第五章方程组-矩阵三角分解3.ppt

1、,1、基本的三角分解法(Doolittle法),1直接三角分解法,第3节 矩阵三角分解法,上式可记为,同样,由,综合以上分析,有,因此可以推导出,U的第一行,L的第一列,-(1),-(2),U的第r行,L的第r列,-(3),-(4),称上述(1) (4)式所表示的分解过程为Doolittle分解,对于线性方程组,系数矩阵非奇异,经过Doolittle分解后,线性方程组可化为下面两个三角形方程组,上述解线性方程组的方法称为 直接三角分解法的 Doolittle法,例. 用Doolittle法解方程组,解:,由Doolittle分解,Doolittle法在计算机上实现是比较容易的,但如果按上述流程

2、运算仍需要较大的存储空间:,因此可按下列方法存储数据:,直接三角分解的Doolittle法可以用以下过程表示:,存储单元(位置),紧凑格式的 Doolittle法,例. 用紧凑格式的Doolittle法解方程组(例1),解:,所以,2、列主元Doolittle分解,在Doolittle法(包括紧凑格式)中,会反复用到公式,仍有可能为小主元做除数,为此,我们也要考虑在算法中加入选取列主元,我们下面介绍紧凑格式的Doolittle列主元法,符号因换行只代 表存储位置,与原 数值可能有差异,依此类推,列主元Doolittle法步骤:,第一步:,例.,用列主元Doolittle法解线性方程组,解:,所

3、以原 方程组 的解为,试用列主元Doolittle法解矩阵方程,并设计自然语言的算法,2. 平方根法,1、对称正定矩阵的三角分解(Cholesky分解),记为,-(1),因此,Diagonal:对角,为非奇异下三角阵,为非奇异上三角阵,-(2),-(3),因此,所以,综合以上分析,则有,-(4),-(5),定理1. (Cholesky分解),且该分解式唯一,这种关于对称正定矩阵的分解称为Cholesky分解,-(6),-(7),-(8),2、对称正定线性方程组的解法,线性方程组,-(10),-(11),则线性方程组(10)可化为两个三角形方程组,-(12),-(13),-(14),-(15),

4、对称正定方程 组的平方根法,例.,用平方根法解对称正定方程组,解:,即,所以原方程组的解为,本例中出现了大量的根式运算,原因为,考虑改变分解方式,请求解例1.,3、平方根法的数值稳定性,用平方根法求解对称正定方程组时不需选取主元,由,可知,因此,平方根法是数值稳定的,事实上,对称正定方程组也可以用顺序Gauss消去法求解,而不必加入选主元步骤,3. 追赶法(Thomas算法),对角占优矩阵:,有一类方程组,在插值问题和边值问题中 有着重要的作用,即三对角线方程组,其形式为:,其中,-(1),以下以Doolittle分解导出三对角线方程组的解法,以Crout分解的三对角线方程组的解法请参考教材,设,用紧凑格式的 Doolittle分解,因此,二对角阵,-(2),由,-(3),-(4),-(5),-(6),得,-(7),得,-(