2011年高考数学一轮精品复习课件：第9章《算法、推理与证明、复数》――推理与证明

1、学案3 推理与证明,返回目录,一、合情推理 1.由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理（简称归纳）.简言之，归纳推理是 、 .,由部分到整体,由个别到一般的推理,考点分析,返回目录,2.由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理（简称类比）.简言之，类比推理是 . 3. 和 都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理. 二、演绎推理 1.从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论

2、，我们把这种推理称为演绎推理.简言之，演绎推理 是 . 2.“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：,由特殊到特殊的推理,归纳推理,类比推理,由一般到特殊的推理,返回目录,（1） 已知的一般原理； （2） 所研究的特殊情况； （3） 根据一般原理，对特殊情况做出的判断. 三、直接证明 1.一般地,利用已知条件和某些数学 、 、 等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法. 2.一般地,从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为 为止,这种证明方法叫做分析法.,大前提,小前提,结论,定义,公理,定理,判定一个明显成立的条件（已

3、知条件、定理、定义、公理等）,返回目录,四、间接证明 反证法是间接证明的一种基本方法. 一般地，假设 不成立(即在原命题的条件下,结论不成立)，经过正确的推理，最后得出 ，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法.,原命题,矛盾,五、数学归纳法 一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行： （1）（归纳奠基） ； （2）（归纳递推） . 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始 的所有正整数n都成立.上述证明方法叫做数学归纳法.,假设n=k(kn0,kN*）时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立,证明当n取第一个值n0(n0N*)时命题成立,返回目录

4、,返回目录,【分析】根据已知条件和递推关系，先求出数列的前几项，然后总结归纳其中的规律，写出其通项,考点一 归纳推理,在数列an中，a1=1,an+1= (nN+),猜想这个数列的通项公式.,考点分析,【解析】 an中，a1=1,a2= a3= a4= , 所以猜想an的通项公式an= . 证明如下：因为a1=1,an+1= , 所以 即 所以数列 是以 =1为首项,公差为 的等差数列. 所以 . 所以通项公式an= .,返回目录,【评析】通过归纳推理得出的结论可能正确，也可能不正确，它的正确性需通过严格的证明，猜想所得结论即可用演绎推理给出证明.虽然由归纳推理所得出的结论未必是正确的，但它所

5、具有的由特殊到一般、由具体到抽象的认识过程，对于数学的发现、科学的发明是十分有用的.通过观察实验，对有限的资料作归纳整理，提出带有规律性的猜想，也是数学研究的基本方法之一，归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）.,返回目录,对应演练,设f(n)=n2+n+41,nN*,计算:f(1),f(2),f(3),f(4),f(10) 的值,同时作出归纳推理,并用n=40验证猜想是否正确.,返回目录,返回目录,f(1)=12+1+41=43, f(2)=22+2+41=47, f(3)=32+3+41=53, f(4)=

6、42+4+41=61, f(5)=52+5+41=72, f(6)=62+6+41=83, f(7)=72+7+41=97, f(8)=82+8+41=113, f(9)=92+9+41=131, f(10)=102+10+41=151. 43,57,53,61,71,83,97,113,131,151都为质数, 归纳猜想:当nN*时,f(n)=n2+n+41的值都为质数, 当n=40时,f(40)=402+40+41=40(40+1)+41=4141. f(40)的值是合数,因此,由上面归纳推理得到的猜想不正确.,返回目录,在ABC中，ABAC于A,ADBC于D，求证: ，那么在四面体ABC

7、D中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，并说明理由.,【分析】首先利用综合法证明结论正确，然后依据直角三角形与四面体之间形状的对比猜想结论，并予以证明.,考点二 类比推理,返回目录,【证明】如图11-3-1所示，由射影定理得 AD2=BDDC,AB2=BDBC,AC2=BCDC. 又BC2=AB2+AC2, 猜想：类比ABAC,ADBC猜想四面体ABCD中，AB,AC,AD两两垂直,AE平面BCD.则 如图，连结BE交CD于F，连结AF. ABAC，ABAD, AB平面ACD，而AF面ACD, ABAF.而RtABF中，AEBF, 在RtACD中，AFCD, 故猜想正确.,返回目录,【评析】根

