2016高考数学大一轮复习 8.6立体几何中的向量方法(一)-证明平行与垂直课件 理 苏教版

1、,8.6立体几何中的向量方法(一) 证明平行与垂直,第八章立体几何,数学 苏（理）,基础知识自主学习,题型分类深度剖析,思想方法感悟提高,练出高分,1.直线的方向向量与平面的法向量的确定 (1)直线的方向向量：在直线上任取一 向量作为它的方向向量. (2)平面的法向量可利用方程组求出：设a，b是平面内两不共线向量，n为平面的法向量，则求法向量的方程组为,非零,2.用向量证明空间中的平行关系 (1)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1l2(或l1与l2重合). (2)设直线l的方向向量为v，与平面共面的两个不共线向量v1和v2，则l或l . (3)设直线l的方向向量为v，平面的法向

2、量为u，则l或l . (4)设平面和的法向量分别为u1，u2，则.,v1v2,存在两个实数x，y，使vxv1yv2,vu,u1 u2,3.用向量证明空间中的垂直关系 (1)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2， 则l1l2 . (2)设直线l的方向向量为v，平面的法向量为u， 则l . (3)设平面和的法向量分别为u1和u2， 则 .,v1v2,v1v20,vu,u1u2,u1u20,思考辨析,判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)直线的方向向量是唯一确定的.() (2)平面的单位法向量是唯一确定的.() (3)若两平面的法向量平行，则两平面平行.() (4)若两直线的方

3、向向量不平行，则两直线不平行.() (5)若ab，则a所在直线与b所在直线平行.() (6)若空间向量a平行于平面，则a所在直线与平面平行.(),l或l ,23(4),解析,解析,思维升华,思维点拨,题型一证明平行问题,例1 (2013浙江改编)如图，在四面体ABCD中，AD平面BCD，BCCD，AD2，BD2 ，M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上， 且AQ3QC. 证明：PQ平面BCD.,证明线面平行，可以利用判定定理先证线线平行，也可利用平面的法向量.,题型一证明平行问题,例1 (2013浙江改编)如图，在四面体ABCD中，AD平面BCD，BCCD，AD2，BD2 ，M是AD

4、的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上， 且AQ3QC. 证明：PQ平面BCD.,解析,思维升华,思维点拨,题型一证明平行问题,例1 (2013浙江改编)如图，在四面体ABCD中，AD平面BCD，BCCD，AD2，BD2 ，M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上， 且AQ3QC. 证明：PQ平面BCD.,证明方法一如图，取BD的中点O，以O为原点， OD、OP所在射线为y、z轴的正半轴， 建立空间直角坐标系Oxyz.,设点C的坐标为(x0，y0,0).,解析,思维升华,思维点拨,题型一证明平行问题,例1 (2013浙江改编)如图，在四面体ABCD中，AD平面BCD，BCCD，AD2

5、，BD2 ，M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上， 且AQ3QC. 证明：PQ平面BCD.,解析,思维升华,思维点拨,题型一证明平行问题,例1 (2013浙江改编)如图，在四面体ABCD中，AD平面BCD，BCCD，AD2，BD2 ，M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上， 且AQ3QC. 证明：PQ平面BCD.,又PQ平面BCD，所以PQ平面BCD. 方法二在线段CD上取点F，使得DF3FC，连结OF， 同证法一建立空间直角坐标系， 写出点A、B、C的坐标，设点C坐标为(x0，y0,0).,解析,思维升华,思维点拨,题型一证明平行问题,例1 (2013浙江改编)如图，在

6、四面体ABCD中，AD平面BCD，BCCD，AD2，BD2 ，M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上， 且AQ3QC. 证明：PQ平面BCD.,解析,思维升华,思维点拨,题型一证明平行问题,例1 (2013浙江改编)如图，在四面体ABCD中，AD平面BCD，BCCD，AD2，BD2 ，M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上， 且AQ3QC. 证明：PQ平面BCD.,又PQ平面BCD，OF平面BCD， PQ平面BCD.,解析,思维升华,思维点拨,用向量证明线面平行的方法有 (1)证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直； (2)证明该直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平

