哈工程-随机信号分析-PPT精选文档

1、1,随机信号分析,2,第二章 随机过程,噪声电压的起伏波形,3,2.1 随机过程的基本概念及其统计特性 定义1：设随机试验E的样本空间S,若对每个元素S，总有确知的时间函数X(t,),tT与它相对应；这样，对于所有的S，就可以得到一族时间t的函数，将其称为随机过程。族中的每一个函数称为该过程的样本函数。 特定实验结果 一个确知的时间函数 定义2：若对于每个特定的时间 都是随机变量，则称 为随机过程。 一个特定时间 一个取决于的随机变量,4,5,随机过程X(t)在四种不同情况下的含义,6,2.1.2随机过程的分类 一、按X(t)的时间和状态是离散还是连续进行分类 1、连续型随机过程任意的 都是连

2、续型随机变量； 2、离散型随机过程任意的 都是离散型随机变量； 3、连续随机序列任意离散时刻的状态是连续型随机变量； 4、离散随机序列随机过程的时间和状态都是连续的,7,二、按随机过程的样本函数的形式不同进行分类 1、不确定性随机过程样本函数的未来值不能由过去的观测值准确预测； 2、确定性随机过程样本函数的未来值可以由过去的观测值预测；,8,三、按随机过程X(t)的的分布函数或概率密度的不同特性分类,9,2.1.3随机过程的概率分布,时刻采样，得到一族随机变量,10,将对随机变量的研究推广到随机过程中去。 一、一维概率分布 随机过程在任一特定时刻 取样得到随机变量 ，其概率分布为 称作随机过程

3、X(t)的一维分布函数。 求偏导数数可得 称作随机过程X(t)的一维概率密度。,11,随机过程的一维分布函数和一维概率密度具有一维随机变量的一维分布函数和一维概率密度的各种性质； 随机过程的一维分布函数和一维概率密度还是时间t的函数； 随机过程的一维分布函数和一维概率密度描述该随机过程在任一孤立时刻取值的统计特性。 二、二维概率密度 随机过程X(t)的二维分布函数为,12,随机过程X(t)的二维概率密度为,三、n维概率分布 随机过程X(t)的n维分布函数为 随机过程X(t)的n维概率密度为,13,随机过程X(t)的n维分布函数的主要性质：,5、,4、,3、,2、,1、,14,6、如果 统计独立

4、，则有,15,2.1.4 随机过程的数字特征 在实际应用中，要确定随机过程的概率分布族，并加以分析，常比较困难； 随机变量的数字概念推广到随机过程中去； 随机过程数字特征通常不再是确定数值，而是确定的时间函数。 一、数学期望 随机过程X(t)在任意一个时刻t的取值是一个随机变量X(t)，将其任意取值x(t)简计为x，由随机变量的数学期望定义可得 为时间的确定函数，称为随机过程的数学期望。,16,随机过程X(t)的数学期望,17,二、均方值和方差 随机变量X(t)的二阶原点矩 为随机过程X(t)的均方值。 随机变量X(t)的二阶中心矩 为随机过程X(t)的方差。 为中心化随机过程。 均方值和方差

5、都是t的确定函数； 方差描述了诸样本对于其数学期望的偏离程度；,18,二、自相关函数,具有相同数学期望和方差的两个不同的随机过程,19,具有相同数学期望和方差的两个不同的随机过程,20,自相关函数是用来描述随机过程任意两个时刻的状态之间内在联系的重要特征。 随机过程的自相关函数定义为 相关函数反映了X(t)在任意两个时刻的状态之间的相关程度。 当 时,21,随机过程的协方差函数为 协方差函数描述了在任意两个时刻的起伏值之间的相关程度。 协方差函数与相关函数之间的关系：,22,当 时，有 推导可得 数学期望和相关函数是随机过程两个最基本的数字特征，其它数字特征都可以通过二者间接求得。,23,【例

6、题】分析正弦型随机相位信号,解：,24,25,2.1.5随机过程的特征函数 概率密度和特征函数是一对傅立叶变换。利用特征函数可以简化运算。 一、一维特征函数 称为随机过程X(t)的一维特征函数。 一维特征函数的傅立叶反变换为,26,随机过程X(t)的n阶原点矩函数为 二、二维随机过程 称为随机过程X(t)的二维特征函数。 其傅立叶反变换为,27,随机过程X(t)的相关函数可表示为 三、随机过程的n维特征函数 称为随机过程X(t)的n维特征函数。,28,傅立叶反变换为,29,2.2平稳性随机过程和遍历性过程 2.2.1平稳随机过程 一、严平稳随机过程及其数字特征 1、严平稳随机过程的定义 设有随