8、据两类不同事物之间具有的某些类似（或一致）性，推测其中一类事物具有与另一类事物类似（或相同）的性质，这样的推理叫类比推理（简称类比）.类比推理是由特殊到特殊的一种推理形式，类比的结论可能是真的，也可能是假的，所以类比推理属于合情推理.虽然类比推理的结论可能为真，也可能为假，但是它由特殊到特殊的认识功能，对于发现新的规律和事实却十分有用.类比推理应从具体问题出发，通过观察、分析、联想进行对比、归纳、提出猜想.平面图形中的面积与空间图形中的体积常常是类比的两类对象. 类比推理的一般步骤是：（1）找出两类事物之间的相似性或一致性;（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想

9、）.,返回目录,返回目录,对应演练,在等差数列an中，若a10=0，则有等式a1+a2+an=a1+a2+a19-n(n19,nN*)成立，类比上述性质，相应地:在等比数列bn中，若b9=1，则有等式 成立.,返回目录,b1b2bn=b1b2b17-n(n17,nN*)(由题设可知，如果am=0，则有a1+a2+an=a1+a2+a2m-1-n(n2m-1,nN*)成立，如果m+n=p+q，其中m，n,p,q是自然数，对于等差数列，则有am+an=ap+aq，而对于等比数列，则有bmbn=bpbq，所以可以得到结论，若bm=1，则有等式b1b2bn=b1b2b2m-1-n(n2m-1,nN*)

10、成立，在本题中m=9.),返回目录,在锐角三角形ABC中，ADBC，BEAC，D,E是垂足.求证：AB的中点M到D,E的距离相等.,考点三 演绎推理,【分析】解答本题需要利用直角三角形斜边上的中 线性质作为大前提.,【证明】（1）因为有一个内角是直角的三角形是直角 三角形 大前提 在ABD中，ADBC，即ADB=90 小前提 所以ABD是直角三角形 结论 （2）因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 大前提 而M是RtABD斜边AB的中点，DM是斜边上的中线 小前提 所以DM= AB. 同理EM= AB.所以DM=EM.,返回目录,返回目录,【评析】演绎推理的主要形式就是由大前提、小前提推出

11、结论的三段论推理.三段论推理的依据用集合论的观点来讲就是：若集合M的所有元素都具有性质P，S是M的子集，那么S中所有元素都具有性质P.三段论的公式中包含三个判断：第一个判断称为大前提，它提供了一个一般的原理；第二个判断叫小前提，它指出了一个特殊情况;这两个判断联合起来，揭示了一般原理和特殊情况的内在联系,从而产生了第三个判断结论.演绎推理是一种必然性推理,演绎推理的前提与结论之间有蕴涵关系.因而，只要前提是真实的，推理的形式是正确的，那么结论必定是真实的，但错误的前提可能导致错误的结论.,返回目录,对应演练,证明:根据题意,0 ,0 , 0+,又tan= ,tan= , tan(+)= 0+,

12、+= .,如图是三个拼在一起的正方形，求证：+= .,返回目录,【证明】要证 只要证 a0,故只要证,考点四 分析法证明,已知a0,求证:,【分析】所给条件简单,所证结论复杂,一般采用分析法.,从而只要证 只要证 即 ,而上述不等式显然成立, 故原不等式成立.,返回目录,即,返回目录,【评析】分析法是数学中常用到的一种直接证明方法,就证明程序来讲,它是一种从未知到已知(从结论到题设)的逻辑推理方法.具体地说,即先假设所要证明的结论是正确的,由此逐步推出保证此结论成立的充分条件,而当这些判断恰恰都是已证的命题 (定义、公理、定理、法则、公式等）或要证命题的已知条件时命题得证.,对应演练,已知0a

13、1,0b1,0c1,求证:,返回目录,证明:a0,b0,c0, 要证 , 只需证1+ab+bc+caa+b+c+abc, 即1+ab+bc+ca-(a+b+c+abc)0. 1+ab+bc+ca-(a+b+c+abc)=(1-a)(1-b)(1-c), 且a1,b1,c1,(1-a)(1-b)(1-c)0, 1+ab+bc+ca-(a+b+c+abc)0成立, .,返回目录,【分析】不等式中的a,b,c为对称的，所以从基本的不等式定理入手，先考虑两个正数的均值定理，再根据不等式性质推导出证明的结论.,考点五 综合法证明,已知a,b,c0.求证：a3+b3+c3 (a2+b2+c2)(a+b+c

