高中数学 2.2.3两条直线的位置关系学案二 新人教B版必修2（通用）

1、两条直线的位置关系考试目标 主词填空1.两直线平行的充要条件.已知两直线分别为：l1：y=k1x+b1；l2：y=k2x+b2，则l1l2k1=k2且b1b2.2.两直线垂直的充要条件.已知两直线分别为：l1：y=k1x+b1；l2：y=k2x+b2，则l1l2k1k2=-1.3.两条直线的夹角.设直线l1的斜率为k1，l2的斜率为k2，l1到l2的角为，l1与l2的夹角为，则tan，tan.4.点到直线的距离.点P0(x0，y0)到直线Ax+By+C=0的距离d=.5.两平行线间的距离.两平行线l1：Ax+By+C1=0与l2：Ax+By+C2=0(C1C2)之间的距离d=6.对称问题.(1

2、)P(x，y)关于Q(a，b)的对称点为 (2a-x，2b-y).(2)P(x0，y0)关于直线Ax+By+C=0的对称点是.题型示例 点津归纳【例1】 已知两直线l1：x+m2y+6=0， l2：(m-2)x+3my+2m=0，当m为何值时，l1与l2：(1)相交；(2)平行；(3)重合.【解前点津】 对直线的斜率存在与否，进行讨论，转化为“斜截式”后，才能使用“充要条件”.【规范解答】 当m=0时， l1：x+6=0， l2：x=0l1l2，当m0时，则化为斜截式方程：l1：y=-x-，l2：y=，当-即m-1，m3时， l1与l2相交.当，即m=-1时l1l2.当，即m=3时， l1与l

3、2重合.综上所述知：当m-1，m3且m0时，l1与l2相交，当m=-1或m=0时，l1l2，当m=3时， l1与l2重合.【解后归纳】 判断两直线的位置关系，关键是化直线方程为“斜截式”，若y的系数含有参数，则必须分类讨论.【例2】 求经过点P(2，3)且被两条平行线3x+4y-7=0及3x+4y+3=0截得的线段长为的直线方程.【解前点津】 画图可知，所求直线有两条，选择应用夹角公式，可“避免讨论”.【规范解答】 |AC|=2，|AB|=在RtABC中，求出|BC|=1，则tanABC=2. 设所求直线斜率为k，则=2解之：k=或.x-2y+4=0，11x-2y-16=0为所求.【解后归纳】

4、 本题利用了图形的性质，重视利用数形结合的方法，从而发现解题思路.【例3】 一条光线经过点P(2，3)，射在直线l：x+y+1=0上，反射后穿过点Q(1，1).(1)求光线的入射线方程；(2)求这条光线从P到Q的长度.【解前点津】 先求出Q关于直线l的对称点Q的坐标，从而可确定过Q，Q的直线方程.【规范解答】 (1)设点Q(x，y)为Q关于直线l的对称点，且QQ交l于M点，k1=-1，kQQ=1，QQ所在直线方程为x-y=0.由得M坐标为，又M为QQ中点，故由 Q(-2，-2).设入射线与l交点为N，且P，N，Q共线，得入射线方程为：，即5x-4y+2=0.(2)l是QQ的垂直平分线，因而：|

5、NQ|=|NQ|，|PN|+|NQ|=|PN|+|NQ|=|PQ|=，即这条光线从P到Q的长度是.【解后归纳】 无论是求曲线关于直线的对称方程，还是解答涉及对称性的问题，关键在于掌握点关于直线的对称点的求法.【例4】 已知三条直线l1：2x-y+a=0(a0)，直线l2：-4x+2y+1=0和直线l3：x+y-1=0，且l1与l2的距离是.(1)求a的值；(2)求l3到l1的角；(3)能否找到一点P，使得P点同时满足下列三个条件：P是第一象限的点；P点到l1的距离是P点l2的距离的；P点到l1的距离与P到l3的距离之比是；若能，求P点坐标；若不能，说明理由.【解前点津】 求解本题用到三个公式：

6、平行线间的距离公式，直线到直线的“到角”公式，点到直线的距离公式.【规范解答】 (1)由l2：2x-y-=0，l1与l2的距离d=，化简得：，a0，a=3.(2)由(1)，l1：2x-y+3=0k1=2，而k3=-1，tan=-3，0，=-arctan3.(3)设点P(x0，y0)，若P点满足条件，则P点在与l1， l2平行的直线L：2x-y+c=0上，且，即c=或c=.2x0-y0+=0或2x0-y0+=0.若P点满足条件，由点到直线的距离公式，有：，即：|2x0-y0+3|=|x0+y0-1|，x0-2y0+4=0，或3x0+2=0，由P在第一象限，3x0+2=0不可能，由方程组： ，舍去

