无穷小与极限

1、应用数理学院应用数学学科部,(Advanced Mathematics),高等数学,第一章 无穷小与极限,1.1 无穷小,1.1.1 数列无穷小,1. 数列的定义,数列是指定义在正整数集上的函数,依按自变量增大的次序, 数列的对应值可以排成,称为数列的通项(或一般项),数列简记为,例如, 数列,简记为,简记为,简记为,简记为,数列中的每个数称为数列的一项,2. 数列的几何表示法,数列中的每一个数都可用数轴上的一个点,来表示, 这些点的全体就是数列.,变化过程称为n 趋于无穷大，,3. 数列的变化过程包含两个相关的无限过程：,自变量n的主动变化过程和因变量的被动变化过程.,n的主动变化过程是,不

2、断增大( 每次加1 ).,即n 从1开始，,遵循这样的变化规则，,一定可以大于每个固定的正数.,我们将n 的这种,记为,表示n无限增大的过程，,即n 要多大就有多大，,或者说, n 可以大于任意给定的正数.,即 与0 的距离可以,如果n 可以大于任意给定的正数,那么,就可以小于任意给定的正数.,我们称 无限接近于0.,任意小,数列 的变化趋势可以概述为：,无论给定一个多么小的正数,都可以有,只要 即可.,数列 是无穷小.,此时我们称当n 无限增大时,定义1.1 (数列无穷小),如果对于任意给定的正数,都存在正整数N,使得当 时，,不等式,成立，,记为,或,则称数列 是无穷小.,设 为数列，,几

3、何解释:,只有有限个 (至多有N 个)落在其外.,定义:,定理1.1 (无穷小比较定理1),证,设 为无穷小,则 也是无穷小.,使得对于所有正整数 n,由定义,故 也是无穷小.,如果存在正数 C,例1 证明: 如果 则 为无穷小.,证,数列 从第N+1项起，,则 也是确定数.,因 是无穷小,有,注意到当 时, 幂函数 在 单调增加,所以,即 是无穷小.,例2 证明下列数列都是无穷小：,证 因,(4)是(1)的推广.,因为 是无穷小,注意到,根据定理1.1及例1,可知上述四个数列都是无穷小.,解 因,且,因此, 不是无穷小.,注:,1.1.2 时函数无穷小,我们用 表示 x 无限增大的过程，,只

4、要 即可.,即x 可以大于任意给定的正数.,不妨设,则 等价于,任意给定的正数,且 无限接近0 .,我们称 时， 是无穷小.,可以小于,定义1.2 ( 时函数无穷小),如果对于任意给定的正数,总存在正数 X,当 时,有,记为,或,设 在 有定义, c 为常数 .,则称当 时， 为无穷小.,类似地, 可定义另外两种情形:,定理1.2,定义:,的几何意义:,完全落在带形区域 内.,函数 的图形,有,例4 用 定义证明: 当 时, 为无穷小.,证,取,所以, 当 时, 为无穷小.,同理, 当 或 时, 也是无穷小.,定理1.3 (无穷小比较定理2),如果存在常数,类似于定理1.1, 有,是无穷小.,

5、设当 ( 或 )时,也是无穷小.,则当 ( 或 )时,证,因 是无穷小,有,当 时, 幂函数 在 单调增加,所以,例5 设 则当 时, 为无穷小.,故当 时, 是无穷小.,例6 证明当 时, 为无穷小.,证,因,不妨设,所以, 当 时, 是无穷小.,当 时,例7 证明当 时， 不是无穷小.,证,有,不妨设,所以, 当 时, 不是无穷小,由定理1.2，,当 时， 不是无穷小 .,当 时,1.1.3 时函数无穷小,表示 且 可以任意小.,特别地, 当 时, 是无穷小.,定义1.3 ( 时函数无穷小),有,则称当 时， 是无穷小.,记为,或,注意：,是否有定义无关.,例如, 设,是否为无穷小?,点,

6、表示 且 可以任意小;,表示 且 可以任意小.,当 或 时,都是无穷小.,类似于定理1.1和定理1.3, 有,定理1.4 (无穷小比较定理3),设当 时，,是无穷小.,也是无穷小.,则当 时，,如果存在常数,例8 证明: 如果 则当 时,证,是无穷小.,因 是无穷小,故当 时， 是无穷小.,由幂函数 在 单调增加,例9 证明,证,由定理1.4, 有,不妨设,因,于是,定理1.5,且,例10 证明,证,由定理1.5,有,因,显然,先证,不妨设,即,于是,所以,因 是奇函数,有,作单位圆O,例11 设,证,证明,由定理1.5，有,不妨设,因,于是,于是,1.1.4 无穷小的统一定义,函数都可以满足

