09-计算机的运算方法04 (1).ppt

1、,系 统 总 线,存储器,运算器,控制器,接口与通信,输入/输出设备,林楠 办公室：211 办公电话电子邮件：, 计算机组成原理 ,第六章 计算机的运算方法,第六章 计算机的运算方法,3、定点乘法运算 3.1、原码一位乘法 3.2、补码一位乘法（重点：布斯乘法） 3.3、补码两位乘法 3.4、阵列乘法器,方法：充当计算机！ 严格按照运算法则去做， 不加思考，态度认真， 保证结果正确。,4、定点除法运算 4.1、原码一位除法 4.2、补码一位除法 4.3、阵列除法器 5、浮点四则运算 5.1、浮点加减运算 对阶、执行加减、规格化、舍入、判溢出 5.2、浮点乘除运算

2、阶码加减、尾数乘除、规格化、舍入、判溢出,第六章 计算机的运算方法,原码一位除法基本上是从手算演变过来，符号位单独处理。 两个原码表示的数相除运算规则： 商的符号位：两数的符号相异或 商的数值部分：两数的绝对值相除。 运算方法与普通的十进制小数除法相类似， 设 n 位被乘数X 和 乘数Y 用定点小数表示（定点整数同样） 被除数： X原 = Xf . Xn-1 X1 X0 除数： Y原 = Yf . Yn-1 Y1 Y0 商 Q 原= ( Xf Yf ) + (0.Xn-1 X1 X0) / (0.Yn-1 Y1 Y0) 于是原码与原码相除就变成如何进行两个正数相除的问题了。 两种除法： 恢复余

3、数法 不恢复余数法（加减交替法）,4.1、原码一位除法,两个数相除，上商时， 人会心算，一看就知道够不够减。 够减商1，不够减商0。 但机器不会，必须先作减法。 若余数为正，才知道够减； 若余数为负，才知道不够减。 不够减时，必须恢复原来的余数。 顾名思义恢复余数法。,4.1、原码一位除法,1）恢复余数法,被除数 X=0.1011 除数Y=0.1101 求 X/Y。商精确到小数点后四位。 手算方法计算步骤如下：,4.1、原码一位除法,0.1101 0.1101 0 . 1011 - 0 . 1101 1 . 1110 + 0 . 1101 0 . 1011 0 . 10110 - 0 . 01

4、101 0 . 01001 0 . 010010 - 0 . 001101 0 . 000101 0 . 0001010 - 0 . 0001101 1 . 1111101 + 0 . 0001101 0 . 0001010 0 . 00010100 - 0 . 00001101 0 . 00000111,- Y 得负数，不够减，商0,X低位补0 - 2-1Y 得正数，够减，商1 X低位补0,- 2-2Y 得正数，够减，商1 X低位补0,- 2-3Y 得负数，不够减，商0 + 2-3Y，恢复余数,- 2-4Y 得正数，够减，商1,+ Y，恢复余数,X低位补0,4.1、原码一位除法,1）恢复余数

5、法,1、符号单独处理， Q f = ( Xf Yf ) ，取绝对值相除； 2、作减法，若不溢出，运算开始； 3、 -Y，若余数 R 为正（够减），商 1 ，左移一位 ； -Y，若余数 R 为负（不够减），商 0 ，恢复余数，左移一位； 4、重复 n 步； 5、若最后一步余数为负（不够减），应恢复余数（+Y补）。 右移 除数Y，可以通过 左移 余数 来替代， 左移出界的 余数 的高位都是无用的零， 对运算不会产生任何影响。,如果，余数一共被左移了n次，最后需要校正。 最终的余数再右移n次。,寄存器A存放 被除数 X = 0.1011 ，后来可存放余数，累次参加运算。 寄存器B存放 除数 Y =

6、0.1101 寄存器C存放 商 Q = X / Y 另外设置计数器CR控制循环次数。 X原- Y原 运算可以用 X补 + -Y补取代； Y补= 0.1101 -Y补= 1.0011,4.1、原码一位除法,分析：参加运算的数X,Y 都是正数，正数的原码与补码表示相同。,被除数X（余数） 商 操作 0. 1011 0 0 0 0 0 + 1. 0011 - Y （+ -Y补） 1. 1110 0 0 0 0 0 负数：不够减，商0 + 0. 1101 +Y 恢复余数， （+ Y补） 0. 1011 0 0 0 0 0 余数和商同时左移一位 1. 0110 0 0 0 0 0 + 1. 0011 -

