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1、3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示,由平面向量基本定理知,平面内的任意一个向量 都可以用两个不共线的向量 来表示,对于空间的任意一个向量,有没有类似的结论呢?,如图，设i,j,k是空间三个两两垂直的向量，且有公共 起点O。对于空间任意一个向量p=OP,设点Q为点P 在i,j所确定的平面上的正投影， 由平面基本定理可知， 在OQ,k所确定的平面上，存在实数z，使得 OP=OQ+zk, 而在i,j所确定的平面上，由平面向量基本定理 可知，存在有序之前数对(x,y)， 使得OQ=xi+yj. 从而OP=OQ+zk=xi+yj+zk.,一、空间向量基本定理：,如果i,j,k是空间三个两两垂直的向

2、量，对空间 任一个向量p，存在一个有序实数组使得 p=xi+yj+zk. xi,yj,zk为向量p在i,j,k上的分向量。,思考：在空间中，如果用任意三个不 共面向量a,b,c代替两两垂直的向量i,j,k,能得 到类似的结论吗？,空间向量基本定理：如果三个向量a,b,c 不共面，那么对空间任一向量p,存在有序 实数组x,y,z,使得p=xa+yb+zc.,空间所有向量的集合p|p=xa+yb+zc,x,y,zR,a,b,c叫做空间的一个基底，a,b,c都叫做基向量。,二、空间直角坐标系,例1 设 且 是空间的一个基底,给出下列向量组 ,其中可以作为空间的基底的向量组有( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D.4个,分析:能否作为空间的基底,即是判断给出的向量组中的三个下向量是否共面,由于 是不共面的向量,所以可以构造一个平行六面体直观判断,设 ,易判断出答案,C,例题讲解：,例2、如图，M，N分别是四面体OABC的边OA， BC的中点，P，Q是MN的三等分点。用向量 表示 和 。,变式,空间四边形OABC中,M在OA上,OM=3MA,N在BC上,且BN=2NC,设 ,用向量 表示,小结： 1、选定空间不共面的三个向量作为基向量,并用它们表示出指定的向量,是用向量解决立体几何问题的基本要求； 2、求解时要结合已知和所求观察图形,联想相关的运算法则

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