最短路径问题

1、20世纪著名数学家赫尔曼外 尔所说的，“对称是一种思想，人们毕生追求，并创造次序、美丽和完善”,给我最大快乐的， 不是已懂的知识， 而是不断的学习. -高斯,问题相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久 负盛名的学者，名叫海伦有一天，一位将军专程拜访 海伦，求教一个百思不得其解的问题： 从图中的A 地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然 后到B 地到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程 最短？,情景引入,精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的 知识回答了这个问题这个问题后来被称为“将军饮马 问题” 本节课我们一起来把这个问题抽象为数学问题！,情景引入,第十三章 轴对称,13.4 课题学习 最短

2、路径问题,人民教育出版社义务教育教科书八年级数学（上册）,如图，小区A、B分居公路两侧，现要在公路旁建一个液化气站P，要求到两个小区的距离之和最短，问应建在什么地方？请作出点P.,A小区,B 小区,公路,合作学习，探究新知,如图1，小区A、B分居公路两侧，现要在公路旁建一个液化气站C，要求到两个小区的距离之和最短，问应建在什么地方？请作出点P.,哈，我知道怎样作图啦！,A,B,P,1、,你的根据是什么？,根据是：两点之间，线段最短。,你可以在L上找几个点试一试，能发现怎么证明吗？,思考？,连接AB,线段AB与直线L的交点P ，就是所求。,如图1，小区A、B分居公路两侧，现要在公路旁建一个液化气

3、站P，要求到两个小区的距离之和最短，问应建在什么地方？请作出点P.,A,B,P,1、,根据是：两点之间线段最短。,A,B,P,你能证明吗？,根据是：三角形任意两边之和大于第三边。,B,P,点P的位置即为所求.,作法：连接AB,线段AB与直线L交于点P 。,() 两点在一条直线异侧,已知：如图,A、B在直线L的异侧，在L上求一点P，使得PA+PB最小.,为什么这样做就能得到最短距离呢？,MA + MBAB,即MA + MBPA+PB,三角形任意两边之和大于第三边,M,要在燃气管道L上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？,你可以在L上找几个点试一试，

4、能发现什么规律吗？,哈，我知道怎样作图啦！,A,B,P,2、,B/,点P的位置即为所求.,作法： 作点B关于直线l的对称点B/., 连接AB/,交直线l于点P.,() 两点在一条直线同侧,已知：如图,A、B在直线L的同一侧，在L上求一点，使得PA+PB最小.,为什么这样做就能得到最短距离呢？,MA + MBAB ,即MA + MBPA+PB,三角形任意两边之和大于第三边,B/,两点在一条直线同侧,已知：如图,A、B在直线L的同一侧，在L上求一点，使得PA+PB最小.,A/,作法： 作点B关于直线l的对称点B/., 连接AB/,交直线l于点P.,点P的位置即为所求.,作法： 作点A关于直线l的对

5、称点A/., 连接BA/,交直线l于点P.,点P的位置即为所求.,例 已知如图：一辆汽车在直线公路AB上由A向B行驶，M、N分别表示位于公路AB两侧的村庄，,（1）当汽车行驶到什么位置时距村庄M最近？行驶到什么位置时距村庄N最近？,答：如图 ，当汽车行驶到P1时，距村庄M最近， 当汽车行驶到P2时，距村庄N最近。,A,B,M,N,P1,P2,根据：直线外一点与直线上各点连结的所有线段中， 垂线段最短。,延展学习，内化知识,例2 已知如图：一辆汽车在直线公路AB上由A向B行驶，M、N分别表示位于公路AB两侧的村庄，,（2）当汽车行驶到什么位置时，与村庄M、N的距离相等？,答：如图 ，当汽车行驶到

