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文档简介

1、第三章 一阶微分方程的解的存在定理,需解决的问题,历史回顾：,1、Cauchy(1789-1857)在十九世纪二十年代第一个成功地建立了微分方程初值问题解的存在性和唯一性；(因此后人将初值问题称为Cauchy问题) 2、1876年，Lipschitz(1832-1903)减弱了Cauchy定理的条件； 3、1893年，Picard(1856-1941)用逐次逼近法在Lipschitz条件下对定理给出新证明； 4、Peano(1858-1932)在更一般的条件下建立了Cauchy问题解的存在性定理(不顾及唯一性)。,3.1 解的存在唯一性定理与逐步逼近法,一 存在唯一性定理,1 定理1 考虑初值

2、问题,证明思路,(2) 构造(3.5)近似解函数列,(逐步求(3.5)的解,逐步逼近法),这是为了,即,下面分五个命题来证明定理,为此先给出,积分方程的解,如果一个数学关系式中含有定积分符号且在定积分符号下含有未知函数, 则称这样的关系式为积分方程.,积分方程,命题1 初值问题(3.1)等价于积分方程,证明:,即,反之,故对上式两边求导,得,且,构造Picard逐步逼近函数列,问题:这样构造的函数列是否行得通, 即上述的积分 是否有意义?,注,命题2,证明:(用数学归纳法),命题3,证明:,考虑函数项级数,它的前n项部分和为,对级数(3.9)的通项进行估计,于是由数学归纳法得知,对所有正整数n,有,现设,命题4,证明:,即,命题5,证明:,由,综合命题15得到存在唯一性定理的证明.,一 存在唯一性定理,1 定理1 考虑初值问题,2 存在唯一性定理的说明,解的存在区间：,注：,定理2：考虑一阶隐方程,则方程(3.5)存在唯一解,满足初始条件,注：,证明： (思路：利用隐函数存在定理将这里的初值问题转化为前述的初值问题处理),三、初值问题解的存在唯一性定理的应用,1、求精确解,解,与初值问题等价的积分方程为,其迭代序列分别为,取极限得,即初值问题的解为,2 近似计算和误差估计,求方

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