圆的标准方程终极版

1、4.1.1 圆的标准方程,老林中学数学组 何孝阳,2020/7/11,四川营山老林中学 何孝阳,我们在前面学过，在平面直角坐标系中，两点确定一条直线，一点和倾斜角也能确定一条直线在平面直角坐标系中，如何确定一个圆呢？,复习引入,问题,2020/7/11,四川营山老林中学 何孝阳,当圆心位置与半径大小确定后，圆就唯一确定了因此一个圆最基本要素是圆心和半径,引入新课,问题：如图，在直角坐标系中，圆心（点）A的位置用坐标 (a,b) 表示，圆上任意点M(x, y)具有什么特征？,M点到圆心A的距离等于半径,2020/7/11,四川营山老林中学 何孝阳,圆就是由具有上述特征的点构成的集合，你能用描述法

2、来表示这个集合吗？,符合上述条件的圆的集合：,圆的方程,问题,2020/7/11,四川营山老林中学 何孝阳,圆上任意点M(x, y)与圆心A (a,b)之间的距离能用什么公式表示？,圆的方程,根据两点间距离公式：,则点M、A间的距离为：,即：,2020/7/11,四川营山老林中学 何孝阳,是否在圆上的点都适合这个方程？是否适合这个方程的坐标的点都在圆上？,圆的标准方程,点M(x, y)在圆上，由前面讨论可知，点M的坐标适合方程；反之，若点M(x, y)的坐标适合方程，这就说明点 M与圆心的距离是 r ，即点M在圆心为A (a, b)，半径为r的圆上,问题,2020/7/11,四川营山老林中学

3、何孝阳,圆的标准方程,把 称为圆心为A(a, b)，半径长为r 的圆的方程，把它叫做圆的标准方程（standard equation of circle）.,说明：,1.特点：明确给出了圆心和半径。,2.确定圆的方程必须具备三个独立的条件，即圆心的横坐标，圆心的纵坐标和半径。,2020/7/11,四川营山老林中学 何孝阳,特殊位置的圆方程,因为圆心是原点O(0, 0)，将x0，y0和半径 r 带入圆的标准方程：,问题,圆心在坐标原点，半径长为r 的圆的方程是什么？,得：,整理得：,2020/7/11,四川营山老林中学 何孝阳,练习 1.写出下列各圆的方程： （1）圆心在原点，半径是3；,（2）

4、圆心在点C(3,4)，半径是 ；,（3）经过点P(5,1)，圆心在点C(8,-3),2020/7/11,四川营山老林中学 何孝阳,练习2.写出下列各圆的圆心坐标和半径,（1）,（2）,（3）,（-1，2） 3,2020/7/11,四川营山老林中学 何孝阳,例1 写出圆心为 ，半径长等于5的圆的方程，并判断点 ， 是否在这个圆上,解：圆心是 ，半径长等于5的圆的标准方程是：,把 的坐标代入方程 左右两边相等，点 的坐标适合圆的方程，所以点 在这个圆上；,典型例题,把点 的坐标代入此方程，左右两边不相等，点 的坐标不适合圆的方程，所以点 不在这个圆上,2020/7/11,四川营山老林中学 何孝阳,

5、怎样判断点 在圆 内呢？还是在圆外呢？,点与圆的位置关系,探究,从上题知道，判断一个点在不在某个圆上，只需将这个点的坐标带入这个圆的方程，如果能使圆的方程成立，则在这个圆上，反之如果不成立则不在这个圆上,2020/7/11,四川营山老林中学 何孝阳,怎样判断点 在圆 内呢？还是在圆外呢？,点与圆的位置关系,探究,可以看到：点在圆外点到圆心的距离大于半径 r ；,点在圆内点到圆心的距离小于半径 r ,2020/7/11,四川营山老林中学 何孝阳,已知点 和圆C： ,则有：,归纳,2020/7/11,四川营山老林中学 何孝阳,例2 的三个顶点的坐标分别A(5,1), B(7,3)，C(2, 8)，

6、求它的外接圆的方程,分析：不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆，三角形有唯一的外接圆,解：设所求圆的方程是 （1）,因为A(5,1), B(7,3)，C(2, 8) 都在圆上，所以它们的坐标都满足方程（1）于是,典型例题,2020/7/11,四川营山老林中学 何孝阳,所以， 的外接圆的方程 ,典型例题,解此方程组，得：,分析：不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆，三角形有唯一的外接圆,解：,例2 的三个顶点的坐标分别A(5,1), B(7,3)，C(2, 8)，求它的外接圆的方程,2020/7/11,四川营山老林中学 何孝阳,例3 已知圆心为C的圆经过点A(1, 1)和B(2, 2)，且圆

7、心C在直线l: xy+1=0上，求圆心为C的圆的标准方程,分析：已知道确定一个圆只需要确定圆心的位置与半径大小圆心为C的圆经过点A(1, 1)和B(2, 2)，由于圆心C与A, B两点的距离相等，所以圆心C在线段AB的垂直平分线 上又圆心C在直线l 上，因此圆心C是直线l与直线 的交点，半径长等于|CA|或|CB|,解：因为A(1, 1)和B(2, 2)，所以线段AB的中点D的坐标,直线AB的斜率:,典型例题,2020/7/11,四川营山老林中学 何孝阳,因此线段AB的垂直平分线 的方程是,即,典型例题,例3 已知圆心为C的圆经过点A(1, 1)和B(2, 2)，且圆心C在直线上l：x y+1=0，求圆心为C的圆的标准方程,解：,2020/7/11,四川营山老林中学 何孝阳,所以圆心C的坐标是,圆心为C的圆的半径长,所以，圆心为C的圆的标准方程是,典型例题,解此方程组，得,例3 已知圆心为C的圆经过点A(1, 1)和B(2, 2)，且圆心C在直线上l：x y+1=0，求圆心为C的圆的标准方程,解：,2020/7/1