复变函数论第三版钟玉泉PPT第2章

1、1,2020/7/10,第二章 解析函数, 1 解析函数的概念与柯西-黎曼方程 初等解析函数 3 初等多值解析函数,2,2020/7/10,一、复变函数的导数与微分,1.导数:,第一节 解析函数的概念与柯西-黎曼方程,在定义中应注意:,3,2020/7/10,例1,解,即,例2,解,4,2020/7/10,例3,解,5,2020/7/10,例4,解,6,2020/7/10,2.可导与连续:,函数 f (z) 在 z0 处可导则在 z0 处一定连续, 但函数 f(z) 在 z0 处连续不一定在 z0 处可导.,证,7,2020/7/10,3.求导法则:,8,2020/7/10,4.微分:,特别地

2、,9,2020/7/10,二、解析函数的概念,1. 解析函数的定义,2. 奇点的定义,根据定义可知:,函数在区域内解析与在区域内可导是等价的.,但是,函数在一点处解析与在一点处可导是不等价的概念. 即函数在一点处可导, 不一定在该点处解析.函数在一点处解析比在该点处可导的要求要高得多.,10,2020/7/10,例1,解,例2,解,课后思考题：,答案,处处不可导,处处不解析.,11,2020/7/10,12,2020/7/10,定理,以上定理的证明, 可利用求导法则.,根据定理可知:,(1) 所有多项式在复平面内是处处解析的.,13,2020/7/10,定理一,三、函数解析的充要条件,证,(1

3、) 必要性.,14,2020/7/10,从而,(2) 充分性.,由于,15,2020/7/10,16,2020/7/10,证毕,例1,解,17,2020/7/10,解析函数的判定方法:,注1 解析函数的实部与虚部不是完全独立的，它们是C-R方程的一组解，它们是在研究流体力学时得到的。,注2 解析函数的导数形式更简洁。,18,2020/7/10,四、典型例题,解,不满足柯西黎曼方程,例1 判断下列函数在何处可导，在何处解析：,四个偏导数均连续, 但是,19,2020/7/10,例2,解,20,2020/7/10,例3,证: 因为,类似可进一步证明:,21,2020/7/10,例4,证,22,20

4、20/7/10,一、指数函数,1.指数函数的定义:,第二节 初等解析函数,指数函数的定义等价于关系式:,2. 加法定理,23,2020/7/10,例1,解,例2,解,24,2020/7/10,二、三角函数和双曲函数,1. 三角函数的定义,将两式相加与相减, 得,现在把它们定义推广到自变数取复值的情况：,正弦函数和余弦函数在复平面内都是解析函数.,25,2020/7/10,有关正弦函数和余弦函数的几组重要公式,(注意：这是与实变函数完全不同的),事实上，,26,2020/7/10,例1,解,其它三角函数,27,2020/7/10,2. 双曲函数的定义,它们的导数分别为,它们都是以 为周期的周期函

5、数,显然这些函数都是解析函数，各有其解析区域，且都是相应的实双曲函数在复数域内的推广。,28,2020/7/10,思考题:,实变三角函数与复变三角函数在性质上有哪些异同?,思考题答案,两者在函数的奇偶性、周期性、可导性上是类似的, 而且导数的形式、加法定理、正余弦函数的平方和等公式也有相同的形式.,最大的区别是, 实变三角函数中, 正余弦函数都是有界函数, 但在复变三角函数中,3.初等复变函数：基本初等复变函数经过加、减、乘、除、乘方和开方等基本运算，或经历有限次复合运算，所形成的复变函数称为初等复变函数,简称为复变函数.,29,2020/7/10,定义2.8(单叶函数） 设函数f(z)在区域

6、D内有定义,且对D内任意不同的两点z1及z2都有f(z1)f(z2),则称函数 f(z)在D内是单叶的.并且称区域D为f(z)的单叶性区域. 显然,区域D到区域G的单叶满变换w=f(z)就是D 到G的一一变换. f(z)=z2不是C上的单叶函数. f(z)=z3是C上的单叶函数,第三节 初等多值函数,30,2020/7/10,定义2.9 若z=wn,则称w为z的n次根式函数，记为：, 根式函数,为幂函数z=wn 的反函数.,(1) 根式函数的多值性.,1. 根式函数,31,2020/7/10,(2) 分出根式函数的单值解析分支.,从原点O起到点任意引一条射线将z平面割破，该直线称为割线，在割破

