勾股定理的应用（2课时）

1、14.2勾股定理的应用（2课时）,1、请叙述出勾股定理的具体内容。,2、使用勾股定理的条件有哪些？,如果直角三角形两直角边分别 为a、b,斜边为c，那么,直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。,直角三角形 已知两边或两边的关系,练习： 1.在ABC 中，B =90ABc，BCa，ACb。,若a = 9 ，b =15 ，则c = ； 若a =6，c =8，则b = ； 已知a:c =3:4, b =25,求c = 。,作图：,12,10,4,三、勾股定理的应用,（一） 直接运用勾股定理求边,3、若直角三角形的三边长分别为2、 4、 x，则x=_ ,2.已知直角三角形ABC中, (1)若AC=

2、8,AB=10,则 = _. (2) 若 =30,且BC=5,则AB=_ (3)若 =24,且BC=6,则AB边上的高为_,24,13,4.8,如图，学校有一块长方形花园，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花园内走出了一条“路”，仅仅少走了_步路, 却踩伤了花草。 （假设1米为2步）,如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”，仅仅少走了_步路, 却踩伤了花草。 （假设1米为2步）,如图，学校有一块长方形花园，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花园内走出了一条“路”，仅仅少走了_步路, 却踩伤了花草。 （假设1米为2步）,3,4,“路”,A,B,

3、C,5,几何画板演示,4,古代一个笑话，说有一个人拿一根杆子进城，横着拿， 不能进，竖着拿，也不能进，干脆将其折断，才解决 了问题，相信同学们不会这样做。,一个门框的尺寸如右图所示，一块 长3m，宽2.2m的薄木板能否从门框 内通过?为什么?,解: 连结AC 在RtABC中,AC2m 将薄木板的宽斜着放就可以通过此门框,练习：如图，从电杆离地面5米处向地面拉一条7米长 的钢缆,求地面钢缆固定点A到电杆底部B的距离 (结果保留1位小数),c,5米,7米,解:在RtABC中,答:所求的距离AB约为4.9米,【小结】掌握和灵活运用勾股定理,2、如图有两颗树，一棵高8m，另一棵高2m，两树相距8m，一

4、只小鸟从一棵树的树梢飞到 另一棵树的树梢，至少飞了多少米？,8m,2m,8m,A,B,C,D,E,今有池，方一丈，葭生其中央，出水一尺。引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何？ （葭（ji），是芦苇的意思。）,今有池，方一丈，葭生其中央，出水一尺。引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何？ （葭（ji），是芦苇的意思。）,B,A,D,C,解：由题意有：BC5尺，AB=AC+1。,即,解得：x12，得x+113。,5尺,x+1,x,设ACx尺，则AB（x+1）尺，,由勾股定理有：,在RtABC中，ACB=90，,答：水深12尺，芦苇长13尺。,如图，盒内长，宽，高分别是30米，24米和18米，盒内

5、可放的棍子最长是多少米？,18,30,24,及时练,思考题 1（05、江苏宿迁）如图，将一根25长的细木棒放入长、宽、高分别为8、6和10的长方体无盖盒子中，则细木棒露在盒外面的最短长度是,A,B,C,2.一种盛饮料的圆柱形杯（如图），测得内部底面直径为5，高为12，吸管放进杯里，杯口外面露出5，问吸管要做多长？,A,B,C,D,A,B,C,名题鉴赏,E,九章算术：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，请问这个水的深度与这根芦苇的长度各是多少？,1,勾股定理的应用,下图是学校的旗杆,旗杆

6、上的绳子垂到了地面,并多出了一段,旗杆有多高呢？,你能想个办法吗?请你与同伴交流设计方案?,小明发现旗杆上的绳子垂到地面还多1米，当他们把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，你能帮他们把旗杆的高度和绳子的长度计算出来吗？,A,B,C,x,x+1,例2.如图，一圆柱体的底面周长为20cm，高 为4cm，是上底面的直径一只蚂蚁从点A 出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，试求出爬行 的最短路程（精确到0.01cm）,解: 如右图，在Rt中， 底面周长的一半 cm，,答： 最短路程约为10.77cm,A,1、圆柱上的最短路程问题,C,一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到CD的中点O，试求出爬行