7、机过程X(t)，若它的n维概率密度不随时间起点的选择的不同而改变，即对于任何的n和，过程X(t)的n维概率密度满足 则称X(t)为严平稳随机过程或狭义平稳过程。 严平稳随机过程的统计特性与所选取的时间起点无关。,30,1、严平稳随机过程的一、二维概率密度及数字特征 （1）若X(t)是严平稳随机过程，则它的一维概率密度与时间无关 令 可得 进一步可求得 均值 均方值 方差,31,（2）严平稳随机过程二维概率密度只与t1、t2的时间间隔有关，而与时间起点无关。 令 可得 这时过程X(t)的自相关函数为 协方差函数为 当t1t2，即0时,32,二、宽平稳随机过程 满足 则称X(t)为宽平稳随机过程或

8、广义平稳随机过程。 只涉及与一、二维概率密度有关的数字特征； 严平稳过程只要均方值有界，则它必定是宽平稳的，反之不一定成立； 正态随机过程的宽平稳与严平稳是等价的。,33,2.2.2遍历性过程,34,具有遍历性的随机过程X(t),35,一、遍历性过程的定义 1、严遍历性过程的定义 如果一个随机过程X(t),它的各种时间平均依概率1收敛于响应的集合平均，则称过程X(t)具有严格遍历性或侠义遍历性，并称此过程为严格遍历性过程或侠义遍历性过程，简称严遍历过程。 2、随机过程的时间平均 对随机过程X(t)沿整个时间轴的下列两种时间平均 分别称为过程X(t)的时间均值和时间相关函数。,36,3、遍历性过

9、程的定义 设X(t)是一个平稳随机过程 如果 依概率1成立，则称过程X(t)的均值具有遍历性。 如果 依概率1成立，称过程X(t)的自相关函数具有遍历性。 若在0时，上式成立，则称过程X(t)的均方值具有遍历性。 如果过程X(t)的均值和自相关函数都具有遍历性。则称X(t)是宽遍历性过程或广义遍历性过程，简称遍历性过程。,37,二、遍历性的实际意义 任一样本函数的时间平均可以代替整个过程的统计平均； 遍历过程的一、二阶距函数具有明确的物理意义；,电压信号,直流分量,总平均功率,交流平均功率,电压有效值,38,二、随机过程具有遍历性的条件 1、随机过程必须是平稳的。 时间均值必定是一个与时间无关

10、的常数。 时间相关函数必定只是时间差的函数。所以是平稳随机过程。 平稳随机过程不一定具有遍历性，如图X(t)具有平稳性，但不具有遍历性。,39,不具备遍历性的平稳过程,40,2、平稳随机过程X(t)的均值具有遍历性的充要条件为 证明： 是随样本函数不同而变化的随机变量，其数学期望为 对于平稳过程X(t)，可得,41,的方差为 变量替换可得,42,由X(t)的遍历性可得 于是，由切比雪夫不等式，有 即， 依概率收敛于 。因 由方差性质可知， 依概率1成立。 3、自相关函数的遍历性定理。 平稳随机过程X(t)的自相关函数具有遍历性的充要条件为,43,令 ，就可得到均方值具有遍历性的充要条件。 4、

11、对于正态平稳随机过程，若均值为零，自相关函数 连续，则可以证明此过程具有遍历性的一个充分条件为,44,2.2.3 平稳随机过程相关函数的性质 一、平稳随机过程自相关函数的性质,1,2,证：,3,45,证：正函数的数学期望恒为非负值，即,在零点以外也可能有最大值,46,4 周期平稳随机过程的自相关函数必为周期函数，且它的周期与过程的周期相同。,5 若平稳随机过程含有一个周期分量，则自相关函数也含有一个同周期的周期分量。,47,6 平稳随机过程中不含有任何周期分量，则,证：,48,证：,7 若平稳过程含有平均分量（均值），则相关函数也将含有平均分量，且等于均值的平方，即,49,8 平稳随机过程的自

12、相关函数必须满足,二、平稳过程的相关系数和相关时间 1 相关系数,1 相关时间,50,【例题】已知平稳随机过程X（t）的自相关函数为,求均值、均方差和方差。 解：,51,2.3随机过程的联合概率分布和互相关函数 2.3.1两个随机过程的联合概率分布 随机过程X(t)和Y(t)的多维概率密度分别为 定义两个随机过程的多维联合分布函数为,52,定义两个随机过程多维联合概率函数为 如果 则称随机过程是相互独立的。 如果两个随机过程的联合概率密度不随时间变化，即与时间起点无关，则称此过程为联合严平稳或严平稳相依过程。,53,2.3.2互相关函数 互相关函数的定义为 互协方差函数定义为 互相关函数与互协

