2自然数序数理论

1、自然数的序数理论,序数理论,皮亚诺从“集合”、“后继”及“1是自然数”这3个原始概念和4条公理（即皮亚诺系统）出发，运用公理化方法建立自然数的序(顺序）数理论。,1皮亚诺公理,定义6：一个非空集合N的元素叫做自然数， 如果N元素间有一个基本关系后继/，并满足下列公理： （1）1N，对任意aN，a/1。 （2）对aN，有唯一的后继元素a/， （即a=ba/=b/）。 （3）1以外的任何元素，只能是一个元素的后继元素（即a/=b/a=b）。 （4）（归纳公理）若集合M是自然数集N的子集，且10 1M；20 aMa/M，则M=N。 选取适当的记号（习惯上用阿拉伯数码及十进位记数法）表示自然数，得自然

2、数列 1，1+=2，(1+)+=3，3+=4，,数学归纳法的标准形式（也称第一数学归纳法）,设P(n)是关于自然数n的命题，若 10(奠基)P(n)在n=1时成立； 20(归纳)在P(k)（k是任意自然数）成立的假定下可以推出P(k+1)成立， 则P(n)对一切自然数n都成立。 证明思路：设集合M是使P(n)成立的所有自然数n组成的集合，证M=N即可。？,2.自然数运算：加法和乘法的归纳定义,定义7：加法定义：(1)设aN，则a+1=a/； (2)设a，bN，则a+b/=(a+b)/， a+b叫做a和b的和。a和b叫做加数。 定义8 ：乘法定义：(1)设aN，则a1=a； (2)设a，bN，则

3、ab/=ab+a， ab叫做a和b积。a叫被乘数，b叫乘数。 该定义给出了自然数乘法和加法的关系： ab=a+a+ +a(b个a相加） 例 、计算3+7和3 7。,加法与乘法的五条运算律,a+b=b+a a+(b+c)= (a+b)+c (a+b)c=ac+bc ab=ba a(bc)=(ab)c。,序数理论的运算律,例自然数的加法满足结合律： 设a，b，cN，则a+(b+c)=(a+b)+c。 证明加法交换律:a+b=b+a.,证明加法交换律:a+b=b+a. ,1)首先证明对于任意的a N,有a+1=1+a; 2)取定a，设M是使等式成立的所有b的集合，那么当b=1时，由1)知1M； 假设

4、bM,即a+b=b+a， 如何证明b/ M呢？ 根据归纳公理，M=N. 即对a，bN都成立。,3序数理论下的自然数顺序,1）自然数大小定义 定义9 若a，bN，且存在kN使a+k=b，则称a小于b，记作aa。 2）以上顺序具有对逆性、传递性与三分性,三分性,例4对任何a,bN，在ab中有且只有一个成立。 思路：先证ab至多有一种成立； 用定义证。 再证在ab中总有一个成立。 用归纳公理证。,加法和乘法的性质,定理6（加法单调性） 设a,b,cN，则 (1)a=ba+c=b+c； (2)aba+cb+c。 定理7（加法消去律）即加法单调性的反面。 乘法有类似的性质。,自然数集的性质,自然数集的性

5、质13,性质1、自然数集是有序集。 何谓有序集？指该集合中规定了顺序关系，且它具有传递性和三分性。 性质2、自然数集具有阿基米德性质： 如果a,bN，则存在nN，使得nab。 证明：取n=b+1。 性质3 、自然数集具有离散性： 任意两个相邻的自然数a与a/之间不存在自然数b，使aba/。,自然数集的性质4最小数原理与数学归纳法,性质4 、最小数原理： 自然数集的任一非空子集中必有一个最小数。 思路：先证自然数集N有最小数1； 再用反证法证N的非空子集有最小数。,设A是自然数集N的非空真子集，假设A内没有最小数，则1不属于A. 设T=x|xN，且对任意aA，xa,（关键） 则1T。 假设nT，

6、倘若n+1A，则n+1成为A中的最小数，与假设矛盾，所以n+1T. 由归纳公理知T=N，从而A=，与A非空矛盾。 所以，N的任何非空子集都有一个最小值。,第二数学归纳法,推理格式：设P(n)是关于自然数n的命题, 1）（奠基）P(1)成立； 2）（归纳）假设当nk(k为任意自然数)时P(1nk)成立能推出P(k+1)成立，则P(n)对一切自然数n都成立。 与第一数学归纳法比较，有何不同？ 它的归纳假定强化了。,第二数学归纳法的理论基础,（用反证法）假设P(n)不是对一切自然数都成立， 则使P(n)不成立的所有自然数组成的集合M非空。 由最小数原理，M中必有最小数h， 因为P(1)成立，故1不属

7、于M，所以h1， 故令h=k+1， 于是p(1),p(2),p(k)都成立， 于是由2）知 p(k+1)成立； 但由h属于M，故p(k+1)不成立，矛盾， 所以P(n)对一切自然数都成立。,若an0，且 ， 有an=n成立吗？,第二数学归纳法例举,有两堆棋子，数目相等。两人玩耍，每人可以在一堆里任意取几棵，但不能同时在两堆里取，规定取得最后一棵者胜。 问先取者得胜，还是后取者可以得胜？ 试加以证明。,解,当n=1时，必是后取者得胜， 猜测“后取者可以得胜”。 假设nk时命题成立.对于n=k+1，当先取者在一堆里取m (1mk+1)颗时，后取者在另一堆里也取m颗，两堆棋子都是(k+1-m)颗。 这样就变成了n=k+1-m的问题，按归纳假设，后取者得胜，即n=k+1命题也成立。 证明了对于所有正整数n，后取者按上述策略都可以得胜。 思考：两堆棋子的数目不同呢？,扩大的自然数集古老的说