数系的扩充复数的概念和复数的几何意义

1、3.1.1数系的扩充和复数的概念,Z,自然数（正整数与零）,整数,有理数,实数,可以发现数系的每一次扩充，解决了在原有数集中某种运算不能实施的矛盾，且原数集中的运算规则在新数集中得到了保留。,N,Q,R,复习回顾,引入负整数,引入分数,引入无理数,情境引入,一元二次方程,，有没有实数根？,问 题1：,历史再现,1545年意大利有名的数学 “怪杰” 卡尔丹第一次开始讨论负数开平方的问题，当时这种数被他称作“诡辩量”.几乎过了100年，法国数学家笛卡尔才给这种“虚幻之数”取了一个名字虚数1777年 瑞士数学家欧拉还是说这种数只是存在于“幻想之中”，并用i（imaginary，即虚幻的缩写）来表示它

2、的单位.直到1801年，德国数学家高斯系统地使用了i这个符号，于是使之通行于世 。,为了解决负数开平方问题，数学家引入一个新数 i ，把 i 叫做虚数单位，并且规定：,(1) i21 ；,(2)实数可以与i 进行四则运算,在进行四则运算时,原有的加法与乘法的运算律仍然成立.,问题解决:,问 题 2：,把实数和新引进的数i 像实数那样进行运算，你得到什么样的数？,i与a相加记作a+I;i 与实数b 相乘记作bi ;规定0乘以i 等于0 ;bi 与实数a相加记作a+bi,复数的概念,形如a+bi(a,bR)的数叫做复数,复数的代数形式：,全体复数所形成的集合叫做复数集，,一般用字母C表示.,知新,

3、说出下列复数的实部和虚部？,小试牛刀,虚数,实数,复数z=a+bi(a R、b R)能表示实数和虚数？,对于复数a+bi(a,bR), 当且仅当时,它是实数; 当且仅当时,它是实数0; 当时, 叫做虚数; 当时, 叫做纯虚数;,自主学习,b=0,a=0且b=0,b0,a=0且b0,复数z=a+bi(a R、b R)能表示实数和虚数,问 题 3：,如何对复数a+bi(a,bR)进行分类?,复数z=a+bi,你们可以用韦恩图把复数集与实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系表示出来吗？,问 题 4：,a,b,c,d应满足什么条件呢？,问 题 5：,若复数,思考,知新,若,问题解决:,若4+bi=a-2i

4、，求实数a,b的值。,虚数,例 1:完成下列表格（分类一栏填实数、虚数或纯虚数）,典例解析,实数m取什么值时，复数 是 （1）实数？ （2）虚数？ （3）纯虚数？,解：（1）当 ，即 时，复数z 是实数,（2）当 ，即 时，复数z 是虚数,例2：,实数的几何意义？,在几何上，我们用什么来表示实数?,实数可以用数轴上的点来表示.,数轴上的点,想一想,类比实数的几何意义，复数的几何意义是什么呢？,回忆,复数的一般形式？,Z=a+bi(a, bR),实部,虚部,一个复数由什么确定？,复数的几何意义,教学重难点,重点,难点,对复数几何意义的理解以及复数的向量表示.,由于理解复数是一对有序实数不习惯，对

5、于复数几何意义理解有一定困难. 对于复数向量表示的掌握有一定困难.,复数的几何意义（一）,复数的实质是什么？,任何一个复数z=a+bi，都可以由一个有序实数对(a,b)唯一确定.由于有序实数对(a,b)与平面直角坐标系中的点一一对应，因此复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应.,复数z=a+bi,有序实数对(a,b),唯一确定,直角坐标系中的点Z(a,b),一一对应,一一对应,可用下图表示出他们彼此的关系.,a,Z(a,b),z=a+bi,b,o,x,y,那么现在复数z=a+bi可以在平面直角坐标系中表示出来，如图所示：,复数z=a+bi用点Z(a,b)表示.,建立了平面直角坐标系

6、来表示复数的平面,-复数平面 (简称复平面),x轴-实轴,y轴-虚轴,注意,观 察,实轴上的点都表示实数；虚轴上的点都表示纯虚数，除原点外，因为原点表示实数0.,复数z=a+bi用点Z(a,b)表示.复平面内的点Z的坐标是(a,b),而不是(a, bi),即复平面内的纵坐标轴上的单位长度是1，而不是i.,练一练,复平面内的原点(0,0)表示( );,实轴上的点(2,0)表示( )；,虚轴上的点(0,-1)表示( );,点(-2,3)表示( ).,实数0,实数2,纯虚数-i,复数-2+3i,新发现,依照这种表示方法，每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一的

7、一个复数和它对应.,记住！,由此可知，复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应的.,总结,复数z=a+bi,复平面内的点Z(a,b),一一对应,结论,复数的几何意义之一是：,复数的几何意义（二）,在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序实数对与复数是一一对应的.这样，我们还可以用平面向量来表示复数.,可用下图表示出他们彼此的关系.,复数z=a+bi,一一对应,平面向量,直角坐标系中的点Z(a,b),一一对应,一一对应,Z(a,b),a,o,b,y,x,z=a+bi,总结,由此可知，复数集C和复平面内的向量所成的集合也是一一对应的.,结论,复数的另一几何意义之

8、一是：,复数z=a+bi,一一对应,平面向量,注意,向量 的模r叫做复数z=a+bi的模，记作|z|或|a+bi|.如果b=0，那么z=a+bi是一个实数a,它的模等于|a|(就是a的绝对值).由模的定义可知： |z|= |a+bi|=r= (r 0, ).,为了方便起见，我们常把复数z=a+bi说成点Z或说成向量 且规定相等的向量表示同一个复数.,同学们还应明确：,任何一个复数z=a+bi与复平面内的一点 Z(a，b)对应，复平面内任意一点Z(a，b)又可以与以原点为起点，点Z(a，b)为终点的量 对应.这些对应都是一一对应，即,例3 求下列复数的模： (1)z1=-5i (2)z2=-3+4i (3)z3=5-5i,(2)满足|z|=5(zC)的z值有几个？,思考：,(1)满足|z|=5(zR)的z值有几个？,(4)z4=1+mi(mR) (5)z5=4a-3ai(a0),这些复 数对应的点在复平面上构成怎样的图形？,小结,课堂小结,1.复数的实质是一对有序实数对；,2.用平面直角坐标系表示复平面，其中x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴；,3.实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的