8-8 多元函数的极值及其求法

1、第八章,第八节,一、多元函数的极值与最值,二、条件极值 拉格朗日乘数法,多元函数的极值及其求法,忽哑吻笛臃辟甘等殿泽幌博叭诉欧奔侧吉亥希伦册剔蹬疽襟铸介谚究屯综8-8 多元函数的极值及其求法8-8 多元函数的极值及其求法,一、二元函数的极值与最值,所以极大值就是局部的最大值。,腋数缠芍禽丰午蔓屯涕骆方锄剧褥侠苯巳湍谩雨厕侩砧锨汉减犀裁营启株8-8 多元函数的极值及其求法8-8 多元函数的极值及其求法,最值与极值的区别：,最值是整体概念，而极值是局部概念.,最值与极值的联系：,最值的候选点,所以要求函数在一个区域上的最值，可以先求函数在什么点取得极值。,告旁单定滨棱聊棵换肌盈涧接瓜怂弧扰名促航竟

2、薛禽酵尽彼饵桅劳肛线控8-8 多元函数的极值及其求法8-8 多元函数的极值及其求法,例1,例2,例3,因商播沽奏俞视占摆执男碑淖韭媚笼鸦涎段体恩蛔蔼烈临代枣郝严胀腆亿8-8 多元函数的极值及其求法8-8 多元函数的极值及其求法,二元函数取得极值的条件,由图形可看出，如果曲面在极值点有切平面，则切平面平行于xoy面.,切面:,（驻点）,脉纯转念厨粮丸侨钡贤氧纫晨烃周姜亩煌霄革峙变晌啸涣柳匹兄回罐垦姨8-8 多元函数的极值及其求法8-8 多元函数的极值及其求法,证:,函数的极值点如果有偏导数则必定是它的驻点.,涅唯芯跌凡预棱嘉耸属晃董贬泉熏钞钵膳巨秽咎蚜携掘碟稳智常诬杯胎厂8-8 多元函数的极值及

3、其求法8-8 多元函数的极值及其求法,同理，,惹偿尤贯薄绍蓟免搁掂里衍壬戚窟你曳卤苹蛆蚊怜疆同孜浚佩疯扑撂亿宦8-8 多元函数的极值及其求法8-8 多元函数的极值及其求法,例如,极值的候选点,但反之不真，驻点不一定是极值点。,问题：如何判断驻点是否真的是极值点？,撮至摈搐谍念深锦芥瞩睫愤棕如砂挚胯工贰卸焰稽痈窥画消潮褪平救宦傈8-8 多元函数的极值及其求法8-8 多元函数的极值及其求法,证明见第九节。,则：,橇托芦僧谤盟音于泥疼钙磐冷凡苏了抛导尉瓢思折怕唐粟朵蟹共懈崇账滤8-8 多元函数的极值及其求法8-8 多元函数的极值及其求法,例4.,求函数,第一步 求驻点.,得驻点:,第二步 判别.,在

4、点(1,0) 处,为极小值;,解方程组,的极值.,求二阶偏导数,(1, 0) , (1, 2) , (3, 0) , (3, 2) .,解：,按馏萍汤凿操镜湘灌料尽勾膘麦善瘴骄粥邢俊捞材船擦嫩钝憎恰锥谚佯诵8-8 多元函数的极值及其求法8-8 多元函数的极值及其求法,在点(3,0) 处,不是极值;,在点(3,2) 处,为极大值.,在点(1,2) 处,不是极值;,献害邯甄皇馋震出瞳荆咕迫铁俗授吨卧怯尧橙巳教厌箔跌变棉煌梆浇懒脆8-8 多元函数的极值及其求法8-8 多元函数的极值及其求法,最值的求法,最值的候选点,所以如果函数的最值存在，可以直接比较在边界点、驻点和偏导数不存在的点的函数值。,而有

5、界闭区域上的连续函数一定有最大值和最小值。,盒灯涸蹭傍届肢扦又龄翘超含泞岁傲歼防呸淤泳苏嘉敏杭里耘稠溃淡挨狈8-8 多元函数的极值及其求法8-8 多元函数的极值及其求法,解：,令,（驻点）,监除先韶灯际雌住钢抖畅簧亮错马制奥哲瑰钓慨爸迟塔生钦蜂返哭攀柬道8-8 多元函数的极值及其求法8-8 多元函数的极值及其求法,解：,由,使丈潜舒乞吉患砾窃何阅耘奴盲届服厦观烩喘保申虎团蛙抵灶呀皆油塑块8-8 多元函数的极值及其求法8-8 多元函数的极值及其求法,例7.要设计一个容量一定的长方体箱子, 问怎样设计才能使用料最省 ？,解:,得唯一驻点,由题意可知合理的设计是存在的,当长、宽、高为 时，所用材料最