7、了的平面(构成以此割线为边界的区域，记为G)上，argz2，从而可将其转化为单值函数来研究。,32,2020/7/10,wk在其定义域上解析,且,分成如下的n个单值函数：,(3) 的支点及支割线,定义1 设 为多值函数， 为一定点，作小圆周,，若变点 沿 转一周，回到出发点时，,函数值发生了变化，则称 为 的支点，如,就是其一个支点，这时绕 转一周也可看作绕点,转一周，故点 也是其一个支点.,常用方法： 从原点起沿着负实轴将z平面割破,即可将根式函数:,33,2020/7/10,定义2 设想把平面割开，借以分出多值函数的单值分支的割线，称为多值函数的支割线.,如 可以以负实轴为支割线.,注 a

8、) 支割线可以有两岸.,b) 单值解析分支可连续延拓到岸上.,c) 支割线改变各单值分支的定义域，值域也随之改变.,d) 对 ，当以负实轴为支割线时，当 时取正值的那个分支称为主值支.,34,2020/7/10,二、对数函数,1. 定义,2.计算公式：,35,2020/7/10,说明：,w=Lnz是指数函数ew=z的反函数，,Lnz一般不能写成lnz,其余各值为,例1,解,注意: 在实变函数中, 负数无对数, 而复变数对数函数是实变数对数函数的拓广.,36,2020/7/10,例2,解,3. 对数函数的性质,37,2020/7/10,4. 分出w=Lnz的单值解析分支,从原点起沿着负实轴将z平

9、面割破，就可将对数函数,w=Lnz分成如下无穷多个单值解析分支：,wk在定义域上解析,且,例1 设 定义在沿负实轴割破的平面上，且,以 为支点，连接 的任一 （广义）简单曲线可作为其支割线.,解：,求值：,（是下岸相应点的函数值）求 的值.,38,2020/7/10,三、乘幂 与幂函数,1. 乘幂:,39,2020/7/10,3. 幂函数的解析性,原点和负实轴的复平面内是解析的,40,2020/7/10,41,2020/7/10,例1,解,它是无穷多个独立的、在z平面上单值解析的函数。,42,2020/7/10,1. 反三角函数的定义,两端取对数得,同样可以定义反正弦函数和反正切函数, 重复以

10、上步骤, 可以得到它们的表达式:,四、反三角函数和反双曲函数,43,2020/7/10,2. 反双曲函数的定义,例1,解,44,2020/7/10,五、具有有限个支点的情形,设有任意N次多项式：,分别为P(z)的一切相异零点，对应重数为,且有,则函数,的支点有以下结论：,(1) 的可能支点为 和 ；,(2) 当且仅当 不能整除 时， 是 的支点；,(3) 当且仅当 不能整除 时， 是 的支点；,(4) 若 能整除 中若干个之和，则 中对应的几个就可以联结成割线，即变点 z 沿只包含它们在其内部的简单闭曲线转一整周后，函数值不变.,45,2020/7/10,例1 作出一个含 i 的区域,使得函数

11、,在此区域内可分解成单值解析分支,求一个分支在i点,解,可能的支点为,易知函数,因,0,1,2与无穷，,具体分析见下图,结论：0、1、2与无穷都是支点。,的值,使其满足,46,2020/7/10,支点确定后，我们作区域，将函数分解成单值解析分支。,首先，在复平面内作一条连接0,1,2及无穷远点的任意无界简单连续曲线作为割线,在所得区域内,可以把w分解成连续分支。例如,可取 作为割线,得到区域D。,其次,也可以取线段0,1及从2出发且不与0,1相交的射线为割线,在所得区域内,可以把w分解成连续分支。例如，可取0,1及 作为割线,得到区域 。,47,2020/7/10,例2 验证函数,内可以分解成解析分支;求出这