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文档简介

1、第二章 经典的连续系统仿真建模方法学,包括:连续系统数字仿真的基本概念、经典的数值积分法、经典的线性多步法等。,问题:数字计算机在数值及时间上的离散性-被仿真系统数值及时间上的连续性连续系统仿真,从本质上: 对原连续系统从时间、数值两个方面对原系统进行离散化并选择合适的数值计算方法来近似积分运算 离散模型原连续模型? 相似原理:设系统模型为: ,其中u(t)为输入变量,y(t)为系统变量;令仿真时间间隔为h,离散化后的输入变量为 ,系统变量为 ,其中表示tn=nh。如果 , 即 , (对所有n=0,1,2,)则可认为两模型等价。,2.1 离散化原理及要求,对仿真建模方法三个基本要求:(1)稳定

2、性:不改变原系统的稳定性若原连续系统是稳定的,则离散化后得到的仿真模型也应是稳定的。若原连续系统是不稳定的,则离散化后得到的仿真模型也应是不稳定的。(2)准确性:有不同的准确性评价准则,最基本的准则是: -绝对误差准则: 相对误差准则: 其中 为规定精度的误差量。,(3)快速性:若第n步计算对应的系统时间间隔为 计算机由 计算 需要的时间为Tn,若Tn=hn 称为实时仿真;Tnhn称为超实时仿真;Tnhn 称为亚实时仿真,对应于离线仿真 数值积分算法:对 已知系统变量y的初始条件 求y随时间变化的过程 初值问题计算过程:初始点 的,欧拉法 t1 时刻 对任意 tn+1时刻 截断误差正比于 梯形

3、法: 是隐函数形式。预报欧拉法估计初值,校正用梯形法校正: 预报公式 校正公式 反复迭代,直到满足 。经典的数值积分法可分为两类:单步法与多步法,2.2 龙格库塔法,2.2.1龙格-库塔法基本原理 对 若令: 则有 的数值求解:称作“右端函数”计算问题。 经典数值积分法原理:在 附近展开台劳级数,只保留 项,则有: (1) 设这个解可以写成如下形式: 其中,对 式右端的函数展成台劳级数,保留h项,可得: 代入,则有: (2)(2)式与(1)式进行比较,可得: 四个未知数 但只有三个方程,因此有无穷多个解。若限定 ,则 计算公式: 其中 若写成一般递推形式,即为:,其中 截断误差正比于h3,称为

4、二阶龙格-库塔法(简称RK-2)。 截断误差正比于h5的四阶龙格-库塔法(简称RK-4)公式: 其中: 龙格-库塔法的特点: 1.形式多样性 例:对二阶, 非唯一解,可以得到许多种龙格-库塔公式:,其中 各种龙格-库塔法可以写成如下一般形式: 其中 式中各系数满足以下关系 s称为级数,表示每步计算右端函数 的最少次数。可以证明,1阶公式至少要计算一次,2阶公式 ;.;4阶公式 ;依此类推。有时为了某种特殊需要,可以选择 的计算公式。,2. 单步法,可以自启动,存储量小 在计算 时只用到 ,而不直接用 等项。 3.可变步长 步长h在整个计算中并不要求固定,可以根据精度要求改变 但是在一步中,为计

5、算若干个系数 ,则必须用同一个步长h。 4. 速度与精度 四阶方法的h可以比二阶方法h的大10倍,每步计算量仅比二阶方法大一倍 高于四阶的方法由于每步计算量将增加较多,而精度提高不快。,2.2.2 实时龙格库塔法,实时仿真:要求仿真模型的执行速度与实际系统运行的速度保持一致 一般的数值积分法难以满足实时仿真的要求,这不仅仅是因为由这些方法所得到的模型的执行速,速度较慢,而且这些方法的机理不符合实时仿真的特点。 考虑系统 分析RK-2公式: 一个计算步内分两子步: tn时刻:利用当前的un,yn计算k1-计算一次右端函数f需h/2 tn+h/2时刻:应计算k2,尽管此时yn +1/2已经得到,但

6、un+1则无法得到。(若对un+1也进行预报加大仿真误差)。仿真执行延迟h/2输出要迟后半个计算步距,实时2阶龙格库塔法: tn时刻:应计算k1,利用当前的un,yn,需要;tn+h/2时刻,应计算k2,此时yn+1/2已经得到,un+1/2也可得到,k2的计算就不会引入新的误差。计算一次右端函数f需要h/2,可实时输出yn+1。,2.3线性多步法,2.3.1线性多步法基本原理 基本原理:利用一个多项式去匹配变量若干已知值和它们的导数值。 设:时刻 的 和 已知,预报:由,和,来计算,校正:若,也已知,由它们来计算,采用t为自变量的多项式,具有以下形式(m阶):,其中:,是待定系数,,在,时刻

