卡方检验秩和检验

1、2 检验Chi-square test, 2 检验(Chi-square test)是现代统计学的创始人之一，英国人K . Pearson（1857-1936）于1900年提出的一种具有广泛用途的统计方法，可用于两个或多个率间的比较，计数资料的关联度分析，拟合优度检验等等。,目的： 推断两个总体率或构成比之间有无差别 推断多个总体率或构成比之间有无差别 多个样本率比较的分割和趋势检验 两个分类变量之间有无关联性 频数分布拟合优度的检验 检验统计量： 应用：计数资料,四格表资料的基本形式,一、卡方检验的基本思想,表1 两种疗法治疗心血管疾病的病死率比较,P1P2,H0:1=2 H1:12,表1

2、两种疗法治疗心血管疾病的病死率比较,实际频数A (actual frequency) ( a、 b、 c、 d) 理论频数T( theoretical frequency)（H0:1=2=Pc）： a的T 11= (a +b ) pc= (a + b) ( a + c)/ n= n R n C /n =21.3 b的T 12=(a+b)(1-pc)= (a + b) ( b + d)/ n = n R n C /n =182.7 c的T21 = (c + d) pc= ( c + d) ( a +c )/ n =n R n C/n =6.7 d的T22 =(c+d)(1-pc)= ( c +

3、d )(b + d)/ n =n R n C/n =57.3,通过构造A与T吻合程度的统计量来反映两样本率的差别!,实际数A 理论数T,各种情形下，理论与实际偏离的总和即为卡方值（chi-square value）,它服从自由度为的卡方分布。,（1） 分布是一种连续型分布：按分布的密度函数可给出自由度=1，2，3，的一簇分布曲线 。 （2） 分布的一个基本性质是可加性： 如果两个独立的随机变量X1和X2分别服从自由度1和2的分布，即 ，那么它们的和（ X1+X2 ）服从自由度（ 1+2 ）的 分布，即 。,卡方表给出了自由度取不同值时， 分布单侧尾部面积的界值 ，它满足条件 根据的定义，当自由

4、度 时， 分布的界值为标准正态分布界值的平方，即四格表的双侧z检验与 检验等价,二、 2检验的基本公式,上述基本公式由Pearson提出，因此软件上常称这种检验为Pearson卡方检验，下面将要介绍的其他卡方检验公式都是在此基础上发展起来的。它不仅适用于四格表资料，也适用于其它的“行列表”。,式中，A为实际频数（actual frequency）， T为理论频数（theoretical frequency）。,检验统计量 值反映了实际频数与理论频数的吻合程度。 若检验假设H0:1=2成立，四个格子的实际频数A 与理论频数T 相差不应该很大，即统计量 不应该很大。 如果 值很大，即相对应的P 值

5、很小，若P，则反过来推断A与T 相差太大，超出了抽样误差允许的范围，从而怀疑H0 的正确性，继而拒绝H0，接受其对立假设H1，即1 2 。,由公式还可以看出： 值的大小还取决于 个数的多少（严格地说是自由度 的大小）。由于各 皆是正值，故自由度 愈大， 值也会愈大；所以只有考虑了自由度的影响， 值才能正确地反映实际频数A和理论频数T 的吻合程度。 检验的自由度取决于可以自由取值的格子数目，而不是样本含量n。 四格表资料只有两行两列， =1，即在周边合计数固定的情况下，4个基本数据当中只有一个可以自由取值。,（1）建立检验假设：假设两总体率相等 H0：两种疗法病死率相同，即1=2； H1：两种疗

6、法有病死率不同，即12； 0.05。,2检验的步骤,表1 两种疗法治疗心血管疾病的病死率比较,（2）计算检验统计量：实际数与理论数的差值服从2分布,自由度为1的2分布界值,0.0,0.1,0.2,0.3,0.4,0.5,（3）查 2 分布界值表确定 P 值并作出推论,按 = (2-1)(2-1)= 1查附表3，2界值表，得P 0.05，差异有统计学意义，按=0.05水准拒绝H0，可以认为两组治疗方案的总体病死率不同。,为了不计算理论频数T, 可由基本公式推导出，直接由各格子的实际频数（a、b、c、d）计算卡方值的公式：,三、四格表专用公式,2(1) u2 2.194924.82（n 40，所有

