第八章 第八节 直线与圆锥曲线(理).ppt

1、1.理解数形结合思想. 2.了解圆锥曲线的简单应用.,1直线与圆锥曲线的位置关系 设直线l：AxByC0，圆锥曲线：f(x，y)0，由 得ax2bxc0. (1)若a0，b24ac，则 0，直线l与圆锥曲线 0，直线l与圆锥曲线 0，直线l与圆锥曲线 ,相交,相切,相离,(2)若a0，则直线与圆锥曲线相交，且有一个交点若 曲线为双曲线，则直线与双曲线的 平行；若曲线 为抛物线，则直线与抛物线的 平行,渐近线,对称轴,2圆锥曲线的弦长问题 设直线l与圆锥曲线C相交于A、B两点，A(x1，y1)，B(x2， y2)，则弦长|AB| .,|x1x2|,1是任意实数，则方程x2y2sin 4所表示的曲

2、线不 可能是 () A椭圆B双曲线 C抛物线 D圆,解析： R，sin 1,1， 方程x2y2sin 4不可能是抛物线,答案：C,2圆心在抛物线x28y上的动圆经过点(0，2)，且恒 与定直线l相切，则直线l的方程是 () Ay4 Bx4 Cy2 Dx2,解析：由题意知，圆心到点(0，2)与到直线y2的距离相等，故直线l的方程为y2.,答案：C,3直线ykxk1与椭圆 1的位置关系为 () A相交 B相切 C相离 D不确定,解析：由于直线ykxk1k(x1)1过定点(1,1)在椭圆内，故直线与椭圆必相交,答案：A,4过抛物线yax2(a0)的焦点F作一直线交抛物线于P、 Q两点，若线段PF与F

3、Q的长分别是p、q，则 等于_,解析：取特殊情况：直线y ，得pq . 4a.,答案：4a,5已知双曲线x2y21和斜率为 的直线l交于A、B两点， 当l变化时，线段AB的中点M的坐标(x，y)满足的方程是 _,解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB中点坐标(x0，y0)， 则 ，两式相减，得 (x1x2)(x1x2)(y1y2)(y1y2)， 0， ， ，即y02x0.,答案：y2x,1.直线与圆锥曲线的关系是解析几何中一类重要问题，解 题时注意应用根与系数的关系及“设而不求”的技巧 2运用“点差法”解决弦的中点问题 涉及弦的中点问题，可以利用判别式和根与系数的关系 加以解决，也可

4、以利用“点差法”解决此类问题若知道 中点，则利用“点差法”可得出过中点弦的直线的斜 率比较两种方法，用“点差法”计算量较小，此法在解 决有关存在性的问题时，要结合图形和判别式加以检验,已知双曲线C：2x2y22与点P(1,2) (1)求过P(1,2)的直线l的斜率k的取值范围，使l与C分别有一个交点，两个交点，没有交点； (2)是否存在过P点的弦AB，使AB的中点为P?,思路点拨,课堂笔记(1)当直线l的斜率不存在时，有一个交点 设直线l方程为y2k(x1)， 代入C的方程，并整理得 (2k2)x22(k22k)xk24k60. 当2k20，即k 时，方程只有一解， 故l与C只有一个交点； 当

5、2k20时，令0，得k .,当k 或k 或k不存在时，l与C只有一个交点； 同理，由0， 时，l与C没有交点,(2)假设以P为中点的弦AB存在，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1，x2是(1)中方程的两根，由根与系数的关系得 1，故k1.而当k1时，l与C有两个交点 这样的弦存在，方程为yx1.,本例条件中将“点P(1,2)”改为“点Q(1,1)”，问以点Q为中点的弦是否存在？,解：假设弦AB以Q为中点，且A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以2 2,2 2， 两式相减得2(x1x2)(x1x2)(y1y2)(y1y2)， 2(x1x2)(y1y2)，kAB2.,经检验当AB的斜率为

