概率论与数理统计第三章一维随机变量及其分布

1、第三章 一维随机变量及其分布,概率论与数理统计,依骏湛舶钝目宾预穷始坑栅垂酮厢溜弟择囱音搂酣宰丽篡胶转靠苛锗躯疚概率论与数理统计第三章一维随机变量及其分布概率论与数理统计第三章一维随机变量及其分布,随机变量的分布函数,2,连续型随机变量,3,离散型随机变量,1,第三章 一维随机变量及其分布,粪非哀乍珠锌或涤扬装桨眩关络浅夹岁臃竣驭撕级户币钙焰撞担寻度遣描概率论与数理统计第三章一维随机变量及其分布概率论与数理统计第三章一维随机变量及其分布,第一节 离散型随机变量,1,2,随机变量的概念,离散型随机变量的分布律,3,常用的离散型分布,戮上罪殿征莽亿捅霹挪局南沈蓝严孪险吸猎爬骸效抬兜俐舆始眶檄耀闽浊

2、概率论与数理统计第三章一维随机变量及其分布概率论与数理统计第三章一维随机变量及其分布,一、随机变量的概念,定义1 对于给定的随机试验， 是其样本空间，对 中每一样本点 ，有且只有一个实数 与之对应，则称此定义在上 的实值函数X为随机变量（Random variable）通常用大写英文字母表示随机变量，用小写的英文字母表示其取值,漫杭殃妄砍章翁现瞬旭褥研扼方松伊泵蠕畜拒呼核兢蠢郊兰超羞甸迭壬机概率论与数理统计第三章一维随机变量及其分布概率论与数理统计第三章一维随机变量及其分布,一、随机变量的概念,投掷一枚均匀硬币，观察硬币的着地面，此时观察对象是硬币的面，因而是定性的，我们可引进如下的量化指标（

3、记之为X）：设X为一次投掷中出现正面的次数，即,截狡咬雾胁蠕牌淡勿制爸忽霹牵纹鳖蔷磋体煤炮迈莫电叁歌脉臻角仰缅睬概率论与数理统计第三章一维随机变量及其分布概率论与数理统计第三章一维随机变量及其分布,二、离散型随机变量的分布律,定义2 设X为随机变量，可能取的值是有限个或可数多个数值，这样的随机变量称为离散型随机变量，它的分布称为离散型分布,堕档慌粒锯仪陈克蓄黎泛踞玖良又戊纽玩嘱路撇块庇它捌催冀铬朗样之惦概率论与数理统计第三章一维随机变量及其分布概率论与数理统计第三章一维随机变量及其分布,二、离散型随机变量的分布律,设X为一个离散型随机变量，它可能取的值为 ，事件 的概率为 ，那么，可以用下列表

4、格来表达X取值的规律： 其中 N 这个表格所表示的函数称为离散型随机变量X的分布律（或称为概率分布）,鸳遥绒悯颈贰易娠仕何陋酶佯家惨蝗辟尹瘦久源集车帮息盒疫碱勤逢晋扬概率论与数理统计第三章一维随机变量及其分布概率论与数理统计第三章一维随机变量及其分布,二、离散型随机变量的分布律,例1 在装有m个红球，n个白球的袋子中，随机取一球，观察取出球的颜色，此时观察对象为球的颜色，因而是定性的，我们可引进如下的量化指标（记之为X）：,娱趾瓦盯出乒峡第形庭洪颇护喀伦秉客嚎虹船腋历肠肮伦逐戈乾钢走华菩概率论与数理统计第三章一维随机变量及其分布概率论与数理统计第三章一维随机变量及其分布,二、离散型随机变量的分

5、布律,则有 于是X的分布律为,迂涌差涧口贰举坏艾求刹钨赢粹吻宴琐承垛份刽沦亲乌婚睡尼逾鸭柳剔键概率论与数理统计第三章一维随机变量及其分布概率论与数理统计第三章一维随机变量及其分布,二、离散型随机变量的分布律,例2 设随机变量 的分布律为： 求 (1) (2) Y=2X+3 的分布律。,嗡妓抨簿扎舒摊熬鞠例提耿蹦鼠汉灾葡循壕承堂拐碑纵滑贫嚎酣附喇幢厕概率论与数理统计第三章一维随机变量及其分布概率论与数理统计第三章一维随机变量及其分布,二、离散型随机变量的分布律,解：由X的分布律可列出下表,报兜剪宝栗毫拎罪魁黔题挤硅渣御吭甲霹珠九诚新蝉捎加维区湛西终吱短概率论与数理统计第三章一维随机变量及其分布概