7、T5时）,四、连续性校正公式, 2分布是连续性分布，而四格表资料属分类资料，不连续；计算所得 偏大，对应概率 P 偏小，增加了I类错误概率。 当n40，且T5 时，用前述基本公式 当n40，而1T5时，用连续性校正公式 (3)当n40，或T1时，用Fisher精确检验(Fisher exact test ),校正公式：,连续性校正仅用于 的四格表资料，当 时（多行多列），一般不作校正。,例 将116例癫痫患者随机分为两组，一组70例接受常规加高压氧治疗（高压氧组），另一组46例接受常规治疗（常规组），治疗结果见表。问两种疗法的有效率有无差别？,本例 ，故用四格表资料 检验的校正公式,，查 界值

8、表得 。按 检验水准不拒绝 ，尚不能认为组有效率不等。,本资料若不校正时， 结论与之相反。,五、四格表的确切概率检验法,在四格表 2 检验中，若n40，或有理论频数T1，采用Fisher确切概率法。,六、配对四格表资料的2检验,配对四格表资料的2检验也称McNemar检验（McNemars test）,H0：B=C，两种药物的致死率相同； H1：BC，两种药物的致死率不同； =0.05。,两个例子,1.把已确诊的乳腺癌患者120名随机分为两组，每组60人。分别用两种方法分别检查。甲法的检出率为60%，乙法检出率为50%。 问:两种方法何者为优？,2.分别用两种方法检查已确诊的乳腺癌患者120名

9、。甲法的检出率为60%，乙法检出率为50%，甲乙两法阳性一致的检出率为35%。 问:两种方法何者为优？,七、行列（RC）表资料的2检验,RC表的2检验通用公式,1. 多个样本率的比较,例 ：用三种不同治疗方法治疗慢性支气管炎的疗效如表3，试比较三种治疗方法治疗慢性支气管炎的疗效。,表3 三种不同治疗方法治疗慢性支气管炎的疗效,卡方检验的步骤：,1. 建立检验假设：假设两总体率相等 H0：三种治疗方法的疗效相同，即1=2=3 ； H1： 1 ， 2 ， 3 不全相等； 0.05。 2. 计算统计量： 3. 确定P值，下结论 查卡方界值表， ，p0.05，差异有统计学意义。按 =0.05拒绝 H0

10、 ，可认为三种药物的治疗效果不全相同。,2.多个构成比的比较 例 某研究人员收集了亚洲、欧洲和北美洲的A、B、AB、O血型资料，结果见表4，其目的是研究不同地区的人群血型分类构成比是否一样,RC 表的计算举例,表 4 三个不同地区血型样本的频数分布,3.多个样本率（构成比）的两两比较 若多个样本率（构成比）间直接用四格表 2 检验多重比较，会增加I类错误概率，1-(1- )n 故采用矫正 (1)多个实验组两两比较， ， k 为组数 (2)多个实验组与同一对照组比较， (3)插值法估计 对应的界值,R C 表 2 检验的应用注意事项,1. 对R C 表，若较多格子（1/5）的理论频数小于5 或有

11、一个格子的理论频数小于1，则易犯第一类错误。 出现某些格子中理论频数过小时怎么办？ （1）增大样本含量（最好） （2）删去该格所在的行或列（丢失信息） （3）根据专业知识将该格所在行或列与别的行或列合并（必须专业、合理）,2.多个率或构成比比较的 2 检验，结论为拒绝H0时，仅表示几组有差别，并非任两组之间都有差别。若要比较，可进行多重比较，可矫正检验水准，或采用2 分割法以及率的可信区间法。,3.多组比较时，若效应有强弱的等级（如+，+，+），2 检验只能反映其构成比有无差异，不能比较效应的优劣。最好采用非参数检验方法。 4.行列两种属性皆有序时，可用2趋势检验或关联性分析,表5 某药对两种

12、不同病情的支气管炎疗效比较,讨论：两种疗法治疗肺癌，出院后随访24个月。甲疗法治疗46例，乙疗法治疗58例，结果见下表，问两种疗法治疗肺癌病人的两年生存率是否相同？ 表 甲乙两种疗法治疗肺癌的2年生存率比较,A. B. C. D. E. 以上均不对,讨论：某医师要对甲、乙两疗法的疗效作比较，把患者随机分为两组，以两种方法治疗，得如下结果： 表 甲、乙两疗法的疗效比较,2.欲研究两疗法疗效的优劣，宜用: 【 】 A.秩和检验 B.4行2列的2检验 C.3行4列的2检验 D.成组t检验 E.配对t检验 3.上题中，欲研究治疗方法的治疗结果构成有否差别，可用【 】 A.秩和检验 B.行列表资料2检验