7、 Y （+ -Y补） 0. 1001 0 0 0 0 1 正数：够减，商1 1. 0010 0 0 0 1 0 余数和商同时左移一位 + 1. 0011 - Y （+ -Y补） 0. 0101 0 0 0 1 1 正数：够减，商1 0. 1010 0 0 1 1 0 余数和商同时左移一位 + 1. 0011 - Y （+ -Y补） 1. 1101 0 0 1 1 0 负数：不够减，商0 + 0. 1101 + Y 恢复余数， （+ Y补） 0. 1010 0 0 1 1 0 余数和商同时左移一位 1. 0100 0 1 1 0 0 + 1. 0011 - Y （+ -Y补） 0. 0111 0

8、 1 1 0 1 正数：够减，商1,余数再右移四位得正确结果: 0.0000 0111。,2）不恢复余数法（加减交替法） 加减交替法是对恢复余数除法的一种修正。 当余数为负时，不恢复，继续求下一位商， 但用加上除数 (+Y) 的办法来取代 (-Y) 操作，其他操作不变。 加减交替法的规则如下： 余数为正，商1，左移一位，减除数（-Y）； 余数为负，商0，左移一位，加除数（+Y）。 此方法不用恢复余数，所以又叫不恢复余数法。 但若最后一次上商为0，则仍需恢复余数（+Y补） 。,4.1、原码一位除法,被除数（余数） 商 操作 0. 1011 0 0 0 0 0 + 1. 0011 - Y （+ -

9、Y补） 1. 1110 0 0 0 0 0 负数：商0 1. 1100 0 0 0 0 0 余数和商同时左移一位 + 0. 1101 + Y 0. 1001 0 0 0 0 1 正数：商1 1. 0010 0 0 0 1 0 余数和商同时左移一位 + 1. 0011 - Y （+ -Y补） 0. 0101 0 0 0 1 1 正数：商1 0. 1010 0 0 1 1 0 余数和商同时左移一位 + 1. 0011 - Y （+ -Y补） 1. 1101 0 0 1 1 0 负数：商0 1. 1010 0 1 1 0 0 余数和商同时左移一位 + 0. 1101 + Y 0. 0111 0 1

10、1 0 1 正数：商1,4.1、原码一位除法,余数再右移四位得正确结果: 0.0000 0111。,CPA,2.3、补码定点加法器,+X,- Y,设开关电路 负数不送回,思考问题： 恢复余数法在电路上实现其实更简单！,4、定点除法运算 4.1、原码一位除法 4.2、补码一位除法 4.3、阵列除法器 5、浮点四则运算 5.1、浮点加减运算 对阶、执行加减、规格化、舍入、判溢出 5.2、浮点乘除运算 阶码加减、尾数乘除、规格化、舍入、判溢出,第六章 计算机的运算方法,4.2、补码一位除法,补码加减交替法, 法则如下： (Ri补为余数，数值部分共n位),1)比较 2)上商 3)求新余数,1)比较 2

11、)上商 3)求新余数,由上式化简,方法：列表格,4）商的符号 两种常见的做法： 方法一：第一步比较XY同号做X补Y补；异号做X补+Y补； 方法二：一开始就将被除数X当作初始余数R0， R0与Y同号商1，异号商0，得的假商最后求反进行校正。 5）商的校正 对于方法一，商符正确，商末位恒置1。 对于方法二，商符取反，商末位恒置1。,4.2、补码一位除法,思考：由于方法一开始比较被除数与除数，后来比较余数与除数， 控制部署不一样。所以采用方法二，硬件电路比较好实现， 全部是比较余数与除数，便于计算机控制。,4.2、补码一位除法,被除数X（余数R） 商Q 操作 0. 1011 0 0 0 0 0 +

12、1. 0011 X Y 同号：+ -Y补 1. 1110 0 0 0 0 0 R Y 异号：商0 1. 1100 0 0 0 0 0 余数R和商同时左移一位 + 0. 1101 + Y补 0. 1001 0 0 0 0 1 R Y 同号：商1 1. 0010 0 0 0 1 0 余数R和商同时左移一位 + 1. 0011 + -Y补 0. 0101 0 0 0 1 1 R Y 同号：商1 0. 1010 0 0 1 1 0 余数R和商同时左移一位 + 1. 0011 + -Y补 1. 1101 0 0 1 1 0 R Y 异号：商0 1. 1010 0 1 1 0 0 余数R和商同时左移一位

13、+ 0. 1101 + Y补 0. 0111 0 1 1 0 1 商的末位恒置1,使用方法一： X补=0.1011 Y补=0.1101 -Y补=1.0011,余数再右移四位得正确结果，前面补符号位。,4.2、补码一位除法,被除数X（余数R） 商Q 操作 0. 1011 0 0 0 0 1 R Y 同号：商1 1. 0110 0 0 0 1 0 余数R和商同时左移一位 + 1. 0011 + -Y补 0. 1001 0 0 0 1 1 R Y 同号：商1 1. 0010 0 0 1 1 0 余数R和商同时左移一位 + 1. 0011 + -Y补 0. 0101 0 0 1 1 1 R Y 同号：