6、P3时，与村庄M、N的距离相等。,A,B,M,N,P3,根据：线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。,延展学习，内化知识,例2 已知如图：一辆汽车在直线公路AB上由A向B行驶，M、N分别表示位于公路AB两侧的村庄，,（3）当汽车行驶到什么位置时，到村庄M、N的距离之和最短？,答：如图 ，当汽车行驶到P4时，到村庄M、N的距离之和最短。,A,B,M,N,P4,根据：两点之间线段最短。,延展学习，内化知识,例2 已知如图：一辆汽车在直线公路AB上由A向B行驶，M、N分别表示位于公路AB两侧的村庄，,（4）若村庄M，N在公路AB的同侧，当汽车行驶到什么位置时，到村庄M、N的距离之和最短

7、？,P5,N1,答：若村庄M，N在公路AB的同侧时，当汽车行驶到P5时，到村庄M、N的距离之和最短。 ，,延展学习，内化知识,例2 已知如图：一辆汽车在直线公路AB上由A向B行驶，M、N分别表示位于公路AB两侧的村庄，,答：如图 ，当汽车行驶到P 时，到村庄M、N的距离之差最大。,（5）是否存在一点P，使汽车行驶到该点时，汽车到村庄M、N的距离之差最大？如果存在，请指出该点的位置；如果不存在，请说明理由。,B,M,N,A,N1,P,延展学习，内化知识,课堂训练,A,P,点P的位置即为所求.,作法：连接AB,线段AB与直线L交于点P 。,两点在一条直线同一侧差的最大值,已知：如图,A、B在直线L

8、的同一侧，在L上求一点P，使得PA-PB最大.,为什么呢？,MA MBAB,有PA PB=AB,三角形任意两边之差小于第三边,M,延展学习，内化知识,L,B,当点P在直线AB于L交点P时,M,A,P,点P的位置即为所求.,两点在一条直线异侧差的最大值,已知：如图,A、B在直线L的异侧，在L上求一点P，使得PA-PB最大.,为什么呢？,MA -MB= MA -MBAB,有PA PB= PA PB= AB,三角形任意两边之差小于第三边,M,L,B,当点P在直线AB于L交点P时,M,作法： 作点B关于直线l的对称点B/., 连接AB/,交直线l于点P.,B,延展学习，内化知识,()一点在两相交直线内

9、部,已知：如图A是锐角MON内部任意一点，在MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小.,分别作点A关于OM，ON的对称点A，A；连接A，A，分别交OM，ON于点B、点C，则点B、点C即为所求,延展学习，内化知识,3.某班举行晚会，桌子摆成两直条(如图中的AO，BO)，AO桌面上摆满了桔子，OB桌面上摆满了糖果，坐在C处的学生小明先拿桔子再拿糖果，然后回到座位，请你帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短？ 作法：1.作点C关于直线 OA 的 对称点点D, 2. 作点C关于直线 OB 的对称点点E, 3.连接DE分别交直线OA.OB于点M.N， 则CM+MN+CN

10、最短,A,O,B,. .,E,D,M,N,G,H,延展学习，内化知识,1. 如图，A.B两地在一条河的两岸，现要在河上建一座桥MN，桥造在何处才能使从A到B的路径AMNB最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）,延展学习，内化知识,作法：1.将点B沿垂直与河岸的方向平移一个河宽到E， 2.连接AE交河对岸与点M, 则点M为建桥的位置，MN为所建的桥。 证明：由平移的性质，得 BNEM 且BN=EM, MN=CD, BDCE, BD=CE, 所以A.B两地的距:AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN, 若桥的位置建在CD处，连接AC.CD.DB.CE, 则AB两地的距离为： AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN, 在ACE中，AC+CEAE, AC+CE+MNAE+MN, 即AC+CD+DB AM+MN+BN 所以桥的位置建在MN处，AB两地的路程最短。,A,B,M,N,E,C,D,延展学习，内化知识,4. 如图：C为马厩，D为帐篷，牧马人某一天要从马厩牵出马，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到帐篷