.,题型二 判断命题的真假,例7 “若线段AO=BO，则O是线段AB的中点”是真命题还是假命题？请说明理由.,解：假命题.理由如下： 如图7-2-1，在等腰三角形AOB中，AO=BO，但O不是线段AB的中点. 图7-2-1,题型三 推理证明题,例8 如图7-2-2，已知ABBD于点B，EDBD于点D，且AB=CD，BC=DE，那么AC与CE有什么关系？写出你的猜想，并证明.

11、图7-2-2,分析：AC与CE可能垂直且相等，可以通过证明ABC与CDE全等得ACE=90和AC=CE.,解：AC与CE垂直且相等.证明如下： 因为ABBD，EDBD，所以B=D=90. 又因为AB=CD，BC=DE，所以ABC CDE. 所以AC=CE，A=DCE. 因为A+B+ACB=180，所以A+ACB=90. 所以ACB+DCE=90，所以ACE=90. 即ACCE，所以AC与CE垂直且相等.,方法点拨：对于几何证明题，即便是很简单的，心中也要有思路，但是正规的步骤也是非常重要的.思路和步骤是相互依存的，有了正确的思路，再加上规范的步骤就能做好一道几何题.,解读中考：定义与命题是中考

12、必考内容之一，主要考查判断命题的真假，常常与其他知识综合考查，多以选择题、填空题的形式出现，属于简单题.,考点一 判断命题的真假,例9 （湖北襄阳中考）下列命题错误的是（ ） A.所有的实数都可用数轴上的点表示 B.等角的补角相等 C.无理数包括正无理数、0、负无理数 D.两点之间，线段最短,解析：因为所有的实数都可用数轴上的点表示，所以A中的命题正确；因为等角的补角相等，所以B中的命题正确；无理数包括正无理数和负无理数，0是有理数，所以C中的命题错误；两点之间，线段最短，所以D中的命题正确.故选C.,考点二 举反例说明一个命题是假命题,例10 （浙江宁波中考）能说明命题“对于任何实数a，|a

13、|-a”是假命题的一个反例可以是（ ） A.a=-2 B.a=13 C.a=1 D.a=2,解析：当a=-2时，|a|=2，-a=2，所以|a|=-a.故选A.,核心素养,例11 请判断下列命题的真假性，若是假命题请举反例说明. （1）若ab，则 ； （2）两个无理数的和仍是无理数； （3）若一个三角形的三边长a，b，c满足（a-b）（b-c）（c-a）=0，则这个三角形是等边三角形； （4）若三条线段a，b，c满足a+bc，则这三条线段a， b，c能够组成三角形.,解：（1）若ab，则 ，是假命题. 反例：0-1，但 . （2）两个无理数的和仍是无理数，是假命题. 反例：-2+2=0，和是有

14、理数. （3）若一个三角形的三边长a，b，c满足（a-b）（b-c）（c-a）=0，则这个三角形是等边三角形，是假命题.反例：当一个三角形的三边长a,b,c满足a=b，bc时，（a-b）（b-c）（c-a）=0，三角形是等腰三角形. （4）若三条线段a，b，c满足a+bc，则这三条线段a，b，c能够组成三角形，是假命题.反例：三条线段a=3，b=2，c=1满足a+bc，但这三条线段不能组成三角形.,第七章 平行线的证明 3 平行线的判定,与平行线有关的基本事实,例1 如图7-3-1，已知ab，bc.试说明ac. 图7-3-1,解：因为ab，所以1=90. 因为bc，所以2=90. 所以1=2，

15、 所以ac（同位角相等，两直线平行）.,平行线的判定定理,判定两条平行线， 经常使用几方案. 一由定义去判定， 共面没有公共点. 二是基本事实判别法， 同位角等平行现. 三用定理去判定， 内错角等平行现， 同旁内角互补证.,平行线的其他判定方法 （1）在同一平面内，平行于同一条直线的两条直线平行. （2）在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行.,例2 如图7-3-2，B=C，B+D=180，试问：AB与CD平行吗？BC与DE平行吗？若平行，请说明理由. 图7-3-2,解：AB与CD平行.理由如下： 因为B=C（已知）， 所以ABCD（内错角相等，两直线平行）. BC与DE平行.理由如下：