7、行； (3)证明该直线的方向向量可以用平面内的两个不共线的向量线性表示.,题型一证明平行问题,例1 (2013浙江改编)如图，在四面体ABCD中，AD平面BCD，BCCD，AD2，BD2 ，M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上， 且AQ3QC. 证明：PQ平面BCD.,解析,思维升华,思维点拨,跟踪训练1 (2014湖北)如图，在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，M，N分别是棱AB，AD，A1B1，A1D1的中点，点P，Q分别在棱DD1，BB1上移动，且DPBQ(02).,(1)当1时，证明：直线BC1平面EFPQ； (2)是否存在，使平面EFPQ与平面PQMN所

8、成的二面角为直二面角？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.,方法一(1)证明如图(1)， 连结AD1，由ABCDA1B1C1D1是正方体， 知BC1AD1. 当1时，P是DD1的中点， 又F是AD的中点，所以FPAD1. 所以BC1FP. 而FP平面EFPQ，且BC1平面EFPQ， 故直线BC1平面EFPQ.,图(1),(2)解如图(2)，连结BD.因为E，F分别是AB，AD的中点，,又DPBQ，DPBQ，,所以四边形PQBD是平行四边形， 故PQBD，且PQBD，,图(2),在RtEBQ和RtFDP中，因为BQDP，BEDF1，于是EQFP ，所以四边形EFPQ是等腰梯形.同理可证四边形P

9、QMN是等腰梯形. 分别取EF，PQ，MN的中点为H，O，G，连结OH，OG， 则GOPQ，HOPQ，而GOHOO， 故GOH是平面EFPQ与平面PQMN所成的二面角的平面角. 若存在，使平面EFPQ与平面PQMN所成的二面角为直二面角，则GOH90.,连结EM，FN，则由EFMN，且EFMN，知四边形EFNM是平行四边形. 连结GH，因为H，G分别是EF，MN的中点， 所以GHME2.,由OG2OH2GH2，,方法二以D为原点，射线DA，DC，DD1分别为x，y，z轴的正半轴建立如图(3)所示的空间直角坐标系Dxyz.,图(3),由已知得B(2,2,0)，C1(0,2,2)，E(2,1,0)

10、，F(1,0,0)，P(0,0，)，M(2,1,2)，N(1,0,2)，,而FP平面EFPQ， 且BC1平面EFPQ， 故直线BC1平面EFPQ.,(2)解设平面EFPQ的一个法向量为n(x，y，z)，,于是可取n(，1). 同理可得平面PQMN的一个法向量为m(2,2，1).,若存在，使平面EFPQ与平面PQMN所成的二面角为直二面角， 则mn(2,2，1)(，1)0，,题型二证明垂直问题,例2如图所示，正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点.求证：AB1平面A1BD.,解析,思维升华,思维点拨,证明线面垂直可以利用线面垂直的定义，即证线与平面内的任意一条直线垂直；也可

11、以证线与面的法向量平行.,题型二证明垂直问题,例2如图所示，正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点.求证：AB1平面A1BD.,解析,思维升华,思维点拨,题型二证明垂直问题,例2如图所示，正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点.求证：AB1平面A1BD.,证明方法一设平面A1BD内的任意一条直线m的方向向量为m.,并且|a|b|c|2，,abac0，bc2，以它们为空间的一个基底，,解析,思维升华,思维点拨,题型二证明垂直问题,例2如图所示，正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点.求证：AB1平面A1BD.,解析,思维升华,思维

12、点拨,题型二证明垂直问题,例2如图所示，正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点.求证：AB1平面A1BD.,方法二如图所示，取BC的中点O，连结AO. 因为ABC为正三角形， 所以AOBC. 因为在正三棱柱ABCA1B1C1中， 平面ABC平面BCC1B1， 所以AO平面BCC1B1.,解析,思维升华,思维点拨,题型二证明垂直问题,例2如图所示，正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点.求证：AB1平面A1BD.,取B1C1的中点O1，以O为原点，,y轴，z轴建立空间直角坐标系，,设平面A1BD的法向量为n(x，y，z)，,解析,思维升华,思维点拨,题

