（课标专用）天津市2020高考数学二轮复习专题四数列4.1等差数列与等比数列课件.pptx

1、专题四数列,-2-,4.1等差数列与等比数列,-4-,突破点一,突破点二,突破点三,突破点四,等差数列与等比数列的基本量的求解 【例1】(1)记Sn为等差数列an的前n项和,若3S3=S2+S4,a1=2,则a5=() A.-12 B.-10C.10 D.12 (2)“十二平均律”是通用的音律体系,明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例,为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份,依次得到十三个单音,从第二个单音起,每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于 .若第一个单音的频率为f,则第八个单音的频率为(),B,D,-5-,突破点一,突破点二,突破点三,突破点

2、四,分析推理(1)根据已知,直接设公差d,然后根据等差数列前n项和公式表示已知,列出方程求解,然后再代入通项公式求项;(2)首先根据已知确定十二平均律中单音的频率依次排列构成等比数列,然后确定公差和首项,代入通项公式即可求项.,解析:(1)因为3S3=S2+S4,所以3S3=(S3-a3)+(S3+a4),即S3=a4-a3.设公差为d,则3a1+3d=d,又由a1=2,得d=-3,所以a5=a1+4d=-10.,故选D.,-6-,突破点一,突破点二,突破点三,突破点四,规律方法等差数列、等比数列的通项公式、求和公式中一共包含a1,n,d(q),an与Sn这五个量.如果已知其中的三个,就可以求

3、其余的两个.其基本解题过程为 (1)设基本量:首项a1和公差d(公比q); (2)列、解方程组:把条件转化为关于a1和d(q)的方程(组),然后求解,注意整体代换,以减少运算量.,-7-,突破点一,突破点二,突破点三,突破点四,即时巩固1(1)(2019辽宁丹东高三质量测试(一)我国明代伟大数学家程大位在算法统宗中常以诗歌的形式呈现数学问题,其中有一首“竹筒容米”问题:“家有九节竹一茎,为因盛米不均平,下头三节三升九,上梢四节贮三升,唯有中间两节竹,要将米数次第盛,若有先生能算法,也教算得到天明.”意思是:九节竹的盛米容积成等差数列,其中的“三升九”指3.9升,则九节竹的中间一节的盛米容积为(

4、) A.0.9升B.1升 C.1.1升D.2.1升 (2)(2019山东聊城一模)记Sn为等比数列an的前n项和,若2S3=S4+S5,a1=1,则a6=() A.1B.32 C.64D.-32,B,D,-8-,突破点一,突破点二,突破点三,突破点四,即a2+5d+a2+6d=2a2+11d=2.6+11d=1.5,解得d=-0.1, 故a5=a2+3d=1.3-0.3=1(升).故选B. (2)设等比数列an的公比为q,显然q1. 2S3=S4+S5,a1=1,化简得q2+q-2=0,解得q=-2. 则a6=(-2)5=-32.故选D.,-9-,突破点一,突破点二,突破点三,突破点四,等差数

5、列与等比数列的判定与证明 【例2】(1)已知an是各项均为正数的等差数列,公差为d.对任意,列cn是等差数列. (2)设Sn为等比数列an的前n项和,已知S2=2,S3=-6. 求an的通项公式; 求Sn,并判断Sn+1,Sn,Sn+2是否成等差数列. 分析推理(1)首先根据已知用an表示bn,进而表示出cn,然后检验cn+1-cn是否为常数即可证明;也可以先写出数列an的通项公式,再根据已知求出数列 的通项公式进行判断.(2)首先根据已知列出方程组求出首项与公比,进而求出数列的通项公式;根据问,求出Sn,然后利用等差中项检验三项是否构成等差数列.,-10-,突破点一,突破点二,突破点三,突破

6、点四,因此cn+1-cn=2d(an+2-an+1)=2d2, 所以cn是等差数列. 方法二(通项法)由已知可知数列an是公差为d的等差数列,设首项为a1,则an=a1+(n-1)d.,由已知,d为常数,所以数列cn是首项为2d(a1+d),公差为2d2的等差数列.,-11-,突破点一,突破点二,突破点三,突破点四,故Sn+1,Sn,Sn+2成等差数列.,-12-,突破点一,突破点二,突破点三,突破点四,该题中的(2)中,是否对所有的等比数列“Sn+1,Sn,Sn+2成等差数列”都成立?如果成立,请给出证明;如果不成立,请求出成立的条件.,解:并不是对所有的等比数列“Sn+1,Sn,Sn+2成

