一次函数与二元一次方程组

1、,两条直线互相平行，有 交点； 两条直线重合，有 交点； 两条直线相交，有 交点；,0个,无数个,一个,知识源于悟,x+y=5这是什么？,一次函数,这是怎么回事？,二元一次方程,同学的争论,方程x+y=5可以转化为,任意一个二元一次方程都可以转化成y=kx+b的形式,所以每个二元一次方程都对应一个一次函数.,归纳:,思考：是不是任意的二元一次方程都能进行这样的转换呢？,y=5-x,(1)方程X+Y=5的解有 无数多个解 , (0,5) 、(5,0) 、(1,4) 等.,(2)在直角坐标系中分别描出以这些解为坐标的点,它们都在函数Y=5-X上吗?,(0,5) 、(5,0) 、(1,4) 都在函数

2、Y=5-X的图象上.,(3)在一次函数Y=5-X的图象上任取一个点,它的坐标适合方程X+Y=5吗?,在一次函数Y=5-X的图象上任取一个点(0,5),它的 坐标适合方程X+Y=5.,过(0,5) 、(5,0) 两点的直线图象与一次函数Y=5-X 的图象相同.,(4)以方程X+Y=5的解为坐标的所有的点所组 成的图象与一次函数Y=5-X的图象相同吗 ?,师:通过以上结论,你能分析研究出二元一次方程与一次函数图象的关系吗?,生:二元一次方程的解就是一次函数图象的点的坐标;一次函数图象上的点的坐标就是二元一次方程的解.,明确,二元一次方程与一次函数的基本关系,1) 在同一直角坐标系中分别作一次函数Y

3、=5-X和Y=2X-1的图象,这两个图象有交点吗?,在同一直角坐标系中一次函数Y=5-X和Y=2X-1的图象有交点，交点坐标是（2，3）。交点的横纵坐标即为方程组的解。,这说明可以利用相应两个函数图象的交点坐标值求对应方程组的近似解。,P(2,2),y=2x-2,由（2）得 y=2x-2,x=0时y=-2,x=1时y=0, 当,可作出Y=2X-2的图象,x=0时y=1,x=-2时y=0, 当,解 由（1）得,可作出 的图象,过点(0,1)，(-2,0),过点(0,-2)，(1,0),观察图象得交点为(2, 2),你一定能行的！,1、一次函数y=5-x与y=2x-1图象的交点为(2,3), 则方

4、程组 的解为 .,2、若二元一次方程组 的解为 , 则函数 与 的图象的交点坐标为 .,（2，2）,3根据下列图象，你能说出是哪些方程组的解?这些解是什么?,求直线 与 直线的交点坐标。你有哪些方法?与同伴交流，并一起分析各种方法的利弊,解法思路2：由解方程组，得到交点坐标(把形的问题归结为数的解决，便捷准确),解法思路l：画出图象找出交点，确定交点坐标近似值(因作图误差可能有较大差别),探究,归纳1,一次函数与二元一次方程都表示的是数量关系，只是呈现的形式不同。,归纳2,二元一次方程的解对应着相应的直线上点的坐标；直线上点的坐标也对应着相应的二元一次方程的解。,归纳3,二元一次方程组中的两个

5、二元一次方程分别对应着两个一次函数，也就对应着两条直线；,二元一次方程组的解实际上就是对应的两条直线的交点坐标。,例3：老师为了教学，需要在家上网查资料。电信公司 提供了两种上网收费方式： 方式 A ：按上网时间以每分钟 0.1 元计费； 方式 B ：月租费 20 元，再按上网时间 以每分钟 0.05 元计费。 请同学们帮老师选择：以何种方式上网更合算？,一次函数 与 二元一次方程组,拓展与延伸,o,y/元,x /分,20,400,200,y1 =0.1x,y 2=0.05x+20,40,30,在同一坐标系中分别画出这两个函数的图像：,当 x = 400 时, y1 = y2,当 x400 时