13、 C.标准化法 D.t检验 E.方差分析,非参数秩和检验,我们常常遇到以下一些资料，如需比较患者和正常人的血铁蛋白、血铅值等各项指标、护理效果评分、医疗质量评估等，这类资料有如下特点： （1）资料的总体分布类型未知； （2）资料分布类型已知，但不符合正态分布； （3）某些变量可能无法精确测量如等级资料。 对这类资料可以采用非参数统计检验：即不考虑总体分布类型是否已知，不比较总体参数，只比较总体分布的位置是否相同的统计方法。,已知总体分布类型，对未知参数（、）进行统计推断,对于符合参数统计分析条件的资料，采用非参数统计分析，其检验效能较低,适用范围广，可用于任何类型资料(等级资料),不受总体参数

14、的影响，比较分布或分布位置,对总体的分布类型不作任何要求,非参数统计 （nonparametric statistics）,依赖于特定分布类型，比较的是参数,参数统计 （parametric statistics）,秩和检验概述,基本思想：基于秩次（通过编秩，用秩次代替原始数据信息来进行检验） 即检验各组的平均秩是否相等。如果经检验得各组的平均秩不相等，则可以推论数据的分布不同，进一步可推论各分布间分布位置发生了平移,一、秩次与秩和,“秩”即按数据大小排定的次序号，又称秩次号。编秩就是将观察值按顺序由小到大排列，并用序号代替原始变量值本身。用秩次号代替原始数据后，所得某些秩次号之和，即按某种顺

15、序排列的序号之和，称为秩和。设有以下两组数据： A组 4.7 6.4 2.6 3.2 5.2 B组 1.7 2.6 3.6 2.3 3.7,两组各有5个变量值。现在依从小到大的顺序将它们排列起来，并标明秩次，结果如下： A组 2.6 3.2 4.7 5.2 6.4 B组 1.7 2.3 2.6 3.6 3.7 秩次 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10,原始值中有两个“2.6”，分属A、B组，它们的秩次应是3和4，然而它们的数值本来是同样大小的，哪组取“3”，哪组取“4”呢？我们计算它们的平均数（3+4）/2=3.5，作为“2.6”的秩次，称为“平均秩次”，这样才公平合理。这样两组所得的秩

16、次及秩和如下： A组 3.5 5 8 9 10 /35.5 B组 1 2 3.5 6 7 /19.5,上面A组和B组中各有五个原始值，按顺序排列：最小值设为1，再按绝对值大小对余下的变量逐个排序，最大值为两组变量个数之和10。依次可得1，2，3.5, 3.5, 5, 6, 7, 8, 9, 10。这10 个序号即是秩次。A组秩和就是等于3.5+5+8+9+10=39.5，B组秩和就是等于1+2+3.5+6+7=19.5。从两组的原始变量值也可以初步看出：A组偏大，B组偏小。现在得出的秩和也是A组大于B组，与由变量值所观察到的一致。,秩和检验,需要了解 两独立样本差别的秩和检验 配对设计资料的秩

17、检验 完全随机设计多组差别的秩和检验,秩和检验（rank sum test）：一类常用的非参数统计分析方法；基于数据的秩次与秩次之和,二、怎样编秩,编秩就是将观察值按顺序由小到大排列，并用序号代替原始变量值本身。不同的实验设计类型，有不同的编秩规则，,1.配对资料的编秩规则,按照配对设计，先求出对子之间的差值，按其差值的绝对值，从小到大进行排序，其序号即秩次，并在秩次之前保持原差值的正负号不变。编秩遇到差值为零时则舍去不编秩，对绝对值相等的差值取平均值，并在秩次之前保持原差值的正负号。一般来说，秩次最小为1，最大为对子数N，当有差值为零时，最大秩次等于对子数n减去差值为零的个数。,2.完全随机

18、设计的两组或多组资料的编秩规则,将各组变量依据从小到大的顺序进行排序，其序号即为秩次，如果有多个相等的变量值分布在同一组中，则按顺序依次对其编列秩次，如果有多个相等的变量值分布在不同组中，则按顺序排序然后取其平均秩次。,3.随机化区组设计资料的编秩规则(不要求掌握),先将各区组内数据从小到大排序编秩，遇到相等数据取平均秩次，再将各组的秩次相加就得到各组的秩和。,三、选用不同设计的秩和检验方法,首先要区分试验设计和资料的类型： 若是一个样本资料或者配对设计的资料， 来自非正态总体或总体分布无法确定，可选用wilcoxon符号秩和检验方法； 若是两组独立样本（成组）资料，来自非正态分布的定量资料或

