二叉树定价模型

1、,六. 二叉树期权定价模型,Ch 6 期权类工具,Section 2 期权定价与计算,二叉树模型的基本思想,（1）衍生证券的价值是基于标的资产(或股票)的价值所以在计算资产期权价格时,可以先从资产的价格变动入手； （2）假设投资者是风险中性的（risk neutral）,即投资者对风险不要求补偿,对所有的无风险证券而言,他们的预期收益为无风险利率； （3）假设没有套利空间.,1CRR二叉树模型,把期权的存续期分成许多小的等长时间段,记作t,并假设期权价格存存在上升与下降两种可能性,上升与下降的比率分别为u和d,对应概率分别为p和（1-p）. 例13股票价格为52,无风险收益率为10%,期权距离

2、到期日为5个月,股票波动率的标准差为0.4,欧式看跌期权执行价为52.假设将时间离散为5个相等的时间段,利用二叉树模型估计看跌期权的价格. 第一步:确定p,u,和d参数. 假设股份初始价格为S,如果投资无风险资产,经过t后价值变为Set,股票收益期望为: Set=pSu+(1-p)Sd 整理为: et=pu+(1-p)d (公式6-1),（1）CRR二叉树原理及excel欧式期权算法,假设标的资产服从几何布郎运动,有: 则有资产方差: D(S)= 2S2t 该方差必须和离散模型中的资产方差相等.离散资产方差根据公式D(X)=EX2-(EX)2,于是有: 2S2t=pS2u2+(1-p)S2d2

3、-S2pu+(1-p)d2 整理,得到: 2t=pu2+(1-p) d2- pu+(1-p)d2 (公式6-2) 假设u的d满足如下的关系:u=1/d (公式6-3) 出以解出:,(公式6-4),et=pu+(1-p)d (公式6-1),如果是外汇期权, (公式6-4),r表示国内利率,r*表示国外利率,(公式6-5),(公式6-6),对于本例中的参数:,(公式6-4),第二步: 二叉树构建各期资产价格.,当时间为0时,证券价格为S,经过t时间后,证券价格可能上升到Su,也可能下降到Sd；从t到2t时,证券Su可能上升到Suu,也可能下降到Sud,而Sd可能上升到Sdu（=Sud）,也可能下降

4、到Sdd, 如图所示.以此类推.,t0,t,2t,3t,S,Su,Sd,Su2,Sud,Sd2,Su3,Su2d,Sud2,Sd3,资产价格二叉树,在时间it,资产价格有i+1种可能,可表示为:Sujdi-ji=0,1,2,Nj=i, i-1,i-2,0,(j,i),(0,1),(1,0),(0,1),(2,0),(1,1),(0,2),(3,0),(2,1),(1,2),(0,3),u的指数,d的指数,为了方便在excel中计算,我们把上图的图形变形成下面的形状,例14:接上例,资产初始价格为52,请画出五步二叉树的各期资产价格图. 解:可以用excel计算出各期价格:,利用excel计算出

5、的各期资产价格,股票价格为52,无风险收益率为10%,期权距离到期日为5个月,股票波动率的标准差为0.4,欧式看跌期权执行价为52.假设将时间离散为5个相等的时间段,利用二叉树模型估计看跌期权的价格.,实际上是个三角矩阵,可以把上面的表格写成下面的形式,就可以看出二叉树变成了上三角矩阵,整理成二叉树形式,第三步:根据各期资产价格二叉树倒推出期权定价,对于第N+1列(注意列号从1开始至N+1),各节的价值fN+1,j是: 看涨:fN+1,j=max(0,SujdN-j-K),看跌:fN+1,j=max(K-SujdN-j,0), 其中:j=N+1,N, N-1,N-2,.0. 对于第N列以前的所

6、有列,如其中的一个节点（i,j）,从节点（i,j）移动到（i+1,j+1）的概率为p,移动到（i+1,j+2）的概率为(1-p),在风险中性的情况下,节点（i,j）的价值f(i,j)为: f(i,j)=e-rt * p*f(i+1,j+1)+(1-p)f(i+1,j), 0iN,0ji (公式6-7) 按上面的方法,从第N+1列开始到第1列遍历二叉树,得到的第（1,1）个节点的值就是期权的价格. 可以理解的是,如果选择的时间间隔足够小时,就可以求出欧式期权的精确值.,上面是用excel求出例13或例14中的期权价格.这里就不再画树形图了.具体过程,见文件:二叉树求欧式期权.xls,注意:在上面

