麦克斯韦速率分布律

1、,内燃机式普列车,第四章 气体动理论,4-2 麦克斯韦速率分布律,或,平衡条件：系统内部压强、温度、化学组分处处相同。,一 热力学系统的平衡,二 态参量和态函数,三、状态方程,k : 波尔兹曼常数,理想气体状态方程,气体中分子是怎么样运动的？,回顾上一节平衡态与理想气体状态方程,令：,热运动,一、气体分子热运动基本特征,大量分子的无规则不停运动称为分子的热运动。,4-2 麦克斯韦速率分布律,单个分子运动无规则,热运动,气体分子热运动,热力学系统中大量分子、不停地作无规则的热运动。分子速度的大小、方向千变万化。但是分子的速率分布有无规律?速率分布函数,单个分子的速率无规则，但从大量分子的整体来看

2、，在平衡状态下，分子的速率分布遵循一定的统计规律。,例伽尔顿板实验中, 设粒子总数为N，i为小槽的序号，Ni为落入第i个小槽的粒子数,每个槽内的钢球数与总数之比：,为确定值,二、速率分布函数,1、概率分布函数,称为概率分布函数,二、速率分布函数,4-2 麦克斯韦速率分布律,一、气体分子热运动基本特征,1、概率分布函数,处于 处 范围内的粒子数占总数的比例为,二、速率分布函数,3个班100人物理成绩分布,3个班100人百米速率分布,概率分布函数表示随机变量 处单位区间内的概率，所以概率分布函数又称为概率密度。,是变量 的函数,2、气体分子速率分布,把速率分成很多相等的间隔,统计出每个间隔内的分子

3、数N, 间隔内分子数与分子总数N之比,某 处单位速率间隔内分子数与总数之比,速率分布函数表达式 的意义,（1）速率分布函数 意义是v处单位速率间隔内的分子数占总 数的比值。,（2）如果分布函数 确定，则处于速率 内的分子数占总 数的比值为,（3）速率在0到所有分子出现的概率为100%,三、麦克斯韦速率分布律,麦克斯韦 1859年用概率论证明。在平衡态下，气体分子速率分布函数为,说明：,也称麦克斯韦速率分布律,（1） 气体分子（原子）的质量；,（2） 气体分子（原子）的速率；,（3） 为气体的热力学温度；,（4） 为波尔兹曼常数。,表示分子速率在vv+dv间隔内的分子数占总分子数的百分比。,表示

4、分子速率在v附近，单位速率间隔内的分子数占总分子数的百分比。,麦克斯韦速率分布律讨论：,f (v ) dv为速率分布图上的一个窄条面积,1）f (v ) 的意义,2）f (v ) dv的意义,面积,是速率分布曲线下的一个有限面积，表示速率在v1v2范围内分子数与总分子数之比。,4） 的意义,3） 的意义,1）速率分布曲线下面积为1； 2）所有分子在所有速率范围内出现的概率为100%；,面积,面积,表示单位体积内分布在速率区间 内的分子数。,解:,表示分布在速率区间 内的分子数。,表示分布在单位体积内，速率区间 内的分子数。,四、气体的三种统计速率,速率分布函数 中的极大值对应的分子速率,极值条

5、件,(1)最概然速率:,求解得,平衡态下的理想气体,在一定温度下分布在最概然速率 附近单位速率间隔内的相对分子数最多。,气体分子速率的算术平均值。,(2)平均速率：,气体分子速率平方的平均值的平方根。,(3)方均根速率：,三种速率均与 成正比,与 成反比，但三者有一个确定的比例关系;三种速率使用于不同的场合。,三个速率的比较,vp - 用于讨论速率分布,-用于计算分子的平均平动动能,- 用于讨论分子碰撞,三种速率的使用场合,地球形成之初，大气中应有大量的氢、氦， 但很多H2分子和He原子的方均根速率超过了地球表面的逃逸速率(11.2km/s)，故现今地球大气中已没有氢和氦了。 N2和O2分子的

6、方均根速率只有逃逸速率的1/25，故地球大气中有大量的氮气 (占大气质量的76%)和氧气(占大气质量的23%)。,理想气体状态方程,或,麦克斯韦速率分布率,上节基本概念回顾,速率分布函数,温度越高，速率大的分子数越多,讨论：1、同一气体不同温度下速率分布比较,比较 的高低,讨论：2、同一温度下不同种气体速率分布比较,分子质量越小，速率大的分子数越多。,比较 的大小,例2 N2 分子在不同温度下的速率分布曲线如图所示，已知,在曲线上标出温度,例3 同一温度下两种气体 和 的速率分布曲线如图所示，在曲线上标明气体。,解：分子速率在最概然速率 vp附近dv 速率区间的概率为f(vp)dv ，在方均根速率 附近 dv速率区间的概率为 。利用v2p =2kT/m，麦克斯韦速率分布函数 f(v)可写为,例4 试求分子在最概然速率vp 附近与在方均根速率 附近出现的概率之比。,在上式中取v=vp ,得,（1式）,（2式）,（3式）,概率之比即为（2式）比（3式）,四、分子速率的实验测定,1920年，史特恩从实验上证实了麦克斯韦分子按速率分布的统计规律. 1934年，中国科学家葛正权对实验装置进行了改进。,实验说明：速度选择器两盘都有一个小凹槽，它们的夹角为，约20，都以角速度旋转，分子束通过两盘，它的速率须满足：,因凹槽有一定的宽度，故所选择的是某一速率