6、, y1 y2,当 0 x400 时, y1 y2,y1=0.1x,y2=0.05x+20,解法1：设上网时间为 x 分，若按方式 A 则收 元； 若按方式 B 则收 元。,y1=0.1x,y2=0.05x+20,由函数图像得： 当 时，y0， 即选方式 省钱； 当 时，y=0， 即选方式A、B ； 当 时，y0， 即选方式 省钱；,400,y=0.05x+20,20,解法2：设上网时间为x分，方式B与方式 A两种计费的差额为y元,则y随x变化的函数关系式为 . 化简得 。,在直角坐标系中画出这个函数的图像：,y=(0.05x+20) 0.1x,y=0.05x +20,0 x400,X=400

7、,X400,A,B,一样,下面两种移动电话计费方式：,用函数方法解答如何选择计费方式更省钱。,方式一费用： y1 = 0.3x + 30,方式二费用： y2 = 0.4x,两种计费差额为 ： y = y1y2 = 0.1x + 30,当 0 x 300 分时，y0 ，y1y2 ，方式二省钱,当 x = 300 分时，y =0 ，y1 =y2 ， 方式一、二一样,当 x 300分时，y0 ，y1y2 ，方式一省钱,一次函数 与 二元一次方程组,谈谈你的收获与困惑？,反思提高,知识的升华,1) 二元一次方程与一次函数的区别与联系,二元一次方程的解是一次函数上点的坐标; 一次函数上每一个点的坐标就是

8、二元一次方程的一组解.,2) 二元一次方程组的解法总共学习了哪几种?,加减法;代入法;图象法.,3) 方法归纳,用图象法解二元一次方程组 优点:方法简便,形象直观;体现了数形结合思想. 不足:一般情况下求出的是近似数;要想精确还要用代 数方法,进行细致计算.,一次函数 与 二元一次方程组,课堂作业,1、用图象法解方程组,（1） （2）,再见,探究学习,(1)把二元一次方程y-x=1 写成一次函数y=_的形式,活动一:探究一次函数与二元一次方程的关系,2、你能找出方程的几组解吗?,3、把以这几组解为坐标的点在坐标系上描出来，你发现了什么?,x+1,1、画出一次函数y=x+1的图像,4、以二元一次

9、方程y-x=1的所有解为坐标的点都在一次函数y=x+1的图像上吗？,探究,y=x+1,即: 二元一次方程 (数) 相应的一次函数的图象一条直线 (形),对应,结论: 以二元一次方程的解为坐标的点都在相应的函数图象上.反过来, 一次函数图象上的点的坐标都是相应的二元一次方程的解.,(1)在同一直角坐标系中画出方程 y+x=1对应的直线,探究学习,活动二:探究一次函数与二元一次方程组的关系,是否任意两个一次函数的交点坐标都是它们所对应的二元一次方程组的解？,y=-x+1,探究,y=x+1,y=-x+1,(0,1),y=x+1,y=-x+1,(0,1),自变量为何值时，这两个一次函数的值相等 ？函数

10、值是什么？,从数的角度看：,从形的角度看：,1、以方程2x-y=1的解为坐标的点都在 一次函数 _的图像上。 2、方程组 的解是 ，由此可知一 次函数 与 的图像必有一个交点， 且交点坐标是 。,一次函数 与 二元一次方程组,体验成功喜悦,活动三: 巩固练习,y=2x-1,y=x+4,y=-3x+16,(6，2),3、根据下列图象，你能说出它表示哪个方程组的解？这个解是什么？,活动三: 巩固练习,4:用图象法解方程组：,解：,由得:,由得:,作出图象：,观察图象得：交点为(3,-2),方程组的解为,二元一次方程组的解与以这两个方程所对应的一次函数图象的交点坐标相对应。,由此可得: 二元一次方程

