圆中垂径定理

1、24.1.2 垂径定理,杏坪中学 陈久军,赵州桥是我国隋代建造的石拱桥, 它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？,赵州桥主桥拱的半径是多少？,问题情境,O,A,B,C,D,E,把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？,活动一,可以发现： 圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴,如图，AB是O的一条弦，做直径CD，使CDAB，垂足为E （1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？ （2）你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？,O,A,B,C

2、,D,E,活 动 二,（1）是轴对称图形直径CD所在的直线是它的对称轴,（2） 线段： AE=BE,O,A,B,C,D,E,几何语言表达,AM=BM,CDAB,几何语言表达,垂径定理的几个基本图形,1如图，在O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求O的半径,O,A,B,E,解：,答：O的半径为5cm.,在Rt AOE 中,练习,8cm,2半径为4cm的O中，弦AB=4cm, 那么圆心O到弦AB的距离是 。 3O的直径为10cm，圆心O到弦AB的 距离为3cm，则弦AB的长是 。 4半径为2cm的圆中，过半径中点且 垂直于这条半径的弦长是 。,练习,方法归纳:,解决有关弦的问题时

3、，经常连结半径；过圆心作弦的垂线段，为应用垂径定理创造条件。,已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点。 求证：ACBD。,练 习,判断下列说法的正误,平分弧的直径必平分弧所对的( ),平分弦的直线必垂直弦 ( ),垂直于弦的直径平分这条弦( ),平分弦的直径垂直于这条弦( ),弦的垂直平分线是圆的直径 ( ),平分弦所对的一条弧的直径必垂直这条弦( ),在圆中，如果一条直线经过圆心且平分弦， 必平分此弦所对的弧 ( ),辨别是非,2如图，在O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，ODAB于D，OEAC于E，求证四边形ADOE是正方形,证明：,四边形ADOE为矩

4、形，,又AC=AB, AE=AD, 四边形ADOE为正方形.,R,D,18.7,例、赵州桥是我国隋代建造的石拱桥, 它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，求主桥拱的半径。,O,A,B,C,如图，用 表示桥拱， 所在圆的圆心为O，半径为Rm， 经过圆心O作弦AB的垂线OD，D为垂足，与 相交于点C.根 据垂径定理，D是AB的中点，C是 的中点，CD就是拱高. 由题设知,在RtOAD中，由勾股定理，得,解得 R27.9（m）.,答：赵州石拱桥的桥拱半径约为27.9m.,R-7.2,18.7,例、赵州桥是我国隋代建造的石拱桥, 它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，求主桥拱的半径。,3、 某地有一座圆弧形拱桥圆心为，桥下水面宽度为.2 m ，过O 作OC AB 于D， 交圆弧于C，CD=2.4m， 现有一艘宽3m，船舱顶部为方形并高出水面（AB）2m的货船要经过拱桥