第二讲 区域复变函数

1、,复变函数和场论,西安电子科技大学,电子工程学院,练习:,（1）,（2）,练习:,（3）,第二讲,区域 平面图形的复数表示 复变函数 复变函数的极限与连续,平面点集与区域:,点z是点集E的内点,存在z的某个r邻域含于E内，即,（4）外点,点z是点集E的外点,存在z的某个r邻域不含E内的点,（1）邻域,（2）去心邻域,（3）内点,（5）边界点,点z 既非 E 的内点，又非 E 的外点,边界点的任一邻域无论多小，都既含有E的内点，又同时含有E的外点。,（6）开集,点集E中的点全是内点,（7）闭集,开集的余集,空集和整个复平面既是开集，又是闭集。,（8）连通集,E中任意两点可以用一条全在E中的曲线连

2、接起来。,（9）区域,非空的连通开集,（10）有界区域,如果存在正数M，使得对于一切D中的点z，有,（11）简单曲线、光滑曲线,点集,称为z平面上的一条有向曲线。,则称 D为有界区域。,简单曲线：,简单闭曲线：,光滑曲线：,（12）单连通区域,设D为复平面上的区域，若在D内的任意简单闭曲线的内部仍属于D，则称D为单连通区域，否则称多连通区域。,没有交叉点。,平面图形的复数表示:,很多平面图形能用复数形式的方程（或不等式）来表示；也可以由给定的复数形式的方程（或不等式）来确定所表示的平面图形。,例1：,Z平面上以原点为中心、R为半径的圆周方程为,Z平面上以 z_0为中心、R为半径的圆周方程为,例

3、2：,（1）连接z1 和z2两点的线段的参数方程为,（2）过两点 z1 和z2的直线L的参数方程为,（3）z1、z2，z3 三点共线得充要条件为,例3：,考察下列方程（或不等式）在平面上所描绘的几何图形。,（1）,该方程表示到点2i和2距离相等的点的轨迹，所以方程表示的曲线就是连接点2i 和2的线段的垂直平分线，它的方程为y = x。,（2）,设 z = x+ iy,（3）,表示实轴方向与由点i 到 z 的向量之间交角,的主值，因此满足方程的点的全体是自 i 点出发且与实轴,正向夹角为45度的一条半射线。（不包括 i点）,（4）,例4： 指出不等式,中点z的轨迹所在范围。,解：,因为,所以,于

4、是有,它表示在圆,外且属于左半平面的所有点的集合,Lets have a rest!,复变函数：,复变函数的定义,设 D 是复变数z的一个集合，对于 D 中的每一个z，按照一定的规律，有一个或多个复数w的值与之对应，则称w为定义在 D 上的复变函数，记做,单值函数 f(z):,对于D中的每个z，有且仅有一个w与之对应。,多值函数 f(z):,对于D中的每个z，有两个或两个以上 w 与之对应。,定义：,我们主要考虑单值函数,f(z)是单射（或一对一映射）,对于任意,f(z)是满射,f(z)是双射,f(z) 既是单射，又是满射。,例5：,复变函数的极限与连续：,函数的极限,定义：设函数w = f

5、(z)定义在z0的去心邻域,如果有一确定的数A存在，对于任意给定的,相应地必有一正数,使得当 时有,那么称A为f (z) 当z 趋向z0时的极限，记作,几何意义：当变点z一旦进入z0的充分小的去心邻域时，它的,象点 f(z)就落入A的预先给定的小邻域内。,注意：z趋于z0的方式是任意的，就是说，无论z从什么方向，以何种方式趋向于z0，f(z)都要趋向于同一个常数。,关于极限的计算，有下面的定理：,定理一,定理二,例6：,证明函数,当z趋于0时的极限不存在。,解法1,令z=x+iy, 则,所以极限不存在。,解法2,利用复数的三角表示式,当z沿着不同的射线,如,极限不存在。,函数的连续,如果,那么

6、f(z)在z0处连续。,如果 f(z)在D内各点都连续，那么 f(z) 在 D 内连续。,定理： f(z)在z0处连续的充分必要条件是 u(x,y), v(x,y),在（x0，y0）处连续。,连续函数的四则运算、复合运算都成立。,有界闭区域上的连续函数的最值定理。,例7：,例8：,研究函数 f(z) = arg z 在复平面上的连续性,因为,故在原点不连续。,不连续，理由是分别从上半平面与下半平面趋于负实轴时，极限值不等。,其余地方均连续。,例9：,求证：若|z1|=|z2|=|z3|=1,z1+z2+z3=0, 则z1，z2，z3是内接于单位圆|z|=1的一个正三角形的三顶点。,证明：,由于,所以 z1，z2，z3,位于单位圆上。又,得,即,补充例子,同理可以得到,得证。,作业：,21：4），6）