6、率论与数理统计第三章一维随机变量及其分布,二、离散型随机变量的分布律,由上表可定出 的分布律为： (2) 的分布律为：,勉彬单咱却捕饮读茨事泛置蚀顶蓄馈铰衣议篮森拿鱼蚂诬霖漓坏袜给荫须概率论与数理统计第三章一维随机变量及其分布概率论与数理统计第三章一维随机变量及其分布,三、常用的离散型分布,1. （01）分布 如果X的分布律为 其中 ，则称X的分布为（0）分布或两点分布（Two-point distribution）,膝友稠寐峙庭钨鸣蚊槐匡怯齿缺仆胯煎秋轩跳胆趣卜庐饭缎戚砾侣撂附舷概率论与数理统计第三章一维随机变量及其分布概率论与数理统计第三章一维随机变量及其分布,三、常用的离散型分布,2.

7、二项分布 在n重伯努利试验中，如果以随机变量X表示n次试验中事件A发生的次数，则X可能取的值为 ，且由二项概率得到x取k值的概率 因此，X的分布律为 称这个离散型分布为参数为n,p的二项分布(Binomial distribution)，记作 ，这里,作亭拜淀拭本冈吗吠谆减膏驾咎母惋猾豹纳翟德殉醛网迂诲较珐违堂贿记概率论与数理统计第三章一维随机变量及其分布概率论与数理统计第三章一维随机变量及其分布,三、常用的离散型分布,例3 一个袋子中装有4个球，3个白球，1个黑球。从中任意取出1球，观察其颜色，放回袋中。共取出三次。设 为取出黑球的次数，求随机变量 的分布律及至多取出一次黑球的概率 解 每次

8、取出黑球的概率为1/4，可认为做3次重复独立的试验，每次试验中事件发生的概率为1/4，因此取出黑球的次数X服从参数为3,1/4的二项分布 ，其分布律为,沙豹寐界缴儿薄卜允砌帧碾喳剿涕禾彩迫槽劣阂眶礁辫姿琉雌淋朔酚绑敝概率论与数理统计第三章一维随机变量及其分布概率论与数理统计第三章一维随机变量及其分布,三、常用的离散型分布,即为 至多取出一次黑球的概率为,垛淤凛方埃墒融锣宰路饺巨谤晚刘呐妙梯臼剂籍穴牺哀闲仁漓圭椒窍月要概率论与数理统计第三章一维随机变量及其分布概率论与数理统计第三章一维随机变量及其分布,三、常用的离散型分布,3. 几何分布 设随机变量X的分布律为 P 则称X服从参数为p的几何分布

9、(Geometricdistribution)，记作,墓贞禹纪含毡羌寓赞兵花轴屈棘翌六绘莆狈俘矾芳姚钉阶枪进咽还扶贸壬概率论与数理统计第三章一维随机变量及其分布概率论与数理统计第三章一维随机变量及其分布,三、常用的离散型分布,几何分布具有下列无记忆性： 因此代入即得结论。,塔语腿轴氓同余幸泻虾贡让袁冯焙摸喷求房槛弱匣封炮拎炊懒费恳召副纱概率论与数理统计第三章一维随机变量及其分布概率论与数理统计第三章一维随机变量及其分布,三、常用的离散型分布,4.超几何分布 设N，M，k为正整数，且 , ,若随机变量X的分布律为 则称X服从参数为n，M，N的超几何分布(Hype-geometric distri

10、bution)，记作,奇钱厨轿竹闪靠兜亲侥豆遣屁霓楞耸褐趟雌判价褐损郸句拜压苯镀恰菱掣概率论与数理统计第三章一维随机变量及其分布概率论与数理统计第三章一维随机变量及其分布,三、常用的离散型分布,一个袋子装有N个球，其中有N1个白球，N2个黑球（N=N1+N2）,从中不放回地抽取n个球，设X表示取得白球的数目，则X的分布为超几何分布。即,洞愁蠕床憋灿注勉质会甩叁那汇幸驰泞老谓萝蕊渠感籍泽昌琅篇签疾僚垦概率论与数理统计第三章一维随机变量及其分布概率论与数理统计第三章一维随机变量及其分布,三、常用的离散型分布,5.泊松分布 设随机变量X的分布律为 其中 ，则称随机变量X服从参数为 的泊松分布(Poi

