§1.2 行列式的性质与计算.ppt

1、性质1.2.1,一、行列式的性质,行列式与其转置行列式的值相等.,1.2 行列式的性质与计算,设,行列式 DT 称为行列式 D 的转置行列式.,记,那么,性质1.2.3,推论1.2.1 若行列式两行（列）对应元素相同,则行列式的值为0.,互换行列式的两行（列）元素，行列式的值仅改变符号.,行列式等于它的任意一行（列）的各元素与其对应,或,的代数余子式乘积之和，即,性质1.2.2,(按任一行展开),解：,用性质计算行列式,= 5 x - 45,= 5x - 55,+(-2+12),1、2行互换，相邻两行互换,行列式变号.,1、i 行互换，行列式变号.,i、 j行互换，行列式变号.,数 k ,推论

2、1.2.2 行列式中某一行（列）的公因子可以提到行列式,性质1.2.4,等于用数 k 乘此行列式的值.,把行列式的某一行（列）中的各元素都乘以同一常,符号外面.,推论1.2.3 若行列式中有两行(列)元素对应成比例，则此行列式值为零.,若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和 ，,例如第j列,性质1.2.5,则此行列式等于下面两个行列式之和 .,行列式某一行（列）元素的同一倍数加到另,一行（列）对应元素上去，例如第j列的k倍加到第i列上,行列式的值不变.,性质1.2.6,修改教材P11 性质1.2.6,例1,解：,用性质计算行列式,上节例4 中 计算四阶行列式,例1,解：,边简化 边降阶,练习

3、 1,练习2,解： 从第 4 行开始，后行减前行得，,例2,解：,加边法,-r1 +r2 -r1 +r3 -r1 +r4 -r1 +r5,x=0或y=0时 ,D=0;否则D=,二、行列式的计算,例 3 计算行列式,解:其余各行累加到第一行上，,用性质计算行列式,各行都减第一行的 x 倍,第一行提取公因子( a+3x ),用性质计算行列式,一般地，可以计算,请牢记这种方法，这类题就这种做法。,背,背,背,用性质计算行列式,例 4 设,用性质计算行列式,例5 设,的(i ,j) 元的余子式和代数余子式依次记作Mij和Aij ，求,(1) A11 +A12+ A13+ A14 (2) M11 +M2

4、1 +M31+ M41,*行列式展开定理的另一个用法,解:(1 )可知A11 +A12+ A13+ A14 等于用1,1,1,1代替第一行所得的行列式,A11 +A12+ A13+ A14 =,( 2) M11 +M21 +M31+ M41 =A11 - A21+ A31 - A41,r3 + r4,-2r3 + r1,行列式某一行（列）的元素与,或,另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零. 即,定理1 (展开定理的推论),(展开定理) 行列式等于它的任意一行（列）的各,或,元素与其对应的代数余子式乘积之和，即,性质2,定理1,证明:,i行,j行,的第j行各元的代数余子式记作Ajk

5、，k=1,2,n, 与1的第j行各元的代数余子式相同,将1按第j行展开,展开式即为所证.,依照等式左端构造行列式D1,例6 设4阶行列式的第2列元素依次为2，m, k, 3,第2列元素的代数余子式分别为-1，-1，-1，-1，第4列元素的代数余子式依次为3，1，4，2，且该行列式的值为1，求m, k 的值.,解：,由行列式的展开定理和推论知,*行列式展开定理及推论的用法,m =-4, k=-2,关于范德蒙行列式注意三点,例7 范德蒙（Vandermonde ） 行列式,1.形式:按升幂排列,幂指数成等差数列. 2.结果:可为正可为负可为零. 3.共n(n -1)/2项的乘积.,你能识别出范德蒙

6、行列式吗？,你会用范德蒙行列式的结果做题吗？,如,范德蒙行列式 有几种变形?,例 计算行列式,解,证 用数学归纳法.,所以当 n=2 时（*）式成立.,假设对于 n 1 阶范德蒙, x1ri -1 +ri , i = n , n 1 , 2 ,有,因为,对 n 阶范德蒙行列式做运算,行列式等式成立.,按第 1 列展开后，各列提取公因子( xi - x1 ) 得,椐归纳法假设，可得,归纳法完成.,三、拉普拉斯(Laplace)定理,定义2 k阶子式,k阶子式的代数余子式,定理2 （拉普拉斯定理）设D是n阶行列式，取定k(0kn)行，则含于此k行的所有k阶子式与其代数余子式的乘积之和等于D.,例8

7、 计算行列式,按第2，5列展开,按前3行展开,一般地,例. 计算行列式,关键问题,1.性质4 2.性质6 3.定理1的推论:行列式的某行(列)的元素与另外一行(列)对应元素的代数余子式乘积之和为零 4.范德蒙行列式有什么特点?有几种变形?,思考题答案 1.思考题：n阶行列式的展开式中有几项?各项是如何组成的?,答: 有n!项. 每项从不同行不同列选取一个元素(共n个)的乘积; 符号为:当行标为标准顺序时,列标的逆序数为偶数符号为正,否则为负.,作业和思考题,1. 用性质灵活地计算一个行列式 ，如(B) 1(3,4) 2. 思考题：3阶行列式，只有1和-1作为元素， 行列式最大值为多少？（选择4，5，6）并说明理由 。,1.掌握行列式的性质； 2.会对性质和按行（列）展开定理初步地应用； 3.掌握范德蒙