13、型二证明垂直问题,例2如图所示，正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点.求证：AB1平面A1BD.,解析,思维升华,思维点拨,题型二证明垂直问题,例2如图所示，正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点.求证：AB1平面A1BD.,故AB1平面A1BD.,解析,思维升华,思维点拨,用向量证明垂直的方法： (1)线线垂直：证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零. (2)线面垂直：证明直线的方向向量与平面的法向量共线，或将线面垂直的判定定理用向量表示.,题型二证明垂直问题,例2如图所示，正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的

14、中点.求证：AB1平面A1BD.,解析,思维升华,思维点拨,(3)面面垂直：证明两个平面的法向量垂直，或将面面垂直的判定定理用向量表示.,题型二证明垂直问题,例2如图所示，正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点.求证：AB1平面A1BD.,解析,思维升华,思维点拨,跟踪训练2如图所示，在四棱锥PABCD中，PC平面ABCD，PC2，在四边形ABCD中，BC90，AB4，CD1，点M在PB上，PB4PM，PB与平面ABCD成30角. (1)求证：CM平面PAD；,证明以C为坐标原点，分别以CB所在直线为x轴，CD所在直线为y轴，CP所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系

15、Cxyz， PC平面ABCD， PBC为PB与平面ABCD所成的角， PBC30.,令n(x，y，z)为平面PAD的一个法向量，,CM平面PAD.,(2)求证：平面PAB平面PAD.,PBAB，BEPA.,又PADAA，BE平面PAD， 又BE平面PAB，平面PAB平面PAD.,题型三解决探索性问题,例3如图， 棱柱ABCD A1B1C1D1的所 有棱长都等于2，ABC和A1AC均为60，平面AA1C1C平面ABCD. (1)求证：BDAA1；,思维点拨,解析,题型三解决探索性问题,例3如图， 棱柱ABCD A1B1C1D1的所 有棱长都等于2，ABC和A1AC均为60，平面AA1C1C平面A

16、BCD. (1)求证：BDAA1；,思维点拨,解析,题型三解决探索性问题,例3如图， 棱柱ABCD A1B1C1D1的所 有棱长都等于2，ABC和A1AC均为60，平面AA1C1C平面ABCD. (1)求证：BDAA1；,解设BD与AC交于点O， 则BDAC，连结A1O，在AA1O中， AA12，AO1，A1AO60，,A1OAO.,思维点拨,解析,思维点拨,解析,题型三解决探索性问题,例3如图， 棱柱ABCD A1B1C1D1的所 有棱长都等于2，ABC和A1AC均为60，平面AA1C1C平面ABCD. (1)求证：BDAA1；,由于平面AA1C1C平面ABCD，A1O平面ABCD. 以OB

17、，OC，OA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，,思维点拨,解析,题型三解决探索性问题,例3如图， 棱柱ABCD A1B1C1D1的所 有棱长都等于2，ABC和A1AC均为60，平面AA1C1C平面ABCD. (1)求证：BDAA1；,思维点拨,解析,例3(2)求二面角DA1AC的余弦值；,例3(2)求二面角DA1AC的余弦值；,思维点拨,解析,例3(2)求二面角DA1AC的余弦值；,解由于OB平面AA1C1C， 平面AA1C1C的一个法向量为n1(1,0,0). 设n2(x，y，z)为平面DAA1D1的一个法向量，,思维点拨,解析,思维点拨,解析,例3(2)求二面

18、角DA1AC的余弦值；,取n2(1， ，1)，则n1，n2即为二面角DA1AC的平面角，,思维点拨,解析,例3(2)求二面角DA1AC的余弦值；,所以，二面角DA1AC的余弦值为 .,思维点拨,解析,思维升华,例3(3)在直线CC1上是否存在点P，使BP平面DA1C1，若存在，求出点P的位置，若不存在，请说明理由.,例3(3)在直线CC1上是否存在点P，使BP平面DA1C1，若存在，求出点P的位置，若不存在，请说明理由.,思维点拨,解析,思维升华,例3(3)在直线CC1上是否存在点P，使BP平面DA1C1，若存在，求出点P的位置，若不存在，请说明理由.,思维点拨,解析,思维升华,解假设在直线C

