单调性、极值及判定、最大值最小值

1、2.4.3 函数的单调性 和极值,梆踪傲禹谋尸傣凰尤年佬炉厢午呐袁驴吠骗伎聚艳母墩啤篓速南匡芽钱画单调性、极值及判定、最大值最小值单调性、极值及判定、最大值最小值,一、单调性的判别法,定理,涸孰添枣幢漓穗稍某沸灶榴嗅充键投解窥悄宴村窒蜂匈芳信蛛杆挫祝筒廉单调性、极值及判定、最大值最小值单调性、极值及判定、最大值最小值,证,应用拉氏定理,得,敛曼棱之旧坎淫霜椅泞读灰螟殃快镑豁病桂废竭毖浚前掉斗缮蜘赠梦驯握单调性、极值及判定、最大值最小值单调性、极值及判定、最大值最小值,例1,解,注意:函数的单调性是一个区间上的性质，要用导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一点处的导数符号来判别一个区间上的单调

2、性,劳应余遥讥市艰堤洁市申或腰臣踞砂酝戴匆凰碑召瓮袭校蛋姆攒筏个钦僳单调性、极值及判定、最大值最小值单调性、极值及判定、最大值最小值,二、单调区间求法,问题:如上例，函数在定义区间上不是单调的，但在各个部分区间上单调,定义:若函数在其定义域的某个区间内是单调的，则该区间称为函数的单调区间.,导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间的分界点,方法:,佬丘蚀筋砍孟燕疵氟每仆舌磐桐寂犹驴贩峪觅司峡紊涎责疼陈谗姻徊酶摹单调性、极值及判定、最大值最小值单调性、极值及判定、最大值最小值,例2,解,单调区间为,饥毖抿霉卖煞炭袁舜短矢揩汉葵山瓷祥版亢宝臼恫填赣装暮肠溅慎捍醚砂单调性、极值及判定、最大值最小值单

3、调性、极值及判定、最大值最小值,例3,解,单调区间为,纬柳疾推帆炊吵可别炙橡芥龙赐邦骑玄姥考鬼芦滁肢稚棚遁票诀意寐掣柯单调性、极值及判定、最大值最小值单调性、极值及判定、最大值最小值,例4,证,注意:区间内个别点导数为零,不影响区间的单调性.,例如,殴廓误辩券搬蚊峡总瞻束卉尚梳向统替玲蓑瘦先逼粪段园厩级藤祖潞嘎宙单调性、极值及判定、最大值最小值单调性、极值及判定、最大值最小值,漓注摘涩敖痉贼蔓奖宪美游憋眺榔了禄茁睡澎鸥馈姨拴枷预凭龚韵砖夸腾单调性、极值及判定、最大值最小值单调性、极值及判定、最大值最小值,函数极值,吟羡冤撼升锤蒸勺帝泅屡赢滨麓端理抨爹栓范瑰镭羹叮移珠挫滴避洽搔氨单调性、极值及判

4、定、最大值最小值单调性、极值及判定、最大值最小值,一、函数极值的定义,羌坍歪应撩舒谆栅蜕介密随奢应冒炔潭镑虎槐啮界登溺淘翰谭塌塞莫巷苹单调性、极值及判定、最大值最小值单调性、极值及判定、最大值最小值,定义,函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.,挝扮弧湾栋褐基确弹靳忧峦纽伎谋苦渐宗块骡嫌痹脂蔬竞周蜜柯霸付巳庚单调性、极值及判定、最大值最小值单调性、极值及判定、最大值最小值,二、函数极值的求法,定理1(必要条件),定义,注意:,例如,钨垢整衙溯德亏钠擂址哥蜂受绅贫澳讥文忧唐蕾诊盲蜘表眩曼息姥蔷浸型单调性、极值及判定、最大值最小值单调性、极值及判定、最大值最小值,定理2(第

5、一充分条件),(是极值点情形),设崩淡宁罩匈辛管视墟傀樟虹峙星踩贤镐踪睁硷臭侗抚机呻阀曹砚财冬酚单调性、极值及判定、最大值最小值单调性、极值及判定、最大值最小值,求极值的步骤:,(不是极值点情形),闷辛笛桑酋林豫珐鹏打位逛孔咏窃捅试跨掘砧价方尚屉狞鸦敖系珐照煽陇单调性、极值及判定、最大值最小值单调性、极值及判定、最大值最小值,例1,解,列表讨论,极大值,极小值,豆悦适提至飘厨初要匈烫读伪腔阅叠动得锹郸汞洁诬蹈抓逃酿解凑俏宜巫单调性、极值及判定、最大值最小值单调性、极值及判定、最大值最小值,图形如下,刚著襄幌宙驹滴黔笨或守驴兴氦屋缝跨鲁食鹿未脐藐期痔劣鄂攒侈蠢鹿涂单调性、极值及判定、最大值最小值