7、,,0,可得到:,由,和,确定,需要m+1个独立方程。该m+1个方程可由以下等式导出:,(1),(i=0,1,2,m),,(j=1,2,.,k)(2),1、预报公式 令m=2k-1,从(2)式得到如下方程组:,将其写成矩阵形式:,其中上标p表示预报。,(3),(4),其解为:,由于,因而d向量的各元素值可计算得到,从而由,得到下一时刻的预报值。,是所需要的,其它元素的计算成为多余,与,和,显式表达式,(m+1)1的列向量,定义辅助变量,此式可改写为,向量,的元素可划分为两个组,(9),缺点:(1)只有,(2)得不到,定义:,(6),(7),(8),(5),为常数阵,其逆存在,Z向量中的各元素为

8、已知值,,例:k=3,则(8)式为:,可计算得到:,只依赖于k,即先前,和,的个数,而与它们的数值无关。,从而得到,的显式表达式:,(11),这样,可以预先求解(8)式得到。,(10),例:试推导用,预报,条件:已知,,,由,,,2、校正公式 预报公式显式公式,未包括,(当然也可以预报,但精度不够)。,,然后再用此值推出,和,以及,来预报,可令m=2k-1,从(2)式得到如下方程组:,公式,校正:对该预报值应进行校正,即先预报得到,由,将其写成矩阵形式:,其中上标c表示校正,可得,(13),(12),定义:,为(m+1)1的列向量,上标T表示转置。将,左乘(13)式可得:,(15),(14),

9、定义,可改写为,(17),例:k=3,同样,,只依赖于k,即先前,和,的个数,而与它们的数值无关。这样,(19),(18),(16),从而,例:已知,,预估,,然后用,校正,预估,预报公式为,(20),校正,校正公式为,2.3.2线性多步法误差分析 为了便于分析,对预报公式和校正公式,定义统一的表达式:,(21),0-显式预报,-显式预报,时称为后向差分公式(BDF),同时均不等于0时为隐式校正公式,k称为公式的阶次。假设变量各时间的精确值已经得到,将其代入(21)式,可得:,在,附近,将每个函数展开成泰勒级数:,对所有i(i=0,1,2,k),将(23)式代入(22)式,合并同类项,可得,其

10、中,(22),(23),(24),如,均为0,则称为p阶公式,下面,如果我们能证明上一节推导出的公式若能满足求,均为0的条件,则就得出了这些公式的截断误差满足(26)式。,(25),(26),先讨论预报公式,由于 ,这意味着要将上述矩阵的第 1列移到等式的右边, 并去掉第5列。 为使矩阵成为方阵, 将其最后两行也去掉。,以三阶公式为例,将(25)式与,相关表达式表示成右端为零,可得:,其结果与用于推导预报公式的矩阵方程完全一样。,对校正公式,可采用类似的办法,只是,,这样要将第5列移到等式的右边;若假定,则可去掉第4列。同样为得到方阵,去掉最后两行,结果就是3阶校正公式。,这就表明,上一节导出

11、的预报与校正公式的截断误差系数可以用(27)式来计算,即,(27),2.4稳定性分析 仿真方法选择的基本要求:仿真计算不改变原系统的绝对稳定性。,且,原系统是稳定的。观察欧拉法仿真递推公式,故有,yn(n=0,1,2,)为它的一个仿真解,设,为其准确解,即,用(29)式减去(28)式,可得:,即,特征方程为,(31),(28),(29),(30),显然,为了使扰动序列n不随n增加而增长,必须要求:,我们称它所对应的域就是该算法的稳定域:h21/,即h小于等于系统时间常数的两倍。,确定数值积分法稳定域的一般方法 测试方程:,数值积分公式,是一个关于,时,算法才稳定。,(32),(33),则只有当,高阶多项式函数,,其中,(a)龙格库塔法; (b)显式阿达姆斯法:,(c) 隐式阿达姆斯法:,(1)除隐式1阶、2阶阿达姆氏法为恒稳法外,其它方法都是条件稳的; (2)除恒稳法外,其它方法的h都应限制在最少时间的数量级; (3)对龙格库塔法,k大则稳定域略微增大,而对阿达姆氏法来讲,k大则

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