06第六章 测量误差的基本知识.ppt

1、第六章 测量误差的基本知识,6-1 误差的来源,6-2 测量误差的分类,6-4 误差传播定律,6-3 评定观测值精度的标准,6-1 误差的来源,6.1.1 误差的定义,6.1.2 误差的来源,Home,6.1.1 误差的定义,return,down,up,误差是指观测值与真值之差，即 。,定义,X为真值，即能代表某个客观事物真正大小的数值；,为观测值，即对某个客观事物观测得到的数值；,为观测误差，即真误差。,6.1.2误差的来源,return,down,up,（1）观测者,（2）测量仪器,（3）外界条件,上述观测者、仪器、外界条件三个方面是引起误差的主要原因，因此我们把这三个方面的因素综合起来

2、称为观测条件。,等精度观测： 观测条件相同的各次观测，其结果具有同等精度。,非等精度观测：观测条件不相同的各次观测，其结果具有不同精度。,6-2 测量误差的分类,6.2.1 系统误差,6.2.2 偶然误差,Home,6.2.3 系统与偶然误差的比较,6.2.1 系统误差,down,up,1、系统误差定义,在相同的观测条件下作一系列观测，如果误差的大小及符号表现出系统性，或按一定的规律变化，那么把这类误差称为系统误差。,2、系统误差特性,（1）同一性：误差的绝对值保持恒定或按一确定的规律变化。 （2）单向性：符号不变，总朝一个方向偏离。 （3）累积性：误差的绝对值随着单一观测值倍数累积。,准确度

3、：观测值偏离真值的程度。,3、系统误差的处理方法,（1） 检校仪器，把系统误差降低到最小程度。 （2） 加改正数，在观测值中加入系统误差的改正数 。 （3） 采用适当的观测方法，使系统误差相互抵消或减弱。,6.2.2 偶然误差,return,down,up,1、偶然误差定义,在相同的观测条件下作一系列的观测，若误差的大小及符号都表现出偶然性，即从单个的误差来看，该列误差的大小及符号没有规律，但从大量误差的总体来看，具有一定的统计规律，这类误差称为偶然误差。,2、偶然误差的特性,例：对96个三角形内角进行独立观测，由于存在观测误差，三角形内角之和L不等于理论值180，各三角形内角和真误差（观测值

4、减去真值）为：i=Li-X（i=1、2 n）， 即i=Ai+Bi+C i-180 , 三角形闭和差分布规律为：,附：n 为误差总个数；d为3，亦称组距； （ni/n）/d 为下图中的每个矩形高。,右图中的光滑曲线就是误差的概率分布曲线,或叫误差分布曲线 ，在数学中这种曲线称为正态分布图，该曲线的方程式为：,式中 f( ) 称为分布密度，为标准差，即测量中的中误差。,6.2.2 偶然误差,误差的分布还可以用图形表示。以横坐标表示误差的大小，纵坐标表示各区间内误差出现的频率除以区间的间隔值，即（ni/n）/d。,f( ) 称为分布密度； 为标准差，即测量中的中误差。,6.2.2 偶然误差,retu

5、rn,down,up,2、偶然误差的的四个特性：,（1）单峰性： 绝对值小的误差比绝对值大的出现的概率大；,（2）对称性： 绝对值相等的正、负误差出现的概率大致 相等；,（3）有界性： 在一定的观测条件下，误差的绝对值有一定的限值 。,（4）补偿性：偶然误差的数学期望为零，也就是说偶然误差的理论平均值为零。,6.2.2 偶然误差,return,down,up,偶然误差对观测值的精度 有较大的影响， 为提高精度，削弱偶然误差的影响，可作如下的处理：,（1）提高仪器的等级。,精度： 观测值的离散程度。,3、偶然误差的处理方法,粗差：测量中发生错误，如读错、记错等 。,（2）进行多余观测，求最可靠值

6、。,6.2.3系统、偶然误差的比较,return,down,up,系统误差大,偶然误差大,靶子 1,靶子 2,减小系统误差,减小偶然误差,准确度低,精度低,靶子 3,准确度高 精度高,系统误差小、偶然误差小,6-3 评定观测值精度的标准,6.3.1 中误差,6.3.2 相对误差,6.3.3 容许误差,Home,6.3.1 中误差,return,down,up,1、定义,在同一观测条件下，对同一量X进行了n次观测，观测值为li (i=1,2n),则其真误差(观测值减去真值 )为：i=Li-X，中误差可以按下列公式来定义：,在实际的工作中，n为有限值，取近似值，中误差m可写 为：,中误差并不等于每