7、不等式,对于前面的无穷小定义稍加比较就可以发现:,如果对于任意给定的正数,无论哪种情况,所不同的是, 随自变量变化趋势的不同, 不等 式成立的范围(或空心邻域)也不同.,如果把不同情形下的无穷小统一表述为:,或,则 a共有七种不同情况：,当函数定义域为正整数时，,当函数定义域为实数集时，a 可以取,为简单起见, 一般可以用 等,表示无穷小.,定义1.4 设 在点a 的某个空心邻域内有定义，,都存在点a 的空心邻域,若,记作,或,则有关于无穷小的统一定义形式：,如果把 a 的和 有关的邻域记为,有了无穷小定义的统一形式, 我们今后讨论无 穷小或一般的极限理论时就可以重点讨论其中最具 代表性的情形

8、,只是邻域不同而已.,其他情形则可以类似给出，,关于无穷小的概念需注意以下几个方面：,1. 无穷小是函数的自变量按照一定的变化趋势变 化时, 函数的一种特殊的变化趋势.,因此, 我们说某个函数 是无穷小时, 必须 同时指出自变量 x 的变化趋势.,例如,2. 零 是无穷小, 但无穷小不一定等于零.,例如，,一个固定的正数无论多么小, 总存在比它更小,另外, 不能把无穷小与很小的正数相混淆.,的正数.,就不是无穷小.,3. 关于无穷小的分类.,某空心邻域,并且存在点a 的,特别地, 如果当,为正无穷小;,同样地, 如果当,为负无穷小.,显然, 正、负无穷小都是非零无穷小.,例12 设 试证当,是

9、无穷小, 但不是非零无穷小.,证,因,所以, 是无穷小.,任意给定 的空心邻域,都存在正整数n 满足,即,使得,故, 是无穷小, 但不是非零无穷小.,1.1.5 无穷小的性质,定理1.6 (局部有界性) ）,证,空心邻域内有界.,若,则 在a 的某个,则存在点a 的某个空心邻域,因,取,即 在a 的空心邻域内有界.,有,定理1.7,证,若,则存在点a 的某个空心邻域,且,则,因,且,且,于是,即,推论1.1 有限个无穷小之和为无穷小.,证,例13 设 为n次多项式, 且 则,注意: 无穷多个无穷小之和不一定是无穷小.,因,可写成,所以,即 是n个无穷小之和,定理1.8 无穷小与有界函数的乘积为

10、无穷小.,证,设,且在点a 的某个空心邻域,内, 有,由定理1.1, 定理1.3及定理1.4, 有,则,都是无穷小.,例如, 当,例14 证明,证,因,不妨设,于是,又,推论1.2 有限个无穷小的乘积是无穷小.,证 由定理1.6和定理1.8, 即有推理1.2成立.,由定理1.8, 有,则,如果,且,定理1.9 设 在 的某个空心邻域内有定义，,且,证,由,由定理条件可知 在a 的某个空心,邻域内有定义.,由,则存在点a 的某个空心邻域,即,于是有,即,例15 设 在 的某个空心邻域内有界, 证明,由定理1.8, 有,结合例14及定理1.9, 有,证 因 在 的某个空心邻域内有界,1.1.6 无

11、穷大,绝对值无限增大的变量称为无穷大.,定义1.5 设 在点a 的某个空心邻域内有定义，,都存在点a 的空心邻域,若,记作,或,则称 时为无穷大,分别称为正无穷大和负无穷大；,说明:,1. 如果把上面定义中的 分别改为,(1) 两个正(负)无穷大之和仍为正(负)无穷大;,(2) 有界变量与无穷大的和、差仍为无穷大;,(3) 恒不为零的非无穷小(或无穷大)与无穷大,2. 由无穷大的定义容易证明：,之积仍为无穷大.,定理1.10 (无穷大与无穷小的关系),则当 时, 有,设 在a 的某空心邻域内有定义,意义:有关无穷大的讨论, 都可归结为无穷小的讨论.,使得,定理1.11 设 在点a 的某个空心邻域内有,常数,定义.,如果当 时,且存在,例16 证明,证1,不妨设,因,于是,由定理1.10, 有,例16 证明,证2,不妨设,因,于是,先证明,所以