19、C1上存在点P，使BP平面DA1C1，,例3(3)在直线CC1上是否存在点P，使BP平面DA1C1，若存在，求出点P的位置，若不存在，请说明理由.,思维点拨,解析,思维升华,例3(3)在直线CC1上是否存在点P，使BP平面DA1C1，若存在，求出点P的位置，若不存在，请说明理由.,设n3平面DA1C1，,思维点拨,解析,思维升华,例3(3)在直线CC1上是否存在点P，使BP平面DA1C1，若存在，求出点P的位置，若不存在，请说明理由.,取n3(1,0，1)， 因为BP平面DA1C1，,思维点拨,解析,思维升华,例3(3)在直线CC1上是否存在点P，使BP平面DA1C1，若存在，求出点P的位置，

20、若不存在，请说明理由.,即点P在C1C的延长线上， 且C1CCP.,思维点拨,解析,思维升华,例3(3)在直线CC1上是否存在点P，使BP平面DA1C1，若存在，求出点P的位置，若不存在，请说明理由.,对于“是否存在”型问题的探索方式有两种：一种是根据条件作出判断，再进一步论证.另一种是利用空间向量，先设出假设存在点的坐标，再根据条件求该点的坐标，即找到“存在点”，若该点坐标不能求出，或有矛盾，则判定“不存在”.,思维点拨,解析,思维升华,跟踪训练3如图所示，四棱锥SABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的 倍，P为侧棱SD上的点. (1)求证：ACSD.,证明连结BD，设AC交BD

21、于点O，则ACBD. 由题意知SO平面ABCD.,跟踪训练3如图所示，四棱锥SABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的 倍，P为侧棱SD上的点. (1)求证：ACSD.,以O为坐标原点， 所在直线分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图.,跟踪训练3如图所示，四棱锥SABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的 倍，P为侧棱SD上的点. (1)求证：ACSD.,跟踪训练3如图所示，四棱锥SABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的 倍，P为侧棱SD上的点. (1)求证：ACSD.,故OCSD.从而ACSD.,(2)若SD平面PAC，则侧棱SC上是否存在一

22、点E，使得BE平面PAC.若存在，求SEEC的值；若不存在，试说明理由.,(2)若SD平面PAC，则侧棱SC上是否存在一点E，使得BE平面PAC.若存在，求SEEC的值；若不存在，试说明理由.,(2)若SD平面PAC，则侧棱SC上是否存在一点E，使得BE平面PAC.若存在，求SEEC的值；若不存在，试说明理由.,而BE不在平面PAC内， 故BE平面PAC.,思想与方法系列14 利用向量法解决立体几何问题,典例：(14分)(2014课标全国)如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PA平面ABCD，E为PD的中点. (1)证明：PB平面AEC；,温 馨 提 醒,规 范 解 答,证明连结BD

23、交AC于点O，连结EO. 因为ABCD为矩形，所以O为BD的中点. 又E为PD的中点，所以EOPB. 因为EO平面AEC，PB平面AEC， 所以PB平面AEC.,温 馨 提 醒,规 范 解 答,(1)利用向量法证明立体几何问题，可以建坐标系或利用基底表示向量； (2)建立空间直角坐标系时，要根据题中条件找出三条互相垂直的直线； (3)利用向量除了可以证明线线平行、垂直，线面、面面平行、垂直外，还可以利用向量求夹角、距离，从而解决线段长度问题、体积问题等.,温 馨 提 醒,规 范 解 答,温 馨 提 醒,规 范 解 答,(2)设二面角DAEC为60，AP1，AD ，求三棱锥EACD的体积.,解因

24、为PA平面ABCD，四边形ABCD为矩形， 所以AB，AD，AP两两垂直.,温 馨 提 醒,规 范 解 答,设B(m,0,0)(m0)，,设n1(x，y，z)为平面ACE的法向量，,温 馨 提 醒,规 范 解 答,又n2(1,0,0)为平面DAE的一个法向量，,温 馨 提 醒,规 范 解 答,因为E为PD的中点，,三棱锥EACD的体积,温 馨 提 醒,规 范 解 答,(1)利用向量法证明立体几何问题，可以建坐标系或利用基底表示向量； (2)建立空间直角坐标系时，要根据题中条件找出三条互相垂直的直线； (3)利用向量除了可以证明线线平行、垂直，线面、面面平行、垂直外，还可以利用向量求夹角、距离，