7、个观测值的真误差，而是反映一组真误差离散程度的指标。,6.3.1 中误差,return,down,up,V表示：观测值改正数 n 表示：观测的次数,一般情况下，观测值的真值是不知道的，那么我们可以利用观测值的改正数来计算。,例：对同一个三角形用两种不同的仪器分别观测了十次，每次观测的内角和的真误差为： 第一组：+3、-3、+4、-2、0+3、-2、+1、-1、0 第二组：- 1、 0 、+8、+2 、 -3-7、 0、 +1、 -2、-1 求两组观测值的中误差，并比较其精度。,6.3.1 中误差,down,up,解：,由于m1 m2 ,说明第一组观测值的离散程度小于第二组，故前者的观测精度高于

8、后者。,6.3.2 相对误差,down,up,把误差的绝对值与观测值之比称为相对误差。 相对误差的分子应化为1，即用 1 /N 表示。,相对误差： 相 对 中 误 差 相 对 真 误 差 相对容许误差,相对中误差分别为： K1=0.02/100= 1/5000,例如，分别丈量100米和200米的两段距离，中误差均为2cm，比较两者的观测成果质量？,K2=0.02/200=1/10000,相对误差不能评定角度测量的误差，因为角度误差与测角大小无关。,6.3.3 容许误差,down,up,通常以三倍中误差作为偶然误差的极限值，称为极限误差 ，即: m极=3m,实践中，也常用两倍的中误差作为容许误差

9、，即 : m容=2m,区间 概率 （-， +） 68.3% （-2，+2） 95.5%、 （-3，+3） 99.7%,6-4 误差传播定律,6.4.1 线性函数的中误差,6.4.2 一般函数的中误差,Home,三种特殊函数： （1） 倍数函数的中误差： Z=kx m=k m 或 m=km （2） 和差函数的中误差：Z= x+ x + x3, + xn m = m + m m （3）算术平均值的中误差,6.4.1 线性函数的中误差,证明：,6.4.1 线性函数的中误差,down,up,Z=kxkxk x n (k,k , k 为 常数 x ,x , x 为相互独立的可直接观测量 1，2, n 为

10、其对应的真误差 m1， m2， mn 为其对应的中误差） 上式对应的真误差关系式为： Z=k k k n,现对这些独立观测量观测了n次，则： Z=k11 11 k2121 kn1 n1 Z=k12 12 k2222 kn2 n2 Z=k13 13 k2323 kn3 n3 Z=k1n 1n k2n2n knn nn,（1）对上面n 个式子两边分别平方再求和，得：,（2）将上式的两边分别除以观测次数n，则：,（3）根据偶然误差的性质，上式的最后一项随n 的增加而趋向于零，上式可写为：,（4）根据中误差的定义，上式即为：,6.4.1 线性函数的中误差,解： (首先判断是倍数函数，还是和差函数) L

11、=l1 + l2 + l3 + l4 m=4m=0.0004 米 m=0.02 米,【 例 1】丈量布匹4米，以尺长为1米的尺子进行丈量四次，设每次丈量的中误差为0.01米，问丈量4米的中误差为多少？,6.4.1 线性函数的中误差,【 例 2】丈量布匹4米，以尺长为1米的尺子丈量一次后，再以1米布为基础折叠三次得到4米长的布匹，问量这4米长布匹的中误差为多少？,解： L=4 l mL = 4 m =0.04 米,6.4.2 一般函数的中误差,设一般函数为： Z=f(x1, x2, xn ) (x1, x2, xn 为相互独立的可直接观测量； 1 ,2, n 为其对应的真误差； m1， m2，

12、mn 为其对应的中误差；） 我们已经求出一般线性函数的中误差公式，可将上式线性化以后，在利用线性函数中误差公式求出一般函数的中误差公式,习题,1、什么是误差，有哪些种类，他们的定义和特性都是什么？评定观测值的精度指标都有什么？ 2、丈量布匹4米，以尺长为1米的尺子进行丈量四次，设每次丈量的中误差为0.01米，问丈量4米的中误差为多少？ 3、丈量布匹4米，以尺长为1米的尺子丈量一次后，再以1米布为基础折迭三次得到4米长的布匹，这4米长布匹的中误差为多少？ 4、已知倾斜距离及中误差分别为：L=50米，mL=0.05米，倾斜角及其中误差分别为：=15,m=30,求水平距离D的中误差m 。,习题,5、附和水平路线如图，A，B两点高程已知L1=2km, L2=6km, L3=4km,已知每公里高差中误差为1mm，求（1）h1，h2，h3的高差中误差；（2）求经闭和差调整后1，2两点中误差；（3）闭合差分配后1，2点高程中误差。 6、 A,B,C为