13、方差存在如下关系,54,随机过程正交 随机过程的不相关 若果随机过程 则称随机过程 X(t) 和 Y(t) 为联合宽平稳或宽平稳相依。 宽平稳随机过程的互相关函数的性质： 1、,55,2、 3、 4、 归一化相关函数或标准互协方差函数,56,时间互相关函数定义为 如果 称过程 X(t) 和 Y(t) 具有联合宽遍历性。 例题：设两个连续时间相位随机信号 其中 为常数， 在 上均匀分布，求互协方差函数。,57,2.4复随机过程 2.4.1复随机变量 复随机变量定义为 数字特征推广到复随机变量时必须遵循的原则是：在特殊情况下，即当Y0时，Z的数字特征应该等于随机变量X的数字特征。 复随机变量的数学

14、期望,58,复随机变量的方差 复随机变量Z1和Z2的相关矩 两个随机变量独立 Z1 和 Z2 相互独立,59,两个随机变量不相关 Z1 和 Z2 不相关 两个随机变量正交 Z1 和 Z2 正交,60,2.4.2复随机过程 复随机过程的定义 其概率密度为 其数学期望为 其方差为,61,其自相关函数为和协方差函数 平稳复随机过程,62,复平稳随机过程的互相关函数和互协方差函数 复平稳随机过程的不相关 复平稳随机过程的正交,63,2.5正态随机过程 2.5.1正态随机过程的一般概念 正态随机过程X(t)的n维概率密度为 式中 是n维向量， 是n维矩阵。,64,正态随机过程的n维概率密度只取决于其一、

15、二阶矩函数数学期望和方差,65,2.5.2平稳正态随机过程 若 此正态随机过程称为广义平稳随机过程。,66,n维概率密度为,67,2.5.3正态随机过程的性质 1、正态随机过程的n维概率密度完全取决于它的均值集合和协方差函数集合。 2、正态过程的宽平稳与严平稳等价。 3、如果正态随机过程X(t)在n个不同时刻 采样，所得一组随机变量 为两两互不相关，即 则，这些随机变量也是相互独立的。,68,证明：X(t)的n维概率密度为,69,4、平稳正态随机过程X(t)与确定性信号之和的概率分布仍为正态分布。 证明：s(t)的概率密度可以表示为 Y(t)的一维概率密度为 故合成信号的一维概率密度也是正态的

16、。 同理，合成信号的二维概率密度为 合成信号的一维概率密度也是正态的。n维概率密度也是正态的。,70,5、若 为n维正态随机变量，又 均方收敛于 即对每个i有 则X也是正态分布的随机矢量。 6、若正态随机过程 在T上是均方可微的，则 也是正态过程。 7、若正态随机过程 在T上是均方可微的，则 是正态随机过程。,71,【例题】设随机过程 其中A与B是两个独立的正态随机变量。且有EA=EB=0， 而 为常数。求此过程的一、二维概率密度。 解：正态随机变量的线性组合仍为正态随机变量； 正态随机变量的概率密度只由均值和协方差确定。 X(t)的均值为,72,X(t)的相关函数为 因为 所以,73,X(t

17、)的均方值和均方差为 因此，X(t)为平稳随机过程。一维概率密度为 为求二维概率密度只要再求相关系数,74,X(t)的二维概率密度为,75,本章小结,随机过程的基本概念及其统计特性 定义、分类、概率分布、数字特征,平稳随机过程和遍历性过程 平稳性、遍历性、自相关函数的性质,随机过程的联合概率分布和互相关函数 联合概率分布、互相关函数,复随机过程 复随机过程定义、数字特征、相关函数,正态随机过程 正态平稳随机过程的平稳性、性质,随机过程,76,习题 习题2-6：设随机过程X(t),其中0为常数，；A与B是相互独立的正态随机变量，且有EA=EB=0,EA2=EB2=2。试求X（t）的均值与自相关函

18、数。,77,习题 习题2-13：已知随机过程X(t)和常数a，试以X（t）的自相关函数表示出另一随机过程Y（t）=X（t+a）-X（t）的自相关函数。,78,习题 习题2-21：已知随机过程X(t),其中0为常数，；A与是相互独立的随机变量，概率密度分别为,试问X（t）是否为广义平稳？为什么？,79,习题 习题2-22：若两个随机过程X(t)、Y(t)非平稳过程 其中A(t)、B(t)为相互独立，各自平稳的随机过程，且它们的均值皆为零，自相关函数相等。 试证：这两个过程之和Z(t)=X(t)+Y(t)是宽平稳的。,80,习题 习题2-30：平稳随机过程X(t)的自相关函数为,求过程的均值和方差。,81,习题 习题2-34：已知随机过程,其中a和0为常数，是在（-，）上均匀分布的随机变量。现定义一个新的随机过