25、从而解决线段长度问题、体积问题等.,温 馨 提 醒,规 范 解 答,方 法 与 技 巧,1.用向量法解决立体几何问题，是空间向量的一个具体应用，体现了向量的工具性，这种方法可把复杂的推理证明、辅助线的作法转化为空间向量的运算，降低了空间想象演绎推理的难度，体现了由“形”转“数”的转化思想.,2.两种思路：(1)选好基底，用向量表示出几何量，利用空间向量有关定理与向量的线性运算进行判断.(2)建立空间坐标系，进行向量的坐标运算，根据运算结果的几何意义解释相关问题.,失 误 与 防 范,用向量知识证明立体几何问题，仍然离不开立体几何中的定理.如要证明线面平行，只需要证明平面外的一条直线和平面内的一

26、条直线平行，即化归为证明线线平行，用向量方法证明直线ab，只需证明向量ab(R)即可.若用直线的方向向量与平面的法向量垂直来证明线面平行，仍需强调直线在平面外.,2,3,4,5,6,7,8,9,10,1,1.设平面的法向量为a(1,2，2)，平面的法向量为b(2，h，k)，若，则hk的值为_.,h4，k4，hk0.,0,2,3,4,5,6,7,8,9,10,1,AB与平面CDE平行或在平面CDE内.,平行或在平面内,2,3,4,5,6,7,8,9,10,1,3.已知A(4,1,3)，B(2，5,1)，C(3,7，5)，则平行四边形ABCD的顶点D的坐标是_.,所以x5，y13，z3，即D(5,

27、13，3).,(5,13，3),2,3,4,5,6,7,8,9,10,1,4.已知a(2，1,3)，b(1,4，2)，c(7,5，)，若a，b，c三向量共面，则实数_.,解析由题意得ctab(2t，t4，3t2)，,2,3,4,5,6,7,8,9,10,1,5.如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB2，AA1 ，AD2 ，P为C1D1的中点，M为BC的中点.则AM与PM所成的角为_.,解析以D点为原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，,2,3,4,5,6,7,8,9,10,1,答案90,3,4,5,6,7,8,9,10,1,2,

28、6.已知平面内的三点A(0,0,1)，B(0,1,0)，C(1,0,0)，平面的一个法向量n(1，1，1)，则不重合的两个平面与的位置关系是_. 解析设平面的法向量为m(x，y，z)，,m(1,1,1)，mn，mn，.,平行,3,4,5,6,7,8,9,10,1,2,7.设点C(2a1，a1,2)在点P(2,0,0)、A(1，3,2)、B(8，1，4)确定的平面上，则a_.,则(2a1，a1,2)x(1，3,2)y(6，1,4),(x6y，3xy,2x4y)，,3,4,5,6,7,8,9,10,1,2,答案16,3,4,5,6,7,8,9,10,1,2,8.设u(2,2，t)，v(6，4,4)

29、分别是平面，的法向量，若，则t_. 解析，uv，uv0， 1284t0，t5.,5,3,4,5,6,7,8,9,10,1,2,9.如图，四边形ABCD为正方形，PD平面ABCD，PDQA，QAAB PD.证明：平面PQC平面DCQ.,证明如图，以D为坐标原点，线段DA的长为单位长，射线DA、DP、DC分别为x轴、y轴、z轴的正半轴建立空间直角坐标系Dxyz.,3,4,5,6,7,8,9,10,1,2,又DQDCD，故PQ平面DCQ， 又PQ平面PQC， 平面PQC平面DCQ.,10.如图，在底面是矩形的四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，E，F分别是PC，PD的中点，PAAB1，BC2. (1)求证：EF平面PAB；,3,4,5,6,7,8,9,10,1,2,证明以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AP所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，,3,4,5,6,7,8,9,10,1,2,则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,1)，,3,4,5,6,7,8,9,10,1,2,又AB平面PAB，EF平面PAB， EF平面PAB.,3,4,5,6,7,8,9,10,1,2,(2)求证：平面PAD平面PDC.,又APADA，DC平面PAD. DC平面PDC，平面PAD平面PD