6、2时，直线AB与C无交点， 所以假设不正确，即使Q为中点的弦不存在.,求圆锥曲线的弦长问题的一般思路是：将直线方程代入圆锥曲线方程，消去y(或x)后，得到关于x(或y)的一元二次方程ax2bxc0(或ay2byc0)，再由弦长公式|AB| |x1x2| |y1y2|，求出其弦长在求|x1x2|时，可直接利用公式|x1x2| 求得,已知椭圆C：x2 1，过点M(0,3)的直线l与椭圆C相交于不同的两点A、B. (1)若l与x轴相交于点N，且M、N两点关于A对称，求直线l的方程； (2)若|AB|3，则直线l的斜率存在与否？若存在求出其范围,思路点拨,课堂笔记(1)M、N两点关于点A对称， A是M

7、N的中点 设A(x1，y1)，又M(0,3)，N点纵坐标为0， 所以y1 . 又因为点A(x1，y1)在椭圆C上， 所以 1，即 1，解得x1 ，,则点A的坐标为 或 ， 所以直线l的方程为6 x7y210或6 x7y210. (2)设直线AB的方程为ykx3或x0， A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x3，y3)，当AB的方程为x0时， |AB|4 ，与题意不符 当AB的方程为ykx3时，,由题设可得A、B的坐标是方程组 的解， 消去y得(4k2)x26kx50， 所以(6k)220(4k2)0，即k25， 则x1x2 ，x1x2 ， 因为|AB|,所以 解得 k28， 所以5k28.

8、 k2 或2 k .,解决圆锥曲线的最值与范围问题常见的解法有两种：几何法和代数法若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立起目标函数，再求这个函数的最值，这就是代数法,在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下五个方面考虑： 1利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的 取值范围； 2利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这 类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系；,3.利用隐含的不等关系建立不等式,从而求出参数的 取值范围; 4利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的 取值范围； 5利用函数的

9、值域的求法，确定参数的取值范围,已知抛物线x24y的焦点为F，A、B是抛物线上的两动点，且 (0)过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M. (1)证明 为定值； (2)设ABM的面积为S，写出Sf()的表达式，并求S的最小值,思路点拨,课堂笔记(1)证明：由已知条件，得F(0,1)，0. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)由 ， 即得(x1,1y1)(x2，y21) 将式两边平方并把y1 ，y2 代入得 y12y2. ,解式得y1，y2 ， 且有x1x2 4y24. 抛物线方程为y x2.求导得y x. 所以过抛物线上A、B两点的切线方程分别是 y x1(xx1)y1，y x2(xx2

10、)y2. 即y x1x ，y x2x . 求出两条切线的交点M的坐标为, ( ，2)(x2x1，y2y1) ( )2( )0. 为定值，其值为0. (2)由(1)知ABM中，FMAB，因而S |AB|FM|. |FM|,因为|AF|、|BF|分别等于A、B到抛物线准线y1的距离，所以|AB|AF|BF|y1y22 2 ( )2. 于是S |AB|FM| . 由 2，知S4，且当1时，S取最小值4.,直线与圆锥曲线的位置关系,集中交汇了高中解析几何中直线与圆锥曲线的内容,还涉及函数、方程、不等式、三角函数、平面几何等知识，形成了轨迹、最值、对称、范围、参系数等多种问题，因而成为解析几何中综合性最

11、强，能力要求最高的内容，也成为高考的重点和热点.用平面向量的语言表达解析几何问题，是高考的一个主流命题方式，是新课标高考的一个特点.,考题印证 (2009天津高考) 已知椭圆 1(ab0)的两个焦点分别为F1(c,0)和F2(c，0)(c0)，过点E( ，0)的直线与椭圆相交于A、B两点，且F1AF2B，|F1A|2|F2B|. (1)求椭圆的离心率； (2)求直线AB的斜率； (3)设点C与点A关于坐标原点对称，直线F2B上有一点H(m，n)(m0)在AF1C的外接圆上，求 的值,【解】(1)由F1AF2B且|F1A|2|F2B|， 得 ，从而 整理，得a23c2.故离心率e .4分 (2)