14、商1 0. 1010 0 1 1 1 0 余数R和商同时左移一位 + 1. 0011 + -Y补 1. 1101 0 1 1 1 0 R Y 异号：商0 1. 1010 1 1 1 0 0 余数R和商同时左移一位 + 0. 1101 + Y补 0. 0111 1 1 1 0 0 0 1 1 0 1 校正：商符取反，商末位置1,使用方法二： X补=0.1011 Y补=0.1101 -Y补=1.0011,余数再右移四位得正确结果，前面补符号位。,4.2、补码一位除法,被除数X（余数R） 商Q 操作 0. 0100 0 0 0 0 0 R Y 异号：商0 0. 1000 0 0 0 0 0 余数R和

15、商同时左移一位 + 1. 1000 + Y补 0. 0000 0 0 0 0 0 R Y 异号：商0 0. 0000 0 0 0 0 0 余数R和商同时左移一位 + 1. 1000 + Y补 1. 1000 0 0 0 0 1 R Y 同号：商1 1. 0000 0 0 0 1 0 余数R和商同时左移一位 + 0. 1000 + -Y补 1. 1000 0 0 0 1 1 R Y 同号：商1 1. 0000 0 0 1 1 0 余数R和商同时左移一位 + 0. 1000 + -Y补 1. 1000 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 校正：商符取反，商末位置1,使用方法二： X补=0. 0

16、100 Y补= 1.1000 -Y补= 0.1000,余数再右移四位得正确结果: 1. 1111 1000,4、定点除法运算 4.1、原码一位除法 4.2、补码一位除法 4.3、阵列除法器 5、浮点四则运算 5.1、浮点加减运算 对阶、执行加减、规格化、舍入、判溢出 5.2、浮点乘除运算 阶码加减、尾数乘除、规格化、舍入、判溢出,第六章 计算机的运算方法,和阵列乘法器相比，阵列除法器也是一种并行运算部件，采用大规模集成电路制造。它比早期的串行除法器的控制线路少，并提供较高的运算速度。,4.3、阵列除法器 P297,可控加/减法单元 (CAS),4、定点除法运算 4.1、原码一位除法 4.2、补

17、码一位除法 4.3、阵列除法器 5、浮点四则运算 5.1、浮点加减运算 对阶、执行加减、规格化、舍入、判溢出 5.2、浮点乘除运算 阶码加减、尾数乘除、规格化、舍入、判溢出,第六章 计算机的运算方法,浮点数的表示形式(以2为底)： X = S 2 j = 定点小数 * 2 定点整数 S 尾数，定点小数，用补码表示，决定数的有效精度。 j 阶码，定点整数，用移码或补码表示，决定数的表示范围。 2 基数,5、浮点四则运算,IEEE754 国际标准： 符号位数 阶码 j 位数 尾数S位数 总位数 短浮点数1 8 23 32 长浮点数1 11 52 64 临时浮点数1 15 64 80,0.8125

18、* 10 5,浮点数的阶码为什么用移码表示呢？ 1） 正数的移码大于负数的移码：X移 -X移 原码、补码、反码都不具备。 2） 如果：X Y 则 X移 Y移 所以，在浮点运算中，可以方便地通过比较移码的大小来实现阶 码真值大小的比较，其他三种码都不具备这一特性。,移码：补码符号位取反（1表示正号，0表示负号）,数据0有唯一的编码，即+0移=-0移=10000。,5、浮点四则运算,移码运算特点： 1） 最高位符号位，1表示正号，0表示负号。 如果是双符号位，最高位保持0：01正数，00负数。 溢出判断：最高位为1，10上溢，11下溢。 2）在计算机中，移码只执行加减法运算，且运算结果+2n修正；

19、 （即结果的符号位取反）得到X移。 例如：X=+1010 Y=+0011, 则X移=11010Y移=10011 X移+Y移=11010+10011 = 01101, 修正：X+Y移= 11101 运算法则： X + Y移 = X移+Y补 X - Y移 = X移+-Y补,5、浮点四则运算,X+Y移= X移+Y补 = 11010 + 00011 = 11101,4、定点除法运算 4.1、原码一位除法 4.2、补码一位除法 4.3、阵列除法器 5、浮点四则运算 5.1、浮点加减运算 对阶、执行加减、规格化、舍入、判溢出 5.2、浮点乘除运算 阶码加减、尾数乘除、规格化、舍入、判溢出,第六章 计算机的