7、， 由P即为同时满足三个条件的点.【解后归纳】 (3)属于“存在性问题”的解答，往往从“假设存在入手”，推出某种结论(肯定的或否定的)，然后检验这种结论是否满足题设中的各条件.对应训练 分阶提升一、基础夯实1.如果直线ax+2y+2=0与直线3x-y-2=0平行，那么系数a= ( )A.-3 B. 6 C.- D. 2.点(0，5)到直线y=2x的距离是 ( )A. B. C. D.3.已知直线2x+y-2=0和mx-y+1=0的夹角为，那么m值为( ) A.-或-3 B.或3 C.或3 D.或-34.若直线l1：y=kx+k+2与l2：y=-2x+4交点在第一象限内，则实数k的取值范围是(

8、)A. (-，+) B.(-，2) C.(- ，2) D.(-，- )(2，+)5.两条直线A1x+B1y+C1=0，及A2x+B2y+C2=0垂直的充要条件是( )A. A1A2+B1B2=0 B.A1A2=B1B2 C.=-1 D. =16.如果直线ax-y+2=0与直线3x-y-b=0关于直线x-y=0对称，那么，a、b值为( )A.a=，b=6 B. a=，b=-6 C. a=3，b=-2 D. a=3，b=67.过两直线y=-x+和y=3x的交点，并与原点相距为1的直线有( )A. 0条 B. 2条 C. 1条 D. 3条8.对0|的角，两直线l1：x-ysin=cos与l2：xco

9、s+y=1的交点为( )A.在单位圆上 B.在单位圆外 C在单位圆内，但不是圆心 D.是单位圆的圆心9.已知A(-3，8)和B(2，2)，在x轴上有一点M，使得|AM|+|BM|最短，那么点M的坐标是 ( )A.(-1，0) B.(1，0) C.(，0) D.(0， )10.设直线l1：xsin+y+6=0， l2：x+y=0，则直线l1与l2的位置关系是( )A.平行 B.垂直 C.平行或重合 D.相交但不垂直二、思维激活11.直线l1：2x-5y+20=0，l2：mx-2y-10=0与两坐标轴围成的四边形有外接圆，则实数m的值等于 .12.直线ax+4y-2=0与直线2x-5y+c=0垂直

10、相交于点(1，m)，则a= c= m= . 13.两条平行直线分别过点A(6，2)和B(-3，-1)，各自绕A，B旋转，若这两条平行线距离最大时，两直线方程分别是 .14.p，q满足2p-q+1=0，则直线px+2y+q=0必过定点 .三、能力提高15.已知直线l与点A(3，3)和B(5，2)的距离相等，且过两直线l1：3x-y-1=0和l2：x+y-3=0的交点，求直线l的方程.16.直线l过点(1，0)，且被两平行线3x+y-6=0和3x+y+3=0所截得的线段长为9，求直线l的方程.17.求函数y=的最小值.18.已知点A(4，1)，B(0，4)，试在直线l：3x-y-1=0上找一点P，

11、使|PA|-|PB|的绝对值最大，并求出这个最大值.第2课 两条直线的位置关系习题解答1.B 由-=3即得a=-6.2.B 直接利用公式计算.3.C k1=-2， k2=mtan得：|2m-1|=|m+2|解之即得.4.C 解方程组由.5.A 当l1，l2分别与坐标轴垂直时，C答案不满足.6.A 因直线ax-y+2=0关于直线y=x的对称直线为ay-x+2=0，故x-ay-2=0与3x-y-b=0重合，故=，a=，b=6.7.B 交点P为(1，3)，单位圆的两条切线.8.C 由x-ysin=cos且xcos+y=1，x2+y2=1，但x=y=0不成立.9.B 因B关于x轴对称点为B(2，-2)

12、，则直线AB的方程可求得为：2x+y=2令y=0得x=1.10.B 两直线的斜率之积k1k2=又，|sin|=-sin，k1k2=-1，l1l2.11. 四边形对角互补时有外接圆，由于两坐标轴互相垂直，=-1m=-5.12. a=10，c=-12，m=-2 两直线垂直，所以-=-1a=10，又两直线都过点(1，m)，故.13. AB的斜率kAB=，当两直线都与AB垂直时，平行线距离最大.所求直线为：3x+y-20=0，3x+y+10=0.14.由2p-q+1=0直线为px+2y+(2p+1)=0 (x+2)p+(2y+1)=0，令故定点为.15.解方程组：得交点C(1，2)，当A、B两点在l的同侧时， lAB，而kAB=，故l为：y-2=-(x-1)，即：x+2y-5=0.当A、B两点在l异侧时，则l过线段AB中点(4，)，由两点式知l方程为化之x-6y+11=0.综上所述知，l的方程是：x+2y-5=0或x-6y+11=0.16.如图所示，当l的斜率不存在时， l方程为x=1它与两平行线交点为(1，3)和(1，-6)，其距为|3-(-6)|=9符合题意.当l的斜率存在时，设l：y=k(x-1)，由及，解得l与两平行直线的交点分别为 .故由=92，得：k=-故此时l：y=-(x-1)， 即4x+3y-4=0.综上所述知，l的方程为：4x+3y-4=0或x=1.17.