7、求p及f(i,j)等公式中,用到无风险利率r是连续复利,如果给出的是单利,则应用(1+r*t)代替ert, 用1/(1+r*t)代替e-rt. 例15 有一份欧式股票看涨期权,其执行价格为21美元,存续期为3个月.资产现价为20美元,在未来3个月内其价格可能上涨到22美元或下降到18美元.无风险利率为12%（单利）.请用单步二叉树模型求出该看涨期权的价值和看跌期权的价值. 解:由题设知,S=20, Su=22, Sd=18, r=0.12, t=0.25,这时计算资产上涨的概率p的公式应改为:,注 意,u=22/20=1.1, d=18/12=0.9,所以 f(1,0)=max(0,22-21

8、), f(0,1)=max(0,18-21)=0 所以该欧式看涨期权的价格为: 所以该欧式看跌期权的价格为:,22,c,f涨(1,0)=max(0, 22-21)=1,18,f涨(0,1)=max(0, 18-21)=0,f跌(1,0)=max(0, 21-22)=0,f跌(1,0)=max(0, 21-18)=3,(i+1,j+1),(i+1,j+2),(i+2,j+2),作 业,把例15用二步二叉树和三步二叉树分别计算其看涨与看跌期权的价格.还是按单利算.可以用excel计算.,（2）matlab计算期权的二叉树方法, 调用现有函数 Matlab中计算欧式期权的CRR二叉树模型函数为bin

9、price. 调用方式: AssetPrice, OptionValue = binprice(Price, Strike, Rate, Time, Increment, Volatility, Flag, DividendRate, Dividend, ExDiv) 输入参数: Increment:时间的增量,即t,即步长 Flag:期权的种类,Flag=1表示看涨,0表示看跌 DividentRate:（optional）红利发放率,默认值为0,表示没有红利,如果给出了红利率,则Dividend值为0 Dividend（optional）标的资产价外的红利金额,默认值是0,如果Divide

10、nd不为0,则DividendRate=0 ExDiv（optional）标的资产的除息日期. 可以理解为红利发放日至期权起始日之间的天数,但是表示与increment（t）的倍数.,输出参数: Price二叉树每个节点的价格,是一个N+1方阵.其中Price(1,1)就是期权的价格. Option期权在每个节点的现金流 例16:股票价格为52元,无风险收益率为10%,期权存续期为5个月,波动率的标准差为0.4,在3个半月（折合时间倍数为3.5）发放红利2.06元.欧式看跌期权执行价格为50,请用二叉树模型估计该看跌期权的价格. 解: Price,Option=binprice(52, 50,

11、 0.1, 5/12, 1/12, 0.4, 0, 0, 2.06, 3.5) Price = 52.0000 58.1367 65.0226 72.7494 79.3515 89.0642 0 46.5642 52.0336 58.1706 62.9882 70.6980 0 0 41.7231 46.5981 49.9992 56.1192 0 0 0 37.4120 39.6887 44.5467 0 0 0 0 31.5044 35.3606 0 0 0 0 0 28.0688,Price = 52.0000 58.1367 65.0226 72.7494 79.3515 89.064

12、2 0 46.5642 52.0336 58.1706 62.9882 70.6980 0 0 41.7231 46.5981 49.9992 56.1192 0 0 0 37.4120 39.6887 44.5467 0 0 0 0 31.5044 35.3606 0 0 0 0 0 28.0688 Option = 4.4404 2.1627 0.6361 0 0 0 0 6.8611 3.7715 1.3018 0 0 0 0 10.1591 6.3785 2.6645 0 0 0 0 14.2245 10.3113 5.4533 0 0 0 0 18.4956 14.6394 0 0

13、0 0 0 21.9312 所以该看跌期权的价格为4.4404元.,？一个有趣的发现,可以看出Price矩阵与excel算出来的是一样的,但是option矩阵就与excel有很大的不同.这是为什么？ 经过N次编程计算,我终于搞明白了,原来:默认情况下,matlab是保留四位小数计算出结果的,而excel则保留了一切小数.所以实际上excel计算更为精确,但是在金融界人们用matlab更多更容易,反而以matlab为准了., 编程计算欧式期权的价格,例18:已知股票当前价格为52,欧式看涨期权的执行价为50,无风险利率为0.1,股票波动的标准差为0.2,请自编一个函数计算该期权的价格. 解:总的