19、有序二分类变量资料（等级资料）宜用wilcoxon秩和检验；,若是多组独立样本资料，来自非正态总体或方差不齐（转化后也不满足）的定量资料或者是有序多分类变量资料（等级资料）宜用Kruskal-Wallis秩和检验。 若是随机区组设计的自非正态总体或方差不齐（转化后也不满足）的定量资料，宜用Firedman秩和检验（不要求）。 各种类型的秩和检验通常有查表法和正态近似法两种计算方式，分别适用于不同样本量的资料。在相同秩次的个数大于样本量的25%时需要采用相应的公式进行校正。,1.两独立样本比较的秩和检验Wilcoxon rank sum test,对于计量数据，如果资料方差相等，且服从正态分布，

20、就可以用 t 检验比较两样本均数。 如果此前提不成立或不能确定是否成立，就应采用秩和检验来分析两样本是否来自同一总体。,如果两总体分布相同,基本思想,两样本来自同一总体,任一组秩和不应太大或太小,T 与平均秩和 应相差不大,假定：两组样本的总体分布位置形状相同, H0：两样本来自相同总体（总体分布相同）； H1：两样本来自不同总体（总体分布不同）。 =0.05, 编秩：两样本混合编秩次，求得T1、T2、T。 相同观察值（即相同秩，ties），不同组-平均秩次。, 确定P值作结论： 查表法 (n110，n2n110) 查附表9 如果T 位于检验界值区间内， ，不拒绝H0；否则， ，拒绝H0 本例

21、T =162，取=0.05，查附表9得双侧检验界值区间（91，159），T 位于区间外，P0.05，因此在=0.05的水平上，拒绝H0，接受H1。,正态近似法（超出查表范围）,*校正公式（当相同秩次较多时）,表9-5 两组人痰嗜酸性粒细胞的次和计算,频数表资料（等级资料的两样本比较）,1H0：两总体分布相同； H1：两总体分布不同； =0.05 2编秩,求各组秩和T；本例T 560.5 3,确定P值，下结论,配对设计资料的符号秩和检验（Wilcoxon signed rank test）,表9-1 白癜风病人的不同部位的白介素指标（u/ml),1H0：差值的总体中位数为零， H1：差值的总体中

22、位数不为零； =0.05 2求差值；依其绝对值从小到大编秩次 （i）绝对值相等者取平均秩次； （ii） 将差值的正负标在秩次之前； （iii）零差值时不参与编秩（对子数减1） 3分别求正负秩次之和，以绝对值较小者为T值 4根据统计量T确定对应的P值 （i）小样本时，查表（附表8） （ ii） 大样本时，正态近似,（i）小样本（n50）时，查附表,查表法界值的判断标准： TT0.05时，P0.05， TT0.05时，P0.05 本例：T=2 T0.05(8)333，P0.05，拒绝H0，故认为白斑部位与正常部位的白介素IL-1有差异。,（ii）大样本（n50）时，可采用正态近似,查标准正态分布表

23、，得P值校正公式：（当相同秩次个数较多时）,完全随机设计多个样本比较的秩和检验（Kruskal-Wallis法）,对于完全随机设计多组资料比较，如果不满足方差分析的条件，可采用Kruskal-Wallis秩和检验。 此法的基本思想与Wilcoxon-Mann-Whitney法相近：如果各组处理效应相同，混合编秩号后，各组的秩和应近似相等。,1.建立假设，确定检验水准 H0：多个总体分布相同。 H1：多个总体分布不全相同。 2.编秩：多组数据从小到大混合编秩。注意：遇不同组相同数据，取平均秩次。 3.求各组秩和：将各组秩次相加，即Ti，i表示组号。 4.计算检验统计量：,假设检验步骤,当有相同秩次时，H 需校正： 5.确定p值，得出结论： （1）当k=3，每组例数5，查H界值表。 （2）k3，ni5，近似服从 = k 1 的 2 分布，查2界值表,表 各组鼠脾DNA含量（mg）的秩和计算,建立假设检验 H0：四组鼠脾DNA含量的总体分布相同。 H1：四组鼠脾DNA含量的总体分布位置不全相同。 0.05 计算统计量,假设检验步骤,查表及结