16、 因为B=C，B+D=180（已知）， 所以C+D=180（等量代换）， 所以BCDE（同旁内角互补，两直线平行）.,不能准确识别截线和被截线,例3 如图7-3-3，由下列条件可判定哪两条直线平行？ （1）1=3； （2）2=4. 图7-3-3,解：（1）由1=3可判定DACB. （2）由2=4可判定DCAB.,平行线的判定方法中，由同位角相等、内错角相等或同旁内角互补推出的两条直线平行实际上就是组成这三种角的两条被截线平行，与其他直线无关.有些同学做题时分不清这一点而导致错误.,题型一 判定两直线平行,例4 如图7-3-4，下列能判定ABEF的条件有（ ） （1）B+BFE=180； （2）

17、1=2； （3）3=4； （4）B=5. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个,图7-3-4,解析：由（1）能推出ABEF，故符合题意；由（2）能推出DEBC，故不符合题意；由（3）能推出ABEF，故符合题意；由（4）能推出ABEF，故符合题意.故 选C.,题型二 平行线判定定理的实际应用,例5 如图7-3-5，在海上有两个观测所A和B，且观测所B在A的正东方向.若在A观测所测得船M的航行方向是北偏东54，在B观测所测得船N的航行方向也是北偏东54，则船M的航向AM与船N的航向BN是否平行？请说明理由.,图7-3-5,思路导图 由条件推出MACNBC,因为MAC与NBC是同位角，所以利用同位

18、角相等，两直线平行进行判定,解：船M的航向AM与船N的航向BN平行.理由如下： 如图7-3-6，由题意，得DAC=EBC=90，1=2=54， 所以DAC-1=EBC-2， 即MAC=NBC=36. 所以AMBN（同位角相等，两直线平行）. 即船M的航向AM与船N的航向BN平行.,图7-3-6,题型三 通过作辅助线说明两直线平行,例6 有一段如图7-3-7的公路，其中BCD=B+D，那么这一段公路中的BA与DE平行吗？请说明理由. 图7-3-7,解：BADE.理由如下： 如图7-3-7，过点C作BCF=B，则BACF（内错角相等，两直线平行）. 又因为BCD=B+D（已知）， 所以DCF=BC

19、D-BCF=BCD-B=D（等式的性质、等量代换）， 所以CFDE（内错角相等，两直线平行）. 所以BADE（如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）.,方法点拨：添加辅助线的技巧：添加辅助线是解决几何论证和计算问题的重要方法之一，它能架起已知和未知之间的桥梁，一旦架起这座桥梁，问题往往就可以迎刃而解.然而添加辅助线并不是什么容易的事，一般都是因题而异，因此这也成为几何学习中的一个难点.在通过作辅助线说明两直线平行时，一般可以作出某些直线的平行线，以构造角之间的相等或互补关系，为解决问题创造条件.,解读中考：本节内容在中考中主要考查两直线平行的三种判定方法，常以选择题、填空题

20、的形式出现.,考点一 判定两直线平行,例7 （内蒙古赤峰中考）如图7-3-9，工人师傅在工程施工中，需在同一平面内弯制一个变形管道ABCD，使其拐角ABC=150，BCD=30，则（ ） A. ABBC B. BCCD C. ABDC D. AB与CD相交,解析：因为ABC=150，BCD=30，所以ABC+BCD=180，所以ABDC.故选C.,核心素养 通过对平行线判定定理的学习，我们进一步体会数学的严谨性.,例8 如图7-3-10，点E在线段CD上，AE，BE分别平分DAB和CBA，EAB+EBA=90，设AD=x，BC=y，且 +|y-4|=0. （1）求AD和BC的长. （2）你认为

21、AD和BC还有什么关系？证明你的结论. 图7-3-10,解：（1）因为 +|y-4|=0， 所以x-3=0，y-4=0，解得x=3，y=4. 所以AD=3，BC=4. （2）ADBC.证明如下： 因为AE，BE分别平分DAB和CBA， 所以DAE=EAB，CBE=EBA. 因为EAB+EBA=90， 所以DAE+EBC=90. 所以EAB+EBA+DAE+EBC=90+90=180， 即DAB+ABC=180， 所以ADBC.,第七章 平行线的证明 4 平行线的性质,平行线的性质定理,（1）平行线的判定与性质的区别与联系： 两角间的数量关系判定性质两直线间的位置关系，由此可知判定与性质之间的关