14、思路是先编写一个二叉树方法欧式看涨期权定价的函数,然后在命令行调用该函数即可. 具体说来: Step 1:在获得输入的各种参数（如现价S0,协议价K,无风险利率r,存续期T,波动率sigma,二叉树的步数等）之后,首先要求出t,上升比率及概率u和p,下降比率d和(1-p).由于二叉树在程序中实际上是上(n+1)*(n+1)三角矩阵,所以要用一个(n+1)*(n+1)零矩阵初始化期权各节点价值的二叉树矩阵（假设为lattic),Step 2: 由于二叉树的定价是从矩阵的最后一列,即第N+1列倒推到第1列,所以我们要把刚才初始化的矩阵的第N+1列的节点价值求出来,可以用公式max(0, SuN-j

15、dj-K) (j=0,1,2.N) 表示这一列.可以利用这个公式对期权价格矩阵的最后一列赋值. Step 3: 用两层循环求出期权价格矩阵.外循环（j循环）控制列,当然是从第N行开始到第1行,内循环（i循环）利用公式6-7计算出第j列各行的价值. Step 4: 写出输入变量.期权价格price就是lattic（1,1）. 具体细节见程序.,functionPrice,Lattice = eucall_lattice(S,K,r,T,sigma,N) %看涨期权二叉树定价自编函数 %输入参数 %S0股票/资产当前价格 %K看涨期权执行价格 %r无风险利率 %sigma股票/资产的年波动率标准差

16、 %N时间离散的步数 %输出参数 %Price期权的价格 %Lattice期权价格二叉树 %吴义能 2011-03-06重新修订 %,dt=T/N; u=exp(sigma*sqrt(dt); d=1/u;(i+1,j+1)(i+1,j+2)(i+2,j+2) p=(exp(r*dt)-d)/(u-d); lattic=zeros(N+1,N+1); j=0:N; lattic(:,N+1) = max(0,S*u.(N-j).*d.j -K); for j=N-1:-1:0 for i=0:j lattic(i+1,j+1) =exp(-r*dt)*(p*lattic(i+1,j+2)+(1

17、-p)*lattic(i+2,j+2); end end Price=lattic(1,1); Lattice=lattic;,（3）三叉树模型及matlab编程,在三叉树模型中,资产价格在每个结点有三种变化形式,即上升,不变和下降（上、中、下）三种形式. 相应的概率为:,m=1,pm=2/3,由图可见三叉树第N+1列的各节点可以表示为:SuN-i, (i=0,1, 2n)三叉树从第1列到第N+1列的节点的个数为:1,3,5,7,.（2n+1）可知三叉树矩阵有2n+1行,n+1列.如果按矩阵中的三叉树,各节的点的价值为:,S,S,S,S,Sd,Sd,Sd=Su-1,Su,Su,Su,Su2,S

18、u2,Sd2,Sd2=Su-2,Sd3=Su-3,Su3,三步三叉树示意图,例18 请编写三叉树欧式期权价格函数,并以例17的数据试运行. functionPrice,Lattice = TriEuOp_lattice(S,K,r,T,sigma,N,Flag) %三叉树求解欧式期权 %输入参数 %S 股票/资产当前价格 %K 看涨期权执行价格 %r 无风险利率 % T 期权存续期 %sigma 股票/资产的年波动率标准差 %N 时间离散的步数 % Flag 期权类型, 0表示欧式看涨期权,1表示欧式看跌期权 %输出参数 %Price期权的价格 %Lattice期权价格二叉树 %吴义能 201

19、1-03-06重新修订 %,dt=T/N; u=exp(sigma*sqrt(3*dt); d=1/u; pu=sqrt(dt/(12*sigma2)*(r-sigma2/2)+1/6; pm=2/3; pd=-sqrt(dt/(12*sigma2)*(r-sigma2/2)+1/6; lattic=zeros(2*N+1,N+1); % 下面计算第N+1列(最后一列的资产价格) j=0:2*N; if Flag=0 % 如果是看涨期权,节点价值用max(0, ST-K),节点通式为Su(N-j), (j=0,1, 2n) lattic(:,N+1) = max(0,S*u.(N-j) -K)

20、; elseif Flag=1 lattic(:,N+1) = max(0,K-S*u.(N-j);% 如果是看跌期权,节点价值用max(0, K-ST) end,% 下面遍历三叉树 for j=N-1:-1:0 for i=0:2*j lattic(i+1,j+1) =exp(-r*dt)*pu*lattic(i+1,j+2)+pm*lattic(i+2,j+2)+pd*lattic(i+3,j+2); end end Price=lattic(1,1); Lattice=lattic;,运行:看涨期权的价格: Price, Lattice=TriEuOp_lattice(52,50, 0.