7、等差数列”都成立. 设等比数列an的首项为a1,公比为q. (1)当q=1时,Sn=na1. 此时Sn+1+Sn+2=(n+1)a1+(n+2)a1=(2n+3)a1. 由Sn+1,Sn,Sn+2成等差数列可得,Sn+1+Sn+2=2Sn, 即(2n+3)a1=2na1. 因为a10,显然该等式不成立,所以此时Sn+1,Sn,Sn+2不能构成等差数列.,-13-,突破点一,突破点二,突破点三,突破点四,整理得qn+2+qn+1-2qn=0,即q2+q-2=0, 解得q=1(舍),q=-2. 所以q=-2. 综上,只有公比q=-2的等比数列an,上述结论才能成立.,-14-,突破点一,突破点二,

8、突破点三,突破点四,规律方法1.证明数列an是等差数列的两种基本方法: (1)利用定义,证明an+1-an(nN*)为常数; (2)利用等差中项,证明2an=an-1+an+1(n2). 2.证明数列an是等比数列的两种基本方法:,-15-,突破点一,突破点二,突破点三,突破点四,即时巩固2(1)(2019天津河北区二模)已知数列an满足a1=2,(n+2)an=(n+1)an+1-2(n2+3n+2),设bn= . 求b1,b2,b3的值; 证明数列bn是等差数列. (2)(2019河北唐山一模)已知数列an满足:a1=1,an+1=2an+n-1,记bn=an+n. 求b1,b2,b3;

9、判断bn是否为等比数列,并说明理由; 求an的前n项和Sn.,-16-,突破点一,突破点二,突破点三,突破点四,解:(1)将n=1代入得3a1=2a2-12. 又a1=2,所以a2=9. 将n=2代入得4a2=3a3-24,所以a3=20.,证明:将(n+2)an=(n+1)an+1-2(n2+3n+2)两边同时除以(n+1)(n+2),得,所以数列 是以1为首项,2为公差的等差数列.,-17-,突破点一,突破点二,突破点三,突破点四,(2)因为a1=1,所以a2=2a1+0=2,a3=2a2+2-1=5, 从而b1=2,b2=a2+2=4,b3=a3+3=8. bn是等比数列.理由如下: 因

10、为an+1=2an+n-1, 所以an+1+(n+1)=2(an+n),所以bn是等比数列,且首项b1=2,公比为2. 由知bn=2n, 故an=bn-n=2n-n.,-18-,突破点一,突破点二,突破点三,突破点四,等差数列与等比数列性质的应用 【例3】(1)(2019陕西榆林三模)在等差数列an中,其前n项和为Sn,且满足若a3+S5=12,a4+S7=24,则a5+S9=() A.24B.32 C.40D.72,分析推理(1)根据等差数列的性质与前n项和公式,将S5,S7,S9用a3,a4,a5表示,然后再结合已知和所求,利用等差中项求解;(2)根据等比数列的性质,结合已知将所求代数式进

11、行化简,然后整体代入已知求值即可.,C,-19-,突破点一,突破点二,突破点三,突破点四,解析:(1)a3+S5=6a3=12,a4+S7=8a4=24, a3=2,a4=3,a5=4, a5+S9=10a5=40,故选C. (2)(方法一)设等比数列an的公比为q,-20-,突破点一,突破点二,突破点三,突破点四,-21-,突破点一,突破点二,突破点三,突破点四,规律方法等差数列与等比数列的性质多与其下标有关,解题需多注意观察,发现其联系,加以应用. (1)等差数列的性质:an=am+(n-m)d(n,mN*); 若m+n=p+q,则am+an=ap+aq(m,n,p,qN*); 设等差数列

12、an的前n项和为Sn,则Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,也是等差数列. (2)等比数列的性质:an=amqn-m(m,nN*); 若m+n=p+q,则aman=apaq(m,n,p,qN*); 若等比数列an的公比不为-1,前n项和为Sn,则Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,也成等比数列.,-22-,突破点一,突破点二,突破点三,突破点四,即时巩固3(1)设Sn为等差数列an的前n项和,且a1=-2 018,A.-2 016B.-2 018 C.2 018D.2 016 (2)(2019四川南充第二次高考适应性考试)已知等比数列an中,A,C,-23-,突破点一,突破点二,突破点三,突破