7、的最短路程。（精确到0.1）,4,3,O,我怎么走 会最近呢?,例1. 有一个圆柱,它的高等于12厘米,底面半径等于3厘米,在圆柱下底面上的A点有一只蚂蚁,它想从点A爬到点B , 蚂蚁沿着圆柱侧面爬行的最短路程是多少? (的值取3),高 12cm,B,A,长18cm (的值取3), AB2=92+122=81+144=225=, AB=15(cm),蚂蚁爬行的最短路程是15厘米.,152,如果盒子换成如图长为3cm，宽为2cm，高为1cm的长方体，蚂蚁沿着表面需要爬行的最短路程又是多少呢？,2、长方体的最短路程问题,3,2,1,分析：蚂蚁由A爬到B过程中较短的路线有多少种情况？,(1)经过前面

8、和上底面;,(2)经过前面和右面;,(3)经过左面和上底面.,(1)当蚂蚁经过前面和上底面时，如图，最短路程为,解:,AB,(2)当蚂蚁经过前面和右面时，如图，最短路程为,AB,(3)当蚂蚁经过左面和上底面时，如图，最短路程为,AB,最短路程为 ,小 结,、立体图形中路线最短的问题，往往是把立体图形展开，得到平面图形根据“两点之间，线段最短” 确定行走路线，根据勾股定理计算出最短距离 、在解决实际问题时，首先要画出适当的示意图，将实际问题抽象为数学问题，并构建直角三角形模型，再运用勾股定理解决实际问题,应用勾股定理解决实际问题的一般思路：,探索1（梯子问题）. 如图,一架长为10m的梯子AB斜

9、靠在墙上,梯子的顶端距地面的垂直距离为8m.如果梯子的顶端下滑1m,那么它的底端是否也滑动1 m?,A,B,C,所以梯子的顶端下滑1m，它的底端不是滑动1m.,10,8,A,B,如图,一个三米长的梯子AB,斜靠在一竖直的墙AO上,这时AO的距离为2.5m,如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5m,那么梯子底端B也外移0.5m吗?,思考,A,B,C,D,O,挑战“试一试”: 一辆装满货物的卡车，其外形高2.5米，宽1.6米，要开进厂门形状如图的某工厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门?说明理由。,2米,2.3米,O,C,D,分析,H,2米,2.3米,由于厂门宽度足够,所以卡车能否通过,只要看当卡车位于厂门

10、正中间时其高度是否小于CH如图所示,点D在离厂门中线0.8米处,且CDAB, 与地面交于H,解：,CD,CH0.62.3 2.9(米)2.5(米).,因此高度上有0.4米的余量，所以卡车能通过厂门,在RtOCD中，由勾股定理得,0.6米，,2米,2.3米,OC1米(大门宽度一半)， OD0.8米（卡车宽度一半）,一辆高米，宽米的卡车要通过一个半径为3 米的半圆形隧道，它能顺利通过吗？,探索与研究,O,A,.米,C,D,3.6米,B,AB2=3.62-1.22=12.96-1.44= 11.52,3.6,2.4,11.5232,所以能通过,网格问题,如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则

11、网格上的ABC三边的大小关系？,如图，小方格都是边长为1的正方形， 求四边形D的面积,网格问题,五、勾股定理的综合运用,勾股定理与其逆定理综合的问题,1.如图，在四边形ABCD中，B= AB=BC=4,CD=6,AD=2，求四边形ABCD的面积。,90,1、 有一块田地的形状和尺寸如图所示，试求它的面积。,A,B,C,D,5,面积问题,13,12,2.如图，在四边形ABCD中，B=900 AB=BC=4,CD=6,AD=2，求四边形ABCD的面积。,面积问题,6,2,4,4,如图，等边三角形ABC的边长是6 求ABC的面积,例2：在等腰ABC中，ABAC13cm ，BC=10cm,求ABC的面