21、1, 0.5, 0.2,5,0) Price = 5.5726 Lattice = 5.5726 10.1763 16.2158 23.2170 31.0887 39.9241 0 4.9939 9.6215 15.7229 22.7268 30.5938 0 1.7804 4.3761 9.0628 15.2324 22.2316 0 0 1.3197 3.7010 8.5157 14.7370 0 0 0.2255 0.8556 2.9334 8.0200 0 0 0 0.0809 0.4023 2.0000 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

22、0 0 0 0 0 0 0 0 0 0,看跌期权的价格: Price, Lattice=TriEuOp_lattice(52,50, 0.1, 0.5, 0.2,5,1) Price = 1.1423 Lattice = 1.1423 0.2032 0.0073 0 0 0 0 1.0400 0.1292 0 0 0 0 3.2212 0.9033 0.0564 0 0 0 0 3.2418 0.7142 0 0 0 0 6.9828 3.2639 0.4375 0 0 0 0 7.3245 3.3017 0 0 0 0 11.5772 7.7348 3.3954 0 0 0 0 12.068

23、5 8.2310 0 0 0 0 15.9526 12.5648 0 0 0 0 0 16.4490 0 0 0 0 0 19.9302,二叉树,三叉树及Black-Scholes模型的计算结果进行比较:,（4）美式期权二叉树模型,假设在节点第N列以前的一个节点(i,j),首先我们看期权不提前执行的价值,不提前执行的价值和欧式期权相等,可以记作fu(i,j), fu (i,j)还是可以由后面两个节点期望值的贴现而来；然后看提前执行的价值f(i,j),如果是看涨期权f(i,j)=S-K,如果是看跌期权f(i,j)= K-S.最后,美式期权在节点(i,j)的价值为: f(i,j)=max(S-K)

24、, fu(i,j),例19:一只不分红的股票的现价为37美元.在接下来的两年里,每年股份要么上升5%,要么下降5%.连续无风险收益率为7%.请用三步二叉树方法计算期限为两年,执行价格为38美元的美式看跌期权的价值.,解:注意本题说股价要和上涨5%,要么下降 5%. 表示u=1+5%,d=1-5%.并不满足ud=1 三步二叉树的各节点如图:ert=e0.070.25=1.0177 资产上升概率p为: 先求节点（2,1）的价值,节点（2,1）的股票价格大于38,故执行看跌期权的收益为0,因为不应提前执行.所以该节点的价值f (2,1)为: f (2,1)u(2,1)=0.3473 再求节点（2,2

25、）的价值: 节点（2,2）提前执行的价值f(2,2)为:f(2,2)=2.85 f(2,2) fu(2,2), f(2,2)= f(2,2)=2.85 最后求出t0时刻的期权价格为: P=e-rtp*f(2,1)+(1-p)*f(2,2) =0.67654*0.3473+(1-0.67654)*2.85/1.0177=1.1368（美元） 即该美式看跌期权的价格约为1.1368美元.,例20:考虑一个外汇平值看涨期权,即期价为100美元,执行价格也为100美元.存续期为6个月,年波动率为=20%,国内利率r=5%,国外利率r*=8%. 请用excel计算该情况下,美式看涨期权与欧式看涨期权的价

26、格.请用四步二叉树. 解:如下表所示,例21 无收益美式期权二叉树自编函数. functionPrice,Lattice = BinAmOp_lattice(S,K,r,T,sigma,N,Flag) %无收益美式看涨期权二叉树定价自编函数 %输入参数 %S0 股票/资产当前价格 %K 看涨期权执行价格 %r 无风险利率 %sigma股票/资产的年波动率标准差 %N 时间离散的步数 % Flag 期权的标志,0表示看涨,1表示看跌 %输出参数 %Price期权的价格 %Lattice期权价格二叉树,dt=T/N; u=exp(sigma*sqrt(dt); d=1/u; p=(exp(r*dt

27、)-d)/(u-d); asset=zeros(N+1,N+1); % 资产价格矩阵 carry=zeros(N+1,N+1); % 美式期权提前执行所获收益 lattic=zeros(N+1,N+1); % 各节点的期权价值的矩阵 % 下面算出各节点资产价格 for i=1:N+1 for j=1:i asset(j,i)= S*u.(i-j).*d.(j-1 ); end end % asset是资产价格矩阵,% 下面计算提前执行收益矩阵 if Flag=0 % 如果是看涨期权 carry=max(0,asset-K); elseif Flag=1 % 如果是看跌期权 for i=1:N+1 % 注意不能简单地用carry=max(0,K-asset),因为矩阵中有些节点的值是0,就