圆锥曲线离心率的求法总结版(教师)

1、离心率的专题复习椭圆的离心率，双曲线的离心率，抛物线的离心率一、直接求出、，求解已知圆锥曲线的标准方程或、易求时，可利用率心率公式来解决。例1：已知、是双曲线（）的两焦点，以线段为边作正三角形，若边的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（ ）a. b. c. d. 解1：变式练习1：若椭圆经过原点，且焦点为、，则其离心率为（ ）a. b. c. d. 解：由、知 ，又椭圆过原点，所以离心率.故选c.变式练习2： 点 在椭圆（）的左准线上，过点且方向为 的光线，经直线反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为（ ）a b c d 解：由题意知，入射光线为，关于的反射光线（对称关系）为，则解得，则

2、，故选a变式练习3：2016全国卷 已知o为坐标原点，f是椭圆c （）的左焦点，a，b分别为c的左、右顶点p为c上一点，且pfx轴过点a的直线l与线段pf交于点m，与y轴交于点e.若直线bm经过oe的中点，则c的离心率为()a. b. c. d. 12a解析 设m(c，y0)，则am所在直线方程为y(xa)，令x0，得e（0，）.bm所在直线方程为y(xa)，令x0，得y.由题意得，解得a3c，即e.2、 构造、的齐次式，解出根据题设条件，借助、之间的关系，构造、的关系（特别是齐二次式），进而得到关于的一元方程，从而解得离心率。例2：设双曲线（）的半焦距为，直线过，两点.已知原点到直线的距离为

3、，则双曲线的离心率为( )a. b. c. d. 解：由已知，直线的方程为，由点到直线的距离公式，得，又, ,两边平方，得，整理得，得或，又 ，故选a变式练习1：双曲线虚轴的一个端点为，两个焦点为、，则双曲线的离心率为（ ）a b c d 解：如图所示，不妨设，则，又，在中， 由余弦定理，得,即， ，故选b变式练习2：【2017课标3，文11】已知椭圆c：，（ab0）的左、右顶点分别为a1，a2，且以线段a1a2为直径的圆与直线相切，则c的离心率为（ ）a b cd【答案】a变式练习3：2016全国卷文 直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为(

4、)a. b. c. d. 解析 不妨设直线l经过椭圆的焦点f(c，0)和顶点(0，b)，则直线l的方程为1，椭圆中心到直线l的距离为2b.又a2b2c2，所以离心率e. b三、采用离心率的定义以及椭圆的定义求解例3：设椭圆的两个焦点分别为、，过作椭圆长轴的垂线交椭圆于点，若为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是_。解：变式练习1已知长方形abcd，ab4，bc3，则以a、b为焦点，且过c、d两点的椭圆的离心率为 . 变式练习2已知f1、f2是双曲线的两焦点，以线段f1f2为边作正三角形mf1f2，若边mf1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是 . 变式练习3如图，和分别是双曲线的两个焦点，和是以为

5、圆心，以为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且是等边三角形，则双曲线的离心率为 . 四、根据圆锥曲线的统一定义求解例4：设椭圆（）的右焦点为，右准线为，若过且垂直于轴的弦的长等于点到的距离，则椭圆的离心率是.解：如图所示，是过且垂直于轴的弦，于，为到准线的距离，根据椭圆的第二定义， 变式练习1：在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为，焦点到相应准线的距离为，则该椭圆的离心率为（ ）a b c d 解：变式练习2：已知双曲线的右焦点为,过且斜率为的直线交于两点，若,则的离心率为 . 变式练习3：已知椭圆c：（ab0）的离心率为，过右焦点f且斜率为k（k0）的直线于c相交于a、b两点，若，则k

6、= . 五、构建关于的不等式，求的取值范围：一般来说，求椭圆或双曲线的离心率的取值范围，通常可以从两个方面来研究：一是考虑几何的大小，例如线段的长度、角的大小等；二是通过设椭圆（或双曲线）点的坐标，利用椭圆或双曲线本身的范围，列出不等式（一）基本问题例椭圆的焦点为，两条准线与轴的交点分别为，若，则该椭圆离心率的取值范围是 ex1设，则双曲线的离心率的取值范围是 ex2【2017课标ii，文5】若，则双曲线的离心率的取值范围是a. b. c. d. 【答案】c【解析】由题意，因为，所以，则，故选c.【考点】双曲线离心率【名师点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据的关系消掉得到的关系式，而建立关于的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.（二）数形结合