11、组的图象解法.,写函数，作图象，找交点，下结论,作出图象：,观察图象得：交点(1.7,1.7),方程组的解为,精确！,图象法：,你有哪些方法？,3、解方程组,代数法：,方程组的解为,用作图象的方法可以直观地获得问题的结果,但有时却难以准确.为了获得准确的结果,我们一般用代数方法.,近似！,作 业,必做题：,一次函数 与 二元一次方程组,1、课本129页第6题和第8题。,2、上海世博会以“城市，让生活更美好”为主题。为了响应号召，某校甲、乙两班同学参加植树活动。已知甲班每小时植树20棵，乙班每小时植树24棵。由于某些原因，甲班植完8棵后，乙班才开始，你认为哪个班植树棵树多？,思考:我们知道,在同

12、一平面内,两条直线的位置关系是相交和平行,若两条直线平行,则它们所对应的方程组的解会怎么样?(选做）,谢谢倾听,敬请指导,某一天，小明和小亮同时从家里出发去县城，速度分别为2.5千米/时，4千米/时.小亮家离县城25千米，小明家在小亮家去县城的路上，离小亮家5千米.,（1） 你能分别写出小明、小亮离小亮家的距离y (千米)与行走时间x（小时）的函数关系吗？,小明离小亮家的距离y=2.5x+5,小亮离自己家的距离 y=4x,（2） 在同一直角坐标系中分别画出上述两个函数的图象， 如下图表示.,x(小时),y(千米),5,10,20,25,30,35,1,2,3,4,5,6,7,0,y = 4x,

13、y=2.5x+5,（2） 你能从图中看出，在出发后几个小时小亮追上小明吗？,x(小时),y(千米),5,10,20,25,30,35,1,2,3,4,5,6,7,0,y = 4x,y=2.5x+5,p,两条射线的交点P的横坐标约为3.3，因此在出发后约3.3小时，小亮追上了小明.,x(小时),y(千米),5,10,20,25,30,35,1,2,3,4,5,6,7,0,M,l,y = 4x,y=2.5x+5,（2） 你能从图中看出，谁先到达县城吗？,如图所示，过M(0，25)作射线l与x轴平行，它先与射线y=4x相交，这表明小亮先到达县城.,上述例子的第(3)个问题中，小亮追上小明的时间是所绘

14、直角坐标系中两条射线 y= 2.5 x + 5 与 y = 4 x 的交点P的横坐标，而交点P的坐标是下述二元一次方程组的解：,上述例子就是通过在同一个直角坐标系中，分别画出y= 2.5 x + 5 与 y = 4 x 的图象，求出交点坐标，从而得出二元一次方程组的近似值. 这种解二元一次方程组的方法叫做图像法.,利用函数图象解方程组：,如图，在同一直角坐标系内作出一次函数y=2x的图象l1 和一次函数 图象l2。,由2x-y=0可得 y=2x,由3x+2y=7可得,观察图形得l1与l2的交点为（1，2）,所以方程组 的 解为,解：,例：,求直线y=3x+9与直线y=2x-7的交点坐标，你有哪

15、些方法？这些方法有哪些利弊？, 将方程组中各方程化为y=kx+b的形式 画出各个一次函数的图象 由交点坐标得出方程组的解。,图象法解方程组的步骤：,仔细想一想？,根据下列图象，你能说出是哪些方程组的解？这些解是什么？,数学问题之间的转化,解方程组,求两条直线的交点坐标,求自变量为何值时函数值相等，函数值为多少？,一家电信公司给顾客提供两种上网收费方式：方式A以每分0.1元的价格按上网时间记费；方式B除收月基费20元外再以每分0.05元的价格按上网时间记费。如何选择收费方式能使上网者更合算？,解：设上网时间为x分，若按方式A则收y1 =0.1x元；若按方式B则收 y2 =0.05x+20元。,解方程组 y=0.1x y=0.05x+20 得 x=400 y=40 所以两图象交于点(400，40).,由图象易知： 当0 x400时 ，即选择方式A省钱； 当x=400时，即选择方式A，B没有区别； 当x400时，即选择方式B省钱。,画出函数图象。,y1 = y2,拓展,一家电信公司给顾客提供两种上网收费方式：方式A以每分0.1元的价格按上网时间记费；方式B除收月基费20元外再以每分0.05元的价格按上网时间记费。如何选择收费方式能使上网者更合算？,解：设上网时间