12、积及AC边上的高。,A,B,C,D,13,13,10,H,做一做：,如图，在ABC中， AB=13，AD=12，AC=15, CD=9 求ABC的面积,探究1 如图，以Rt,的三边为边向外作正方形，其面积分别为,，请同学们想一想,之间有何关系呢？,A,B,C,a,b,c,+ =a2+b2,=c2,a2+b2=c2, a+b =c S3=S2+S1,2、探究下面三个圆面积之间的关系,a,b,c,探究S1、S2、S3之间的关系,S1=,由勾股定理得 a2+b2=c2,S1+S2=S3,如图6，RtABC中，AC=8，BC=6，C=90，分别以AB、BC、AC为直径作三个半圆，那么阴影部分的面积为,

13、S影阴=SAC+SBC+SABC-SAB,1、下图中的三角形是直角三角形,其余是正方形,求下列图中字母所表示的正方形的面积.,=625,=144,想一想,1 如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长是8厘米，则正方形A，B，C，D的面积之和是_平方厘米,美丽的勾股树,想一想:,利用图2你能画出长分别是 的线段吗?,1,1,1,1,A,B,C,D,E,F,G,下图由4个等腰直角三角组成，其中第1个 直角三角形腰长为1cm，求第4个直角三角 形斜边长度。,、折叠矩形ABCD的一边AD,点D落在BC边上的点F处,已知AB=8,BC=10,求: (1

14、)CF (2)EC.,A,B,C,D,E,F,8,10,10,6,X,8-X,4,8-X,折叠中的计算问题,在RtABF中,BF=,FC =4cm,设EC =xcm 则DE=EF=（8-x）cm,EF2=EC2+FC2, （8-x）2 = x2+42,解得x=3,折叠问题,1、矩形纸片ABCD中，AD4cm，AB=10cm，按如图方式折叠，折痕是EF，求DE的长度？,A,B,C,D,E,F,（B）,（C）,折叠问题,2、如图，在矩形ABCD中，沿直线AE把ADE折叠，使点D恰好落在边BC上一点F处，AB8cm，CE=3cm，求BF的长度。,5为了丰富少年儿童的业余生活，某社区要在如图7所示AB

15、所在的直线建一图书室，本社区有两所学校所在的位置在点C和点D处，CAAB于A，DBAB于B，已知AB25km，CA15km，DB10km，试问：图书室E应该建在距点A多少km处，才能使它到两所学校的距离相等?,3、如图，小颍同学折叠一个直角三角形的纸片，使A与B重合，折痕为DE，若已知AC=10cm，BC=6cm,你能求出CE的长吗？,折叠问题,轴对称问题,例3：在一平直河岸l同侧有A,B两个村庄，A,B到l的距离分别是3km和2km，AB=akm(a1).现计划在河岸l上建一抽水站P，用输水管向两个村庄供水.要使铺设的管道最短，抽水站P应建在哪儿？ 某班的兴趣小组设计了两种铺设管道的方案：

16、方案一：如图一管道长度为d1,且d1=PA+BA(km) 方案二：如图二管道长度为d2,且d2=PA+PB(km)（其中点A与点A关于l对称） 试计算d1 和d2,图一,图二,例3：在一平直河岸l同侧有A,B两个村庄，A,B到l的距离分别是3km和2km，AB=akm(a1).现计划在河岸l上建一抽水站P，用输水管向两个村庄供水.要使铺设的管道最短，抽水站P应建在哪儿？ 某班兴趣小组设计了两种铺设管道的方案： 方案一：如图一管道长度为d1,且 d1=PA+BA(km) 方案二：如图二管道长度为d2,且d2=PA+PB(km) (其中点A与点A关于l对称) 试计算d1 和d2,一牧童在A处牧马，牧童家在B处，A、B处距河岸的距离AC、BD的长分别为500米和700米，且CD=500米，天黑前牧童从A点将马牵到河边去饮水后，再赶回家，那么牧童最