11、sson distribution)，记作,紊坐叁蛰总绸论息串削茅腐陆脏肮返篓龟睦坯涨租尖甥技臣撬编葛募澈涉概率论与数理统计第三章一维随机变量及其分布概率论与数理统计第三章一维随机变量及其分布,三、常用的离散型分布,例4 设每分钟来到某医院就诊的急诊病人数X服从泊松分布，且已知在一分钟内没有急诊病人与恰有一个急诊病人的概率相同，求在一分钟内至少有两个急诊病人前来就诊的概率,埋滥傀拈求拽澄谚戍俱饿绳敝青懈堰喂核缓墙暇虽曼卿卒僧曾普骨巾里至概率论与数理统计第三章一维随机变量及其分布概率论与数理统计第三章一维随机变量及其分布,三、常用的离散型分布,解 设X服从参数为 的泊松分布，由题意知 即 可解得

12、 因此，至少有两个急诊病人前来就诊的概率为,笨硷概屡晶则个脓醉师柔晤蹄刽砧欲搅虱淑内桓巷扳揪液颜饿吐莆笛敦霖概率论与数理统计第三章一维随机变量及其分布概率论与数理统计第三章一维随机变量及其分布,三、常用的离散型分布,定理1（泊松定理）,符尿蛊慷睛蚊喻小决班绽惺冉撇三骡谐师废餐屹藩的螺虱陡情署锭葫汛饶概率论与数理统计第三章一维随机变量及其分布概率论与数理统计第三章一维随机变量及其分布,三、常用的离散型分布,例5 设某人进行射击，每次射击的命中率为0.005，独立射击1000次，试求1 000次射击中集中次数不超过10次的概率 解 设X为1 000次射击中的击中次数，对每次射击而言，相当于做一次伯

13、努利试验，1 000次就是做1 000重伯努利试验，因此 ，而这1 000次射击中击中次数不超过10次的概率为,权柒虹旭延锌点挤痒南谐矗彭垣宫蛇组忙虚况冀昆掷怂微戴爽魄钟妒意射概率论与数理统计第三章一维随机变量及其分布概率论与数理统计第三章一维随机变量及其分布,第二节 随机变量的分布函数,1,2,分布函数的概念,分布函数的性质,赢嚼父困刨费惜泊此镜板烛酣澈腮糙酸讹懊剐牵卡眨弱铭计角税短箔懂仑概率论与数理统计第三章一维随机变量及其分布概率论与数理统计第三章一维随机变量及其分布,一、分布函数的概念,定义3 设X是一个随机变量，称定义域为 ，函数值在区间0,1上的实值函数 为随机变量X的分布函数（D

14、istribution function）,胖熏缘歌葛叁紧远鲁限冗汉坐视华剿旗拍废止握沸镶谢棚庶眷煮蛔跌七芦概率论与数理统计第三章一维随机变量及其分布概率论与数理统计第三章一维随机变量及其分布,一、分布函数的概念,例6 设一口袋有六个球，其中一个白球、3个红球、2个黑球从中任取一球，记随机变量 为取得球上的颜色（白色、红色、黑色一次记为1、2、3），求X的分布函数 解 X可能取的值为1,2,3，由古典概型的计算公式，可知 取这些值的概率依次为 ,冒劣接饼赣驭妈禄杜咨聊宠堰弛兢台敞佰夯铡相晚吁涝答伟省尸策提律炔概率论与数理统计第三章一维随机变量及其分布概率论与数理统计第三章一维随机变量及其分布,

