梁的弯曲变形

1、5-3 梁的弯曲变形,一、梁的挠度和转角,挠曲线：梁变形后的轴线。,性质：连续、光滑、弹性、极其平坦的平面曲线。,挠度：横截面形心沿垂直于轴线方向的位移。,转角：横截面绕中性轴转过的角度，用表示。,度量梁变形的参数：,挠度方向：向下为负；向上为正。,转角方向：横截面转到变形后，逆时针为正；顺时针为负。,挠度方程：,转角方程：,二、挠曲线近似微分方程,1、曲率与弯矩的关系,2、曲率与挠曲线的关系,3、挠曲线与弯矩的关系,适用范围：线弹性范围内的小变形情况。,挠曲线近似微分方程：,4、挠曲线近似微分方程中符号的确定,5、确定挠曲线大致形状,定性画图的依据： 1）光滑连续特性； 2）约束条件； 3）

2、由弯矩确定的凹凸情况。,挠曲线是连续光滑曲线。,1）根据荷载分段列出弯矩方程。,2）根据弯矩方程列出挠曲线的近似微分方程并进行积分。,3）根据弯曲梁变形的边界条件和连续条件确定积分常数。,三、用积分法求梁的变形,4）确定挠曲线方程和转角方程。,5）计算任意截面的挠度、转角以及挠度和转角的最大值。,3）根据弯曲梁变形的约束条件和连续性条件确定积分常数,（1）固定支座处：挠度等于零、转角等于零。,（2）固定铰支座处：挠度等于零。,（4）在弯矩方程分段处：左、右的两个截面挠度和转角相等。,（3）活动铰支座处：挠度等于零。,【例题】求等截面直梁的挠度方程、最大挠度及最大转角。,1）建立坐标系并写出弯矩

3、方程,2）写出微分方程并积分,解：,4）写出挠曲线方程并画出挠曲线,5）最大挠度及最大转角,3）应用边界条件求积分常数,1）建立坐标系并写出弯矩方程,【例题】求等截面直梁的弹性曲线、最大挠度及最大转角。,2）写出微分方程并积分,解：,3）应用边界条件求积分常数,4）写出挠曲线方程并画出挠曲线,5）最大挠度及最大转角,2）对(x-a)的项作积分时,应该将(x-a)项作为积分变量， 从而简化了确定积分常数的工作。,1）对各段梁,都是由坐标原点到所研究截面之间的梁段上 的外力来写弯矩方程的。所以后一段梁的弯矩方程包含前 一段梁的弯矩方程，只增加了(x-a)的项。,3）当应用挠曲线在x=a处的两个连续

4、性条件时，就能使得相邻两段梁上相应的积分常数相等。,注意之处：,弯矩方程：,弯矩叠加法：,四、叠加法计算梁的变形,梁在几个载荷共同作用下的弯矩值，等于各载荷单独作用下的弯矩的代数和。,1）前提条件：线弹性、小变形。,载荷叠加法：,2）叠加法的实用性：,（1）梁在载荷作用下挠度、转角应为已知或有表可查；（2）叠加法易用于求梁个别截面的挠度或转角值。,各荷载同时作用下，梁任一截面的挠度或转角，等于各荷载分别单独作用下同一截面挠度或转角的代数和。,1）载荷分解如图,【例题】按载荷叠加法求A点转角和C点挠度。,解：,3）叠加得到总变形。,2）由梁的简单载荷变形表查简单载荷引起的变形。,【例题】 利用载

5、荷叠加法求图示梁B截面的转角和挠度。,1）载荷分解如图,解：,3）叠加得到总变形。,2）由梁的简单载荷变形表查简单载荷引起的变形。,1）分段； 2）考虑某梁段变形引起的位移时，将其它梁段刚化，视之为 刚体，计算位移； 3）叠加。,将梁分成几段，分别计算各梁段的变形在需求位移处引起的位移，然后叠加得到需求位移处的位移，,第二类叠加法：,叠加法是分解载荷，逐段刚化分析求和法是分解结构，根据结构局部变形与结构总体位移间几何关系进行分析。习惯上统称为叠加法。,即：考虑某段梁的变形时，将其它梁段视为刚体，再利用外力平移计算其它梁段的变形，最后叠加。所以也叫逐段刚化法。,计算步骤：,位移叠加法：,【例题】

6、一抗弯刚度为EI的外伸梁受荷载如图所示，试按叠加原理并利用附表，求截面B的转角以及A端和BC中点D的挠度。,1）将外伸梁沿B截面截成两段，将AB段看成B端固定的悬臂梁，BC段看成简支梁。,解：,简支梁BC的受力情况与外伸梁AC的BC段的受力情况相同。,因此，由简支梁BC求得的B ,wD就是外伸梁AC的B和wD。,简支梁BC的变形就是MB和均布荷载q分别引起变形的叠加。,2）先分析简支梁的情况，求B点的转角和D点的挠度,（1）载荷分解如图。,（2）由梁的简单载荷变形表查简单载荷引起的变形。,（3）叠加得到总变形。,3）再分析悬臂梁的情况，求wA,由于简支梁上B截面的转动,带动AB段一起作刚体运动

7、,使A端产生挠度w1。,悬臂梁AB本身的弯曲变形,使A端产生挠度w2。,因此，A端的总挠度应为,查表可得,五、梁的刚度条件,梁要正常工作，其应力要控制在一定的范围内，即满足强度条件；,1）土建类工程，主要要求梁的最大挠度与跨长之比要小于或等于容许值，即,同时梁的变形也要控制在一定的范围内，即满足刚度条件。,2）在机械工程中，一般对转角和挠度都进行校核，其刚度条件为：,例题 一简支梁受载如图示，已知许用应力160MPa，许用挠度w=l/500，弹性模量E=200GPa，试选择工字钢型号。,1）作出梁的弯矩图。,解：,由型钢表中查得，NO.22a工字钢的抗弯截面模量Wz=3.09xl0-4m3 ，

8、惯性矩Iz=3.40 x10-5m4，可见选择22a工字钢作梁能同时满足强度和刚度要求。,2）根据弯曲正应力强度条件，要求,3）根据梁的刚度条件，要求,4）根据强度条件和刚度条件选择工字钢,六、提高梁弯曲刚度的措施,梁的弯曲变形与梁的弯曲刚度EI、约束条件、梁的跨度以及梁所受载荷等因素有关，要降低梁的弯曲变形，以提高梁的刚度，可以从以下几方面考虑：,1）提高梁的抗弯刚度EI,挠度与抗弯刚度EI成反比，因此提高梁的抗弯刚度EI，可以降低梁的变形。,由于各种钢材的弹性模量较为接近，使用高强度的合金钢代替普通低碳钢，并不能明显提高其刚度。,要提高梁的抗弯刚度，应在面积不变的情况下增大截面的惯性矩，例如使用工字形、圆环形截面，可提高截面的惯性矩。,2）减小梁的跨度或增加梁的约束,因梁的挠度与梁的跨度的数次方成正比，所以减小梁的跨度，将使梁的挠度大为减小。,如果把简支梁的支座向内移动一段距离，简支梁变成外伸梁，梁的跨度减小了。因为外伸梁段上的载荷使梁产生向上的挠度，中间