函数极值充分条件.ppt

1、数学分析,1 拉格朗日定理和函数的单调性 2 柯西中值定理和不定积分 3 泰勒公式 4 函数的极值和最大(小)值 5 函数的凸性和拐点 6 函数图像的讨论,第六章 微分中值定理及其应用,第六章 微分中值定理及其应用,4 函数的极值和最大(小)值,教学内容：函数的极值与最值 教学重点：函数极值与最值的确定 教学难点：函数极值充分条件 教学要求：掌握函数极值的第一、第二充分条 件，学会求闭区间上连续函数的最 值的基本方法,4 函数的极值与最大(小)值,4 函数的极值与最大(小)值,二、最大值与最小值,极大(小)值是局部的最大(小)值, 它,一、极值判别,们将逐一研究函数的这些几何特征.,有着很明显

2、的几何特征. 在本节中,我,函数的极值不仅在实际问题中占有重要的地位，而且也是函数性态的一个重要特征,费马定理告诉我们.可微函数的极值点一定是稳,一、极值判别,我们在这里再次强调: 费马定理是在函数可微的,定是水平的.,定点. 也就是说, 在曲线上相应的点处的切线一,条件，费马定理的结论 就无从说起.,条件下建立的. 换句话说，若没有可微这个前提,当然，费马定理的逆命题亦不真. 例如对于任意,于是得极值的必要条件：,极值点.,的可微函数导数为零也不一定取得极值.,如幂函数y=x3，在 x=0,可微函数的极值点一定是导数为零.,下面给出极值的充分条件.,定理6.10 (极值的第一充分条件) 设函

3、数 f (x) 在,是极值点情形,不是极值点情形,定理 6.10 的几何说明,根据导函数的符号判别函数单调性的方法， 可,出 (i) 的证明， (ii) 的证明类似.,以知道定理的几何意义十分明显. 在这里仅给,证明 利用导函数符号得出函数的单调性方法.,于是,确定函数 的定义域，求出导函数 ；,找出函数 的所有驻点（由 ）,以及所有 不存在的点；,利用第一充分条件，检查上述的点两侧邻近,的符号（列表完成）。,第一充分条件求极值的步骤归纳如下：,定理 6.11 (极值的第二充分条件) 设 f (x) 在点 x0,证 同样我们仅证(i). 因为,所以由保号性，,由极值判别的第一充分条件得知: x

4、0 是极小值点 .,注：只有二阶导数存在且不为零的驻点才可以,用本定理判别法；,使用本定理时，一般要求二阶导数的计算相对 较为容易；,证明 要点,注 建议同学们与教材上的证明方法相比较, 这里,的证明方法更简单且具有一般性.,例1,解 由,求得稳定点,只能用第一充分条件进行判别。,对于二阶导数 不存在的点、不可导的点，,所以,(参见右图),例2,解,稳定点为 x = 0 ，没有不可导点.,为了更好地加以判别，我们列表如下：,即,是极小值.,请同学们自行讨论.,即,解,由定理6.11, x = 6是极小值点, f(6)=108是极小值.,试问这里为什么不考虑不可导点 x = 0?,例4,解,定理

5、 6.12 ( 极值的第三充分条件 ) 设 f 在点 x0 的,某邻域内存在直到,对于 的情形, 可借助于更高,阶的导数来判别.,证 由泰勒公式, 有,(ii) n 为奇数时, 不是极值点 .,其中 它在某邻域,内恒与 同号.,这就说明,了 不是极值点.,例5,所以由第二判别法,解,求得极小值为,因此 x = 1 不是极值点( n = 3 是奇数 ). 又因,而对于稳定点 却无法知道结果, 我们尝试,用第三充分条件来进行判别. 由于,( n = 4是偶数 ).,注 第三充分条件并不是万能的. 例如 x = 0 是,所以无法用定理 6.12 来判别.,二、最大值与最小值,由连续函数的性质, 若

6、f (x) 在 a, b 上连续, 那,只可能在极值点、区间端点和不可导点之中取得.,一定是极大(小)值. 这也就告诉我们: 最大(小)值,区间内部(不是端点)取得最大(小)值, 那么这个值,因为极大(小)值是局部的最大(小)值, 故若函数在,值提供了强有力的保证.,么一定有最大、最小值, 这对求函数的最大(小),下面具体介绍求函数最大(小)值的方法.,(3) 设(1)和(2)的点为 由前面的分析,可知 f(x) 在 a, b上有:,上的最大、最小值.,解,所以,在 x = 0 连续，由导数极限定理推知,故在 x = 0 不可导.,所以,这样就得到不可导点为 0, 稳定点为 1, 2. 又因,

7、例7 一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方程正比已知当速度为10（km/h）,燃料费为每小时6元，而其他与速度无关的费用为每小时96元问轮船的速度为多少时，每航行 1km 所消耗的费用最小？,解,上无极小值点. 所以最小值只能在端点取到, 故,证,就是要证 F(x) 的最小值非负.,例9 如图所示, 剪去正方形,时, 盒子的容积最大.,去的小正方形的边长为何值,制成一个无盖的盒子, 问剪,四角同样大小的小正方形后,解 设正方形的边长为 a, 每一个小正方形的边长,因为,为 x，则盒子的容积为,仅有唯一的极值, 那么这个极(大)值一定是最大,例10 设某商店每天向工厂按出厂价每件3元购进,小

8、正方形后，得到最大容积为 的无盖盒子.,值.所以问题的解为:在四个角上截取边长为 的,为 400 件. 若零售价每降低 0.05元，可多售 40 件,一批商品零售,若零售价定为每件 4 元,估计销售量,解 设每件定价为 p，购进 x 件( 应该全部卖完 ),问每件定价多少和从工厂购进多少时才能获得最,大利润.,则利润为由条件 p 与 x 的关系为,结论：,(1) 定价为 3.75 元 / 件时可获最大利润 450 元;,(2) 应从工厂购进,L(3.75)=450(元) 是极大值. 因为 L(p) 在所讨论的,区间上仅有一个极值，所以 L(3.75) 就是最大值.,复习思考题,1. 若 f (

9、x) 在 x0 取极大值，是否可断定在 x0 充分,2. 若 f(x) 在区间 I 上连续，且仅有惟一的极值点,考察例子:,小邻域内, f (x) 在 x0 的左侧递增，右侧递减？试,必为 I 上的最大(小)值？,x0 。试问当 f(x0) 为极大(小) 值时，为什么 f(x0),极值是函数的局部性概念:极大值可能小于极小值,极小值可能大于极大值.,驻点和不可导点统称为临界点.,函数的极值必在临界点取得.,判别法,第一充分条件;,第二充分条件;,(注意使用条件),小结,小结,最值问题的两种类型：,(1) 求出给定解析式的导数f (x)；,令f (x)=0，求出驻点；,(2) 求出驻点处的函数值以及端点处的函数值；,(3) 比较这些值的大小，其中最大的就是函数的最大值， 最小的就是最大值.,1.已知函数解析式及闭区间求最值.,2.实际问题求最值.,(1) 根据题意建立函数关系式 y=f(x)；,(2) 根据实际问题确定函数的定义域；,(3) 求出函数y=f(x)的导数，令f (x)=0，求出