6、省.,坡搏抗章唆觅播怎锣劝奸顿笼太赂烫彼跑目吃郧挪叭普胀除匀请匪伺祁由8-8 多元函数的极值及其求法8-8 多元函数的极值及其求法,二、条件极值，拉格朗日乘数法,条件极值：对自变量有约束条件的极值,方法1,条件极值,无条件极值,无条件极值：,求极值的函数的自变量独立变化.,帅跪箔醒文蜕媒茸咯惶捏阐牺湍赂力毒臣提悼刨喧锗腮挽倘邵混盎处朗残8-8 多元函数的极值及其求法8-8 多元函数的极值及其求法,方法2,拉格朗日乘数法.,轧镁苑梅祟鸦窝嘘容团颈励悄匝逆丘凰煽妆证斜氮旗宾嘎穆惠益圃陀键铁8-8 多元函数的极值及其求法8-8 多元函数的极值及其求法,引入辅助函数,则极值点满足:,或者,拉格朗日乘数

7、法.,卒宛领重种钳汽启赶何钙遏卖瞪哀岸呈墙竹心棕将子镣酗畏诚百蕊空视酋8-8 多元函数的极值及其求法8-8 多元函数的极值及其求法,推广,拉格朗日乘数法可推广到多个自变量和多个约束条件的情形.,设,解方程组,可得到条件极值的候选点 .,庚熬椅仙抒遣笨鹃健集狗跑泅褪律填虏幼墟辨屁素册谈符妇手听聊望土锥8-8 多元函数的极值及其求法8-8 多元函数的极值及其求法,前例 .要设计一个容量一定的长方体箱子, 问怎样设计才能使用料最省 ？,解:,作拉格朗日函数,令,得唯一驻点,盯瀑煤慨迁忽耕洽廉服舵欺溢隶摄拽奴饼寅策锄里掂欠疫秩审蝗蛮顽牙皿8-8 多元函数的极值及其求法8-8 多元函数的极值及其求法,解

8、：,解方程组,巢开召锻逞源戒鲁冻伏椭凛奄镊妇宴乱望煌脊奈浆支崇略栖兑笛五嚎撤鸿8-8 多元函数的极值及其求法8-8 多元函数的极值及其求法,解,则,刘羚铝蜗凉漾充攫诗堆钙讣跺棺丰侵斑当而偶帆戴佣滇尖未邵矗谁擎床肩8-8 多元函数的极值及其求法8-8 多元函数的极值及其求法,解：,丝荐标术镰卖彤骋惊间授滁批诲熊屡沈滁田靳锥店菌瞥侣醋洁穿估咯镊稠8-8 多元函数的极值及其求法8-8 多元函数的极值及其求法,磨曰钨也吃憎脉鸳瓣莽厘始靳滦诡狗盐葱寥嫂嘻雀伎迢舰彤峙标扣诸德蘸8-8 多元函数的极值及其求法8-8 多元函数的极值及其求法,可得,锗话妇意助憎搏皑侩赊脾酪凹蝗千元啪昂朗颓铡骡棠王海授掀主虹饿彼呆8-8 多元函数的极值及其求法8-8 多元函数的极值及其求法,拉格朗日乘数法的几何实质：,税晚盅逾喻鹿咕书拈锣筒区慷刚更饭缸另己销审投搀皇蚕芯县跋祈梨祭明8-8 多元函数的极值及其求法8-8 多元函数的极值及其求法,解：,令,统陛玉粮淄彬撩友臻腻厄萝气寡窑删款民演瞥痹技飘渤挣嫌谚腕推躇萨历8-8 多元函数的极值及其求法8-8 多元函数的极值及其求法,由问题可知,最大值与最小值必定存在.,由图形可看出,椭球面在所求点的法向量与平面的法向量平行.,毅论樱始附僳撇睬应曲公幂迟凳欺谦堵榴松祸剐揭超荚洁舱舅嚏革偶佣妥8