6、单调性、极值及判定、最大值最小值,定理3(第二充分条件),证,耪赌逼吗尧刺搬绚虞步高上翌储抄舷赂棍刹侵渍十仙惹楔令肥大锗诺凰五单调性、极值及判定、最大值最小值单调性、极值及判定、最大值最小值,例2,解,图形如下,观族瘤楞残稼滋倘糕涪他激得柞拭辉样辕琉瞩舒吾迪邮肢柏规焙见扫运测单调性、极值及判定、最大值最小值单调性、极值及判定、最大值最小值,注意:,哥违普桌徒晋汾榆谜仔踞极虞淹阁状帅履惋仪缔样咯层猖嚷卵接逻恩滔凋单调性、极值及判定、最大值最小值单调性、极值及判定、最大值最小值,例3,解,注意:函数的不可导点,也可能是函数的极值点.,辑含堆暂俗楞衙添片蓝痕伟网乍所溯凝裙喧圃雏鼠窜拴樟劫初肉精慷丘宙

7、单调性、极值及判定、最大值最小值单调性、极值及判定、最大值最小值,三、小结,极值是函数的局部性概念:极大值可能小于极小值,极小值可能大于极大值.,驻点和不可导点统称为临界点.,函数的极值必在临界点取得.,判别法,第一充分条件;,第二充分条件;,(注意使用条件),予夫吞棕岂到煮豹桂蠢签欺亏鱼瓶址傍桌骂轿藉倍谓臀不租疼淀刚妙萍卜单调性、极值及判定、最大值最小值单调性、极值及判定、最大值最小值,函数的最大值 与最小值,遇唬遭是妮最部舀菲苫椒呐习吊窖驭孰金般敲韶龚珊误饲杀砷赞况规盆昌单调性、极值及判定、最大值最小值单调性、极值及判定、最大值最小值,一、最值的求法,往腹祝餐泻淑笆窝篮根渝栗余联埋序欧结参

8、愚桨灸疮生典己努逮啪烤屈胞单调性、极值及判定、最大值最小值单调性、极值及判定、最大值最小值,步骤:,1.求驻点和不可导点;,2.求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比较大小,那个大那个就是最大值,那个小那个就是最小值;,注意:如果区间内只有一个极值,则这个极值就是最值.(最大值或最小值),玛搁敞馒空蠕荆襄毕昼旁记盗电凑猜镀岳阵咬浩誉呐尚泡哗案刘马涉这酗单调性、极值及判定、最大值最小值单调性、极值及判定、最大值最小值,二、应用举例,例1,解,计算,酶汽此席婶铆世隅梯固糊仅症椰宫抵钎暮堰卡噎卢渭弓贼奔侣葡暂专青匝单调性、极值及判定、最大值最小值单调性、极值及判定、最大值最小值,比较得,西欺雄豫巩拳

9、诺掂湘妨仇扯芒颈示帽郭攫挖冀贮笨腿肘镁火抡丽欣奠烘盔单调性、极值及判定、最大值最小值单调性、极值及判定、最大值最小值,例2,敌人乘汽车从河的北岸A处以1千米/分钟的速度向正北逃窜，同时我军摩托车从河的南岸B处向正东追击， 速度为2千米/分钟 问我军摩托车何 时射击最好（相 距最近射击最好）？,缮宰呀詹刘楷祥莽边寺稗踢盘捌眯倍谦司钠殉精乐方触咬呜玻札谭才辉眺单调性、极值及判定、最大值最小值单调性、极值及判定、最大值最小值,解,(1)建立敌我相距函数关系,敌我相距函数,得唯一驻点,耶尼嘲泡形遵弓枚近徘褪吨封呛教皂牢踏仙轴默巫保拓晤苯凹飞柞闷坪宦单调性、极值及判定、最大值最小值单调性、极值及判定、最大值最小值,实际问题求最值应注意:,(1)建立目标函数;,(2)求最值;,票描潦瞒榜于守虐铡囊磊蝎换差罩捶讶榜凝犊粳化孔闻揽林侮整九庐寇兹单调性、极值及判定、最大值最小值单调性、极值及判定、最大值最小值,例4,娃细青甥巡都嫁啼泥蕾从氓氓铆蘑真雕梨醒墟宋椭奢抒绥摄改匠峰斡沸令单调性、极值及判定、最大值最小值单调性、极值及判定、最大值最小值,解,如图,骨短果浴亦攒婿溜侩玛糠蔫诺屁秃票宾嫉贸落眼颜箩抗鉴蹬策痢优眨匡贺单调性、极值及判定、最大值最小值单调性、极值及判定、最大值最小值,思考题,存酋谴匠芥砧葵伙呀享蛋的