13、点四,所以S2=2(-2 017)=-4 034. 所以a2=S2-a1=-4 034-(-2 018)=-2 016.故选A. (2)因为等比数列an中的各项都是正数,设公比为q,即a1q2=a1+2a1q. 因为a10,所以q2-2q-1=0,-24-,突破点一,突破点二,突破点三,突破点四,等差数列与等比数列的综合问题 【例4】设an是等比数列,公比大于0,其前n项和为Sn(nN*),bn是等差数列.已知a1=1,a3=a2+2,a4=b3+b5,a5=b4+2b6. (1)求an和bn的通项公式; (2)设数列Sn的前n项和为Tn(nN*), 求Tn;,分析推理(1)设等比数列的公比以

14、及等差数列的公差,然后根据已知建立两者的方程求解即可.(2)根据等比数列前n项和公式求出Sn,根据其结构特征,利用分组求和法求解Tn;根据前面所求化简,证明.,-25-,突破点一,突破点二,突破点三,突破点四,(1)解:设等比数列an的公比为q. 由a1=1,a3=a2+2,可得q2-q-2=0. 因为q0,可得q=2,故an=2n-1. 设等差数列bn的公差为d. 由a4=b3+b5,可得b1+3d=4. 由a5=b4+2b6,可得3b1+13d=16,从而b1=1,d=1,故bn=n. 所以,数列an的通项公式为an=2n-1,数列bn的通项公式为bn=n.,-26-,突破点一,突破点二,

15、突破点三,突破点四,规律方法等差数列和等比数列的综合问题,涉及的知识面很宽,题目的变化也很多,但是只要抓住基本量a1,d(q),充分运用方程、函数、转化等数学思想方法,合理运用相关知识,就能解决这类问题.,-27-,突破点一,突破点二,突破点三,突破点四,即时巩固4(1)(2019河北邯郸一模)设Sn为等差数列an的前n项和,若a7=5,S5=-55,则nSn的最小值为() A.-343B.-324 C.-320D.-243 (2)(2019广东六校第三次联考)设数列bn=ancos 的前n项和为Sn,已知S2 017=5 710,S2 018=4 030,若数列an为等差数列,则S2 019

16、 =.,A,666,-28-,突破点一,突破点二,突破点三,突破点四,nSn=2n3-21n2. 设f(x)=2x3-21x2(x0),f(x)=6x(x-7), 当07时,f(x)0,故nSn的最小值为f(7)=-343.故选A.,-29-,突破点一,突破点二,突破点三,突破点四,(2)设数列an是公差为d的等差数列,由S2 017=5 710,S2 018=4 030,则an=a2 018+(n-2 018)4=4n-4 712, 可得S2 019=4 030-a2 019=4 030-(42 019-4 712)=666. 故答案为666.,-30-,核心归纳,预测演练,-31-,核心归

17、纳,预测演练,1.(2019安徽安庆二模)已知Sn是等差数列an的前n项和, a2+a4+a6=12,则S7=() A.20B.28 C.36D.4,B,解析:在等差数列an中,a2+a4+a6=3a4=12,a4=4,-32-,核心归纳,预测演练,2.已知等比数列an满足a1=3,a1+a3+a5=21,则a3+a5+a7=() A.21B.42 C.63D.84,B,a3+a5+a7=(a1+a3+a5)q2=212=42.,-33-,核心归纳,预测演练,3.(2019广东潮州质检)在等比数列an中,已知a4=8a1,且a1,a2+1,a3成等差数列,则an的前5项和为() A.31B.6

18、2 C.64D.128,B,解析:设等比数列an的公比为q, a4=8a1, a1q3=8a1,a10,解得q=2. 又a1,a2+1,a3成等差数列, 2(a2+1)=a1+a3, 2(2a1+1)=a1(1+22),解得a1=2.,-34-,核心归纳,预测演练,4.中国古代词中,有一道“八子分绵”的数学名题:“九百九十六斤绵,赠分八子做盘缠,次第每人多十七,要将第八数来言”.题意是:把996斤绵分给8个儿子作盘缠,按照年龄从大到小的顺序依次分绵,年龄小的比年龄大的多17斤绵,那么第8个儿子分到的绵是() A.174斤B.184斤 C.191斤D.201斤,B,解析:用a1,a2,a8表示8个儿子按照年龄从大到小得到的绵数,由题意得数