13 章7-8 摩尔积分.ppt

1、,一、推导：,13-7 计算位移的单位载荷法-莫尔积分,方式一：,先加,再加,方式二：,同时加,计算位移的单位载荷法-莫尔积分,其中:,为单位载荷引起的弯矩，,计算位移的单位载荷法-莫尔积分,所以计算c点位移必备条件: 原载荷系统和单位载荷系统;, ;,计算位移的单位载荷法-莫尔积分,这是杆件横截面上只有弯矩一个内力分量的情形。,这就是确定结构上任意点、沿任意方向位移的莫尔积分（Mohrs integration），这种方法称为莫尔法（Mohrs method），又称为单位力法（unit-force method）或单位载荷法（unit-load method）。,如果杆件横截面同时存在弯矩、

2、扭矩和轴力时，根据上述分析过程可以得到包含所有内力分量的积分表达式，即,为所要求位移的结构在外载荷作用下杆件横截面上的轴力、弯矩和扭矩；,为结构在单位力作用下杆件横截面上的轴 力、弯矩和扭矩。,对于由两根及两根以上杆组成的系统，莫尔积分式又可表示为：,还需要指出的是，莫尔法可用于确定直杆和曲杆及其系统上任意点、沿任意方向的线位移和角位移，但杆件的材料必须满足胡克定律，并且在弹性范围内加载。,关于单位力1与位移的讨论, 单位力1与位移都是广义的，但是必须是相互对应的：,线 位 移 单位集中力,角 位 移 单位集中力偶,相对线位移 一对单位集中力,相对角位移 一对单位集中力偶, 所要求的位移不限于

3、加力点、沿加力方向的位 移，可以是任意点、任意方向的位移。,单位力必须加在所要求位移 的那一点、并且沿着所要求位 移的方向。,关于单位力1与位移的讨论,二、莫尔积分的应用：,1、计算梁发生弯曲变形的位移：,2、计算小曲率曲梁发生弯曲变形的位移：,3、计算圆轴发生扭转变形的位移：,4、计算杆发生轴向拉压变形的位移：,5、计算桁架节点位移：,6、计算结构组合变形的位移：,三、莫尔积分的应用范围：,线弹性结构,四、,的符号的含义：,1、+：所求位移的实际方向与所加的单位载荷方向相同,2、-：所求位移的实际方向与所加的单位载荷方向相反,建单位载荷系统示例,问题:求任意点沿任意方向的位移（例如B点的）,

4、方 法,建立单位载荷系统（在所要求位移点沿所要求位移方向，施加1单位的力）,分段计算原系统的内力,分段计算单位载荷系统内力,方 法,用莫尔积分计算的步骤：,1、写出结构在原载荷作用下引起的各段的各种内力方程,3、写出结构在单位载荷单独作用下引起的各段的各种内力方程,4、将同一段的同一种内力方程相乘积分,总 结,2、建立单位载荷系统: 将结构单独取出，在结构上施加一与所求位移对应的单位载荷。,注意单位载荷一定要与所求位移：在种类和位置上对应。,即：求位移时施加单位力；求相对位移时施加一对相反单位力。 求转角时施加单位力偶；求相对转角时施加一对相反单位力偶。,注意：在列原载荷和单位载荷引起的内力方

5、程时，必须保证内力方程分段相同，并且每段自变量的基准点相同,求C点铅垂位移,思考:在分别写原载荷和单位载荷引起的弯矩方程时,应分几段?,总 结,六、莫尔积分的例题,1、计算梁发生弯曲变形的位移：,求:C点铅垂方向的位移 和B点转角,2)列原载荷引起的内力方程:,3)施加单位载荷:,4)列单位载荷引起的内力方程:,5) 同一段的同一种内力相乘积分,解: 求 1)求约束反力: 为此取AB 为研究对象,的正、负号的含义：,1、+：所求位移的实际方向与所加的单位载荷方向相同,2、：所求位移的实际方向与所加的单位载荷方向相反,求,例2：试求P力作用下，A点的竖直位移,分析：,因为力与轴线位于同一平面,所

6、以在P力作用下，只考虑弯曲变形，即只考虑弯矩,解：,2、计算小曲率曲梁发生弯曲变形的位移：,1)列原载荷引起的内力方程:,2)施加单位载荷,列单位载荷引起的内力方程:,3)由莫尔积分求 :,3、计算桁架节点位移：,解：,1)列原载荷引起的内力方程:,例3：图示简单桁架，各杆 长度均为 ，且EA相同， 试求B、D两节点的相对位 移。,2)施加单位载荷:,3)列单位载荷引起的内力方程:,4)由莫尔积分求 :,4、计算结构组合变形的位移：,例4：图示刚架，各段刚度已标出， 试求A点的铅垂位移与B点的转角,解：,1)列原载荷引起的内力方程:,2)列单位载荷引起的内力方程:,AB:,BC:,AB:,BC

7、:,3) 同一段的同一种内力相乘积分,例5: 轴线为半圆形平面曲杆如图(a)所示,作用于A点的集中力P垂直于轴线所在平面,求P力作用点的垂直位移.,1)列原载荷引起的内力方程:,2)施加单位载荷:,4)积分计算位移,3)列单位载荷引起的内力方程:,2)列原载荷引起的内力方程:,3)列单位载荷引起的内力方程:,解: 1)求约束反力,例6: 变截面梁如图所示, 已知：P，a，EI1，EI2。求：D点的垂直位移.,3)列单位载荷引起的内力方程:,4) 同一段的同一种内力相乘积分,解: 1)由于对称，只计算一半,例7: 平面刚架如图所示, 已知：P，a，EI。求：AF两点的相对位移.,2)原载荷引起的内力方程:,3)单位载荷引起的内力方程:,2)原载荷引起的内力方程:,3)单位载荷引起的内力方程:, 前 提,13-8 直杆莫尔积分