20、运算方法,X=104 = 0110 1000 = 0.110 1000 * 27 = 0 0111；0.1101000 Y=40 = 0010 1000 = 0.101 0000 * 26 = 0 0110；0.1010000,5.1、浮点加减运算,思考1：X和Y的尾数可以直接相加减吗？,思考2：对齐阶码后，尾数才能进行加减运算。 阶码大的向小的看齐？还是小的向大的看齐？,思考3：对齐阶码是不是等于小数点对齐了？,思考4：对齐阶码后，尾数应该做什么相应的改变？,Y=40 = 0010 1000 = 0.0101 0000 * 27 = 0 0111；0.01010000,800 = 0.810

21、3 = 0.8103 = 0.08 104 + 9000 = 0.9104 = 90 103 = 0. 9 104 9800 = 0.98104,设有两浮点数X，Y，其中：X = SX * 2 jX Y = SY * 2 jY XY运算执行以下五步： 1) 阶码对齐（对大阶）：使两数的阶码值相等，对齐小数点。 求阶码差j，j0时，小阶码的尾数右移j位：阶码 +j， 2) 尾数相加减：两尾数进行加/减运算。 3) 尾数规格化： 尾数符号 01 或 10：尾数溢出。 右规：尾数（带符号）右移1位，前补符号位。 同时阶码+1。 尾数符号 00 或 11：尾数不溢出。 但如符号位和最高数值位相同: 0

22、0 0 或 11 1 左规：尾数数值部分左移直到最高数值位与符号位不同为止 （00 1，11 0）。同时阶码减去左移位数。,5.1、浮点加减运算,4) 尾数舍入（处理多余位） 在执行右规或对阶时，尾数低位上的数值会移掉，使数值的精度 受到影响，常用“0”舍“1”入法。 （三种舍去法：恒舍去，末位恒置 1，0舍1入； 一般取其精度受影响最小的方法： 0舍1入） 5) 阶码判溢出 若阶码符号00或11，不溢出。 若阶码符号10 为下溢，置运算结果为零， 若阶码符号01 为上溢，置溢出标志。,5.1、浮点加减运算,X = 0111 00.1101000 jX SX Y = 0110 00.10100

23、00 jY SY,SY jY + 1,SX jX + 1,SX jX + 1,No,No,Yes,jX = jY ？,SX +- SY SX jX (or jY) jX,Xf1Xf2 = 1,Xf1Xf2 X1+ Xf1Xf2 X1 = 1 ?,SX jX - 1,输出,Yes,Yes,No,3）尾数规格化,00.1101000 SX + 00.0101000 SY 01.0010000 右规：0111 00.10010000,左规,右规,2）尾数加减,1）阶码对齐,4）尾数舍入 5）阶码判溢出,jX jY ？,No,Yes,例: 已知 X = 0.11011011 * 2010, Y = -

24、 0.10101100 * 2100 求 X + Y 解: 阶码对齐：jX补 = 00 0010 jY补 = 00 0100 - jY补 = 11 1100 求阶差j=jX补+- jY补 = 00 0010 + 11 1100 = 11 1110 （-2） X 的阶码小：X阶码 + 2 （ jX补 = jY补 = 00 0100 ） X的尾数右移2位，前面补符号位 SX补= 00 0011011011（此时保留右移数据，不丢不舍） 尾数相加：SX补 =SX补 +SY补 = 00 0011011011 + 11 01010100 = 11 10001010 11 尾数规格化：左规: 数值位左移1

25、位 = 11 000101011 阶码 - 1（jX补= 00 0011） 尾数舍入：舍去的附加位最高位为1，结果最低位+1： Sx补=11 00010110 S= - 0.11101010 阶码判溢出：阶码符号为00，不溢出。 最终结果为：X+Y = - 0.11101010 * 2011,实际运算时，先确定位数！（阶码、尾数最好都取双符号位参加运算。） 假设机器字长16位，采用浮点表示数，其中阶符2位，阶码4位，尾符2位，尾数8位，都用补码表示。,4、定点除法运算 4.1、原码一位除法 4.2、补码一位除法 4.3、阵列除法器 5、浮点四则运算 5.1、浮点加减运算 对阶、执行加减、规格化、舍入、判溢出 5.2、浮点乘除运算 阶码加减、尾数乘除、规格化、舍入、判溢出,第六章 计算机的运算方法, X = SX 2 jX Y = SY 2 jY X * Y = （ SX * SY ） 2 jX + jY X / Y = （ SX / SY ） 2 jX - jY,5.2、浮点乘除运算,1）阶