12、由(1)，得b2a2c22c2. 所以椭圆的方程可写为2x23y26c2. 设直线AB的方程为yk(x )，即yk(x3c)5分 由已知设A(x1，y1)，B(x2，y2)，,则它们的坐标满足方程组 消去y并整理， 得(23k2)x218k2cx27k2c26c20. 依题意，48c2(13k2)0，得 k .6分 而x1x2 ，,x1x2 8分 由题设知，点B为线段AE的中点，所以 x13c2x2. 联立解得x1 ，x2 . 将x1、x2代入中，解得k .9分,(3)法一：由(2)可知x10，x2 . 当k 时，得A(0， c)，由已知得C(0， c) 线段AF1的垂直平分线l的方程为 y

13、c (x )，11分 直线l与x轴的交点( ，0)是AF1C的外接圆的圆心 因此外接圆的方程为(x )2y2( c)2.,直线F2B的方程为y (xc)，于是点H(m，n)的坐标满足方程组 由m0，解得 故 .13分 当k 时，同理可得 .14分,法二：由(2)可知x10，x2 . 当k 时，得A(0， c)，由已知得C(0， c) 10分 由椭圆的对称性知B、F2、C三点共线 因为点H(m，n)在AF1C的外接圆上，且F1AF2B， 所以四边形AF1CH为等腰梯形 由直线F2B的方程为y (xc)， 知点H的坐标为(m， m c),因为|AH|CF1|， 所以m2( m c c)2a2，12

14、分 解得mc(舍)，或m c. 则n c，所以 . 13分 当k 时，同理可得 14分,自主体验 设向量a(0,2)，b(1,0)，过定点A(0，2)且和向量ab共线的直线与过定点B(0,2)且和向量b2a共线的直线相交于点P，其中R. (1)求点P的轨迹C的方程； (2)是否存在过点E(1,0)的直线l与C交于不同两点M，N，且 2.若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由,解：(1)设P(x，y)，a(0,2)，b(1,0)， ab(0,2)(1,0)(，2)， b2a(1,0)2(0,2)(1，4)， 过定点A(0，2)且和ab共线的直线方程为： 2x(y2)0， 过定点B(0,2

15、)且和b2a共线的直线方程为： 4xy20， 联立消去得8x2y24， 故点P的轨迹C的方程为8x2y24.,(2)存在 当过点E(1,0)的直线l与x轴垂直时，l与曲线C无交点，不合题意，则设直线l的方程为yk(x1)，l与曲线C交于M(x1，y1)、N(x2，y2)， 由 ，得(8k2)x22k2xk240， 则有4k44(8k2)(k24)0， 即2 k2 ， x1x2 ，x1x2 .,(x11，y1)， (x21，y2)， (x11，y1)(x21，y2) x1x2x1x21y1y2 x1x2x1x21k2(x1x2x1x21) (1k2)( 1) 2， 解得k26，又k28，故k26

16、符合要求，k . 因此存在符合要求的直线l， 其方程是y (x1),1双曲线 1(a0，b0)的左、右焦点分别是 F1、F2，过F1作倾斜角为30的直线交双曲线右支于 M点，若MF2垂直于x轴，则双曲线的离心率为 () A. B. C. D.,解析：|MF2|F1F2|tan30 c， 且|MF2| ， c， 两边同除以a得e21 e， 即3e22 e30.又e1，e .,答案：B,2设抛物线y28x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直 线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是 () A B2,2 C1,1 D4,4,解析：设直线方程为yk(x2)，与抛物线联立方程组，整理得ky28y1

17、6k0.当k0时，直线与抛物线有一个交点当k0时，由6464k20， 解得1k1. 所以1k1.,答案：C,3若不论k为何值，直线yk(x2)b与曲线x2y21总 有公共点，则b的取值范围是() A( ) B C(2,2) D2,2,解析：直线过(2，b)点，x2时，y2x213， y .b ,答案：B,4过抛物线y28x的焦点F的直线交抛物线于A、B两点， 过原点O作OMAB，垂足为M，则点M的轨迹方程是 _,解析：设M(x，y)，因为OMAB，M、FAB， 所以MFOM，又F(2,0)， 所以 0，所以(2x，y)(x，y)0. 化简，得x2y22x0.,答案：x2y22x0,5若抛物线f(x)x2ax与直线f(x)1y0相切，则 此切线方程是_,解析：f(x)2xa，直线方程为2xya10， 由 得x2(a2)x1a0， 相切，(a2)24(1a