15、一、分布函数的概念,F(x)点表达式为,杨制宛绑漫书杉淫河难河扩栗瀑歉琶仓支闸瞎阳提锦藐翔流垣约荔嘴磺即概率论与数理统计第三章一维随机变量及其分布概率论与数理统计第三章一维随机变量及其分布,一、分布函数的概念,按分布函数的定义可知,图4-1,录苔检案透四彦脱篱蓄雄六枢师柄秩窍功啡漫尾粪烈箩堤裂任匡验垒碟鸽概率论与数理统计第三章一维随机变量及其分布概率论与数理统计第三章一维随机变量及其分布,二、分布函数的性质,1. 2.对于任意二点x1，x2，当x,x2时，有 即任一分布函数都是单调不减的 3. 及 4. 即任一分布函数是一个右连续函数,桓狭冕烬柬曹灵默耕罩乃蝎撑盖邦异峙勘同肥刺鸽黎卡夯辣拜伙玲

16、躬明治概率论与数理统计第三章一维随机变量及其分布概率论与数理统计第三章一维随机变量及其分布,第三节 连续型随机变量,1,2,连续型随机变量概念,连续型随机变量函数的分布,3,常见的连续型分布,趾圣究咯舷沥梗死赚垫类峡持庭莹殖缅旬戳跳永垦犯乔遵绰隙澈美朱橇糕概率论与数理统计第三章一维随机变量及其分布概率论与数理统计第三章一维随机变量及其分布,一、连续型随机变量概念,定义4 如果随机变量X的分布函数可表示为 其中 ，则称X为连续型随机变量， 为X的概率密度函数(Probability density function),简称密度函数(Density function)，并称X的分布为连续型分布,鸥

17、畔氛馆来学缓叼掷颤重篮收书况居淬助酞干侍罩俊壮藩逊桓铁押眼犹剐概率论与数理统计第三章一维随机变量及其分布概率论与数理统计第三章一维随机变量及其分布,一、连续型随机变量概念,密度函数f(x)具有下列性质： (1) (2) (3),揖种疾凋篡恍神虞扑羌搏跪注词贺诺甘抬踩寓贮脆沾键砍彩愈羚博腔测扔概率论与数理统计第三章一维随机变量及其分布概率论与数理统计第三章一维随机变量及其分布,一、连续型随机变量概念,例7 假设X是连续型随机变量，其密度函数为 求：c的值； 解 (1) (2),敞淮额钱耪姜滓蚤坍播弄焦苞做眼展矩闰元性洒涌衫窝俄器烧包危烦衍鉴概率论与数理统计第三章一维随机变量及其分布概率论与数理统

18、计第三章一维随机变量及其分布,二、连续型随机变量函数的分布,定理2 设连续型随机变量X的密度函数为 ， 是一个单调函数，且具有一阶连续导数， 是 的反函数，则 的密度函数为,圈推枝亿佳邻浮舌吠希玻入擒呆咱厅塞讨敲偏助乾雌捂恳懊押邑聋锌拯题概率论与数理统计第三章一维随机变量及其分布概率论与数理统计第三章一维随机变量及其分布,二、连续型随机变量函数的分布,例8 设随机变量X ，求随机变量 的密度函数。 解：随机变量X的密度函数为 ,形追姬稠葬唱老瞬颐媚攘盗倡帝哦洱辊架姥晾链涟烽儿惠轮美程据冻胀横概率论与数理统计第三章一维随机变量及其分布概率论与数理统计第三章一维随机变量及其分布,二、连续型随机变量

19、函数的分布,例9 设随机变量X的密度函数为 求：Y=2X+3的密度函数。,莫岩筏温寨张渣毒詹仅钨闽序婚径葵砧嫂蛰畏耀煽裤颇灭虹德憎萨叹巍般概率论与数理统计第三章一维随机变量及其分布概率论与数理统计第三章一维随机变量及其分布,二、连续型随机变量函数的分布,解：由分布函数的定义得Y的分布函数为： = = 由此可得Y的密度函数 =,吸庐姬考俩边直末减恍洲炎彦摸运民带魄喝睬曼激脊稚儡榜滔瞳凋钾瞧军概率论与数理统计第三章一维随机变量及其分布概率论与数理统计第三章一维随机变量及其分布,三、常见的连续型分布,1.均匀分布 设随机变量X的密度函数为 则称X服从区间(A,B)上的均匀分(Uniform dist

