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文档简介

1、,微积分A,刻苦 勤奋 求实 创新,理学院工科数学教学中心,第八章 多 元 函 数 微 分 学,理解多元函数的极限与连续概念,以及有界闭区域上 连续函数的性质。,理解偏导数和全微分的概念, 了解全微分存在的必 要和充分条件。理解方向导数和梯度的概念，并掌握其计算方法。掌握复合函数一阶、二阶偏导数的求法。会求隐函数的偏导数和全导数。,了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单函数的最大值和最小值，会解一些简单应用题。,重点与难点,重点：多元函数的概念，偏导数与全微分的概 念，多元复合函数的求导法则，用拉格 朗日条件极值求最大值应用

2、问题，方向 导数与梯度。,难点：全微分的概念，多元复合函数的求导法则。,定义1,一、方向导数的定义,定义2.设函数zf(x, y)在点P0(x0 y0)的某一邻域U(P0)内有定义 l是xOy平面上以P0(x0 y0)为始点的一条射线 与l同方向的单位向量为el(cos cos),关于定义的说明,1.,函数f(x, y)在点P沿x轴正向和负向, 沿y轴正向和负向的方向导数如何?,结论: 沿x轴正向时:,沿x轴负向时:,沿y轴负向时:,沿y轴正向时:,如果函数zf(x, y)在点P0(x0 y0)可微分, 那么函数在该点沿任一方向l (el(cos cos)的方向导数都存在, 且有:,定理(方向

3、导数的计算),证明,所以,推广可得三元函数方向导数的定义,解,解,解,令,1 等值面和等值线,使函数f (x,y,z)值等于常数c 的点的全体组成的曲面, 称为函数u= f(x,y,z) 的等值面, 它的方程是 f(x,y,z)=c .,当 c 取不同数值时就得到一系列等值面, 称为等值面族，如 气象学中的等温面、等压面,等值面 f(x,y,z)=c 上任一点 P(x,y,z)处的法向量为,三、梯度的概念,使函数 u=f(x,y) 等于c 的全体点组成的曲线称为此函数的等值线, 它的方程是 f(x,y)=c, c 取不同数值时得到的一系列等值线称为等值线族.,方向导数公式,令向量,这说明,方向：f 变化率最大的方向,模 : f 的最大变化率之值,方向导数取最大值：,2,方向导数:,1.定义,即,同样可定义二元函数,称为函数 f (P) 在点 P 处的梯度,记作,在点,处的梯度,说明:,函数的方向导数为梯度在该方向上的投影.,向量,梯度方向的方向导数最大.,在几何上 表示一个曲面;,曲

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