22、系是一种互逆的关系. （2）平行线的性质定理的补充： 夹在两条平行线间的平行线段（或垂线段）相等. 垂直于两平行线之一的直线必垂直于另一条直线.,例1 如图7-4-1，已知ABCD，直线EF分别交AB，CD于点M，N，MP平分EMB，NQ平分MND.请分别写出AMN与MND，BMN与MND，EMP与MNQ之间的大小关系，并说明理由. 图7-4-1,解：AMN=MND，BMN+MND=180，EMP=MNQ.理由如下： 因为ABCD(已知)， 所以AMN=MND（两直线平行，内错角相等）， BMN+MND=180（两直线平行，同旁内角互补）， EMB=MND(两直线平行，同位角相等). 因为MP

23、平分EMB，NQ平分MND(已知)， 所以EMP= EMB，MNQ= MND(角平分线的定义). 所以EMP=MNQ(等量代换).,两直线平行，会有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补的结论.应该用哪个，则要看所求的角或所证的结论与哪一个有关，这要根据题目的其他已知条件、隐含条件来加以判断.,平行线的性质（判定）定理4,注意：此定理的条件是平行，结论也是平行，根据平行线的性质和判定的结构特点，此定理既是平行线的性质定理，又是平行线的判定定理.,例2 如图7-4-2，ABDC，在AD上取一点E，过点E作EFAB交BC于点F，试说明EF与DC的位置关系，并说明理由. 图7-4-2,解：EFDC.理

24、由如下： 因为ABDC，EFAB，所以EFDC.,混淆平行线的性质定理与判定定理,B.因为1=2（已知），所以DEBC（同位角相等，两直线平行） C.因为1=2（已知），所以DEBC（两直线平行，内错角相等） D.因为CED+C=180（已知），所以DEBC（同旁内角互补，两直线平行）,例3 在图7-4-3中，李伟同学作了四个推理，其中正确的是（ ） A.因为DEBC（已知），所以ADE=ABC（同位角相等，两直线平行）,图7-4-3,解析：由DEBC可得ADE=ABC，依据应是平行线的性质而非判定，所以A不符合题意；1与2是内错角，而不是同位角，所以B不符合题意；由1=2可得DEBC，依据应

25、是平行线的判定而非性质，所以C不符合题意；只有D符合题意.故选D.,从两角间的数量关系得到两直线平行，依据是平行线的判定；由平行关系得到角的相等或互补关系，依据是平行线的性质.本题中容易混淆平行线的判定与性质而误选A或C.,题型一 运用平行线的性质进行证明或计算,例4 如图7-4-4，已知ABCD，BD平分ABC，交AC于点O，CE平分DCG，ACE=90.证明：BDAC. 图7-4-4,证明：因为ABCD（已知）， 所以ABC=DCG（两直线平行，同位角相等）. 因为BD平分ABC，CE平分DCG（已知）， 所以DBC= ABC，ECG= DCG（角平分线的定义）. 所以DBC=ECG（等量

26、代换）， 所以BDCE（同位角相等，两直线平行）， 所以BOC=ACE（两直线平行，内错角相等）. 又因为ACE=90（已知）， 所以BOC=90（等量代换）， 所以BDAC（垂直的定义）.,题型二 平行线的性质和判定的综合运用,例5 如图7-4-5，ADBC于点D，EFBC于点F，3=C，则1和2有怎样的大小关系？请说明理由. 图7-4-5,解：1=2.理由如下： 因为ADBC，EFBC(已知)， 所以ADB=EFB=90， 所以ADEF(同位角相等，两直线平行)， 所以1=4(两直线平行，同位角相等). 又因为3=C(已知)， 所以ACGD(同位角相等，两直线平行)， 所以2=4(两直线平行，内错角相等). 所以1=2.,题型三 应用平行线的性质解决实际问题,例6 如图7-4-6，C岛在A岛的北偏东50方向，C岛在B岛的北偏西40方向，则从C岛看A，B两岛的视角ACB等于多少度？ 图7-4-6,思路导图 过点C作南北方向线，由题意知NAC与CBN的度数,由平行线的性质定理，求得ACB的度数,解：如图7-4-6，过点C作南北方向线CD，则CDAN，CDBN， 所以ACD=CAN，BCD=CBN. 又因为C岛在A岛的北偏东50方向，C岛在B岛的北偏西40方向， 所以CAN