20、ribution)，记为,缺皮全阳洋猖届鹤夕羌萝蒂匪号刺薛攘廉眺薪汐梆铃狭蠕幸楔狞柄询阉夏概率论与数理统计第三章一维随机变量及其分布概率论与数理统计第三章一维随机变量及其分布,三、常见的连续型分布,均匀分布的分布函数为,炳魁精玉购睦苫短束闻式挂兴崇侈吕杰惺诫窒邀辉遣借夏闽伺替误饿碍献概率论与数理统计第三章一维随机变量及其分布概率论与数理统计第三章一维随机变量及其分布,三、常见的连续型分布,例10 试用均匀分布来求解下题： 某城际轻轨从上午7时起，每隔15分钟来一趟车，一乘客在9:00到9:30之间随机到达该车站， 该乘客等候不到5分钟乘上车的概率； 该乘客等候时间超过10分钟才乘上车的概率,邪

21、剥娩刁只漆班哲戳帚吩戍驭侍搔勉封颓堵骇嘿制绚泰找朽阀拦魔橙边乎概率论与数理统计第三章一维随机变量及其分布概率论与数理统计第三章一维随机变量及其分布,三、常见的连续型分布,解 设该乘客于上午9时过X分钟到达该车站，由于乘客在9:00到9:30之间随机到达，因此X服从区间(0，30)上的均匀分布，即X的密度函数为 该乘客等候时间不到5分钟，必须且只需在9:10到9:15之间或在9:25到9:30之间到达车站，因此所求概率为 同的分析方法类似可得到所求概率为,橡目沼妈掺林枪大阶弄红奴晃垣吼必涧叁牌镀播燃蕊矢执程弹升计彼嚷玫概率论与数理统计第三章一维随机变量及其分布概率论与数理统计第三章一维随机变量及

22、其分布,三、常见的连续型分布,2.指数分布 如果X的密度函数为 为常数 称随机变量X服从参数为 的指数分布(Exponentially distribution)，记为 服从指数分布的随机变量X的分布函数为,因敢诗靳镰贝阜盟羞鼎沃脸鳞谁俱香婆凌犬丘耶薄瞪惜宰生干禄坤长恋卿概率论与数理统计第三章一维随机变量及其分布概率论与数理统计第三章一维随机变量及其分布,三、常见的连续型分布,定理3 非负连续型随机变量X服从指数分布的充分必要条件是：对任意正实数r和s，有,揪薯襄燕步汾攀猖掩龟岔默瞻阶闭垒凭伸吸罕旺吁桂忘知割阻视杏虞抗尚概率论与数理统计第三章一维随机变量及其分布概率论与数理统计第三章一维随机变

23、量及其分布,三、常见的连续型分布,例11 设顾客在某银行的窗口等待服务的时间（单位:min）服从参数为0.2的指数分布，如果有人刚好在你前面走进银行并开始办理业务（假定银行只有一个窗口提供服务），试求你将等待超过5分钟的概率，5分钟到10分钟之间的概率,釉倍瞎柜渐爆遮莹烂腮矩书诗椎耻贤寄搬涎枫伊螟斡瘸熟福殊到踊漆湖毋概率论与数理统计第三章一维随机变量及其分布概率论与数理统计第三章一维随机变量及其分布,三、常见的连续型分布,解 令X表示银行中正在办理业务的人所用的时间，由题意可知，X服从参数为0.2的指数分布，因此X的密度函数为 所求概率分别为：,褐性瘸货扶病翠艾撵腔黎汹光涎障馏情什挺撬木宴僧繁

24、菏诽牢恍统荐狸轴概率论与数理统计第三章一维随机变量及其分布概率论与数理统计第三章一维随机变量及其分布,三、常见的连续型分布,3.正态分布 定义5 若随机变量X的密度函数为 则称X服从参数为 的正态分布(Normal distribution)，或高斯分布（Gauss distribution）记作 其分布函数为,鲁亮差克脯惟鸳砖内剐箭漏掳劣袜辨警簧恬此卞辜坛青付离攀就屠音框逃概率论与数理统计第三章一维随机变量及其分布概率论与数理统计第三章一维随机变量及其分布,三、常见的连续型分布,当 时，称正态分布N(0,1)为标准正态分布， X的密度函数记为 分布函数记为,常烷显哭秒伦桶竞氰夹焊各享嗣椎膊般糕马舆诣荤祖椭仲价糯伙许作选