14、).,返回目录,返回目录,【证明】a2+b22ab,a0,b0, (a2+b2)(a+b)2ab(a+b). a3+b3+a2b+ab22ab(a+b)=2a2b+2ab2. a3+b3a2b+ab2. 同理:b3+c3b2c+bc2,a3+c3a2c+ac2. 将三式相加得: 2(a3+b3+c3)a2b+ab2+bc2+b2c+a2c+ac2, 3(a3+b3+c3)(a3+a2b+a2c)+(b3+b2a+b2c)+(c3+c2a+c2b)=(a+b+c)(a2+b2+c2). a3+b3+c3 (a2+b2+c2)(a+b+c).,【评析】（1）在用综合法证明不等式时，常利用不等式的基

15、本性质，如同向不等式相加、同向不等式相乘等，但在运用这些性质时，一定要注意这些性质成立的前提条件.简言之，综合法是一种由因索果的证明方法，其逻辑依据也是三段论式的演绎推理方法. （2）一般问题都是用综合法解决的，要保证前提条件正确，推理合乎规律，这样才能保证结论的正确性.,返回目录,在锐角三角形ABC中,求证： sinA+sinB+sinCcosA+cosB+cosC.,返回目录,对应演练,证明:锐角三角形ABC中，A+B , A -B. 0 -BA . 又在（0, ）内正弦函数是单调递增函数, sinAsin（ -B）=cosB.即sinAcosB. 同理，sinBcosC, sinCcos

16、A. 由+得 sinA+sinB+sinCcosA+cosB+cosC.,返回目录,【分析】本题结论以“至少”形式出现，从正面思考 有多种形式，不易入手，故可用反证法加以证明.,考点六 反证法证明,若x,y都是正实数，且x+y2,求证： 或 中至少有一个成立.,返回目录,【证明】假设 或 都不成立,则有 和 同时成立. 因为x0且y0，所以1+x2y,且1+y2x. 两式相加，得2+x+y2x+2y. 所以x+y2. 这与已知条件x+y2矛盾. 因此 和 中至少有一个成立.,返回目录,【评析】（1）当一个命题的结论是以“至多”“至少”“唯一”或以否定形式出现时，宜用反证法来证.反证法关键是在正

17、确的推理下得出矛盾，矛盾可以是与已知条件矛盾，与假设矛盾，与定义、公理、定理矛盾，与事实矛盾等方面.反证法常常是解决某些“疑难”问题的有力工具，是数学证明中的一件有力武器. （2）利用反证法证明问题时，要注意与之矛盾的定理不能是用本题的结论证明的定理;否则，将出现循环论证的错误.,返回目录,已知数列an的前n项的和Sn满足Sn=2an-3n(nN*). (1)求证：an+3为等比数列,并求an的通项公式; (2)数列an是否存在三项使它们按原顺序可以构成等 差数列?若存在,求出一组适合条件的项;若不存在,请说 明理由.,返回目录,对应演练,(1)证明:Sn=2an-3n(nN*), a1=S1

18、=2a1-3,a1=3. Sn=2an-3n Sn+1=2an+1-3(n+1), 得an+1=Sn+1-Sn=2an+1-2an-3, an+1+3=2(an+3), an+3是首项为a1+3=6,公比为2的等比数列. an+3=62n-1,即an=3(2n-1).,返回目录,又由,(2)假设数列an中存在三项ar,as,at(rst),它们可以构成等差数列. 由(1)知arasat,则2as=ar+at, 6(2s-1)=3(2r-1)+3(2t-1),即2s+1=2r+2t, 2s+1-r=1+2t-r,(*) r,s,t均为正整数且rst, (*)左边为偶数而右边为奇数, 假设不成立,

19、即数列an不存在三项使它们按照原顺序可以构成等差数列.,返回目录,已知数列an，其中a2=6且 . (1)求a1,a3,a4; (2)求数列an的通项公式; (3）设数列bn为等差数列，其中 且c为不 等于零的常数,若Sn=b1+b2+bn.求,考点七 数学归纲法,返回目录,【分析】数列an既不是等差数列，又不是等比数列，要求其通项公式,只能根据给出的递推式和初始值a2，分别计算出a1,a3,a4.然后归纳猜想出通项公式an，并用数学归纳法加以证明.数列bn虽然是等差数列，但无法直接求得b1和公差d，而只能利用递推式 和an的通项公式，求出参数c的值，从而求得bn和Sn，利用拆项法求得 的和.

20、,返回目录,【解析】（1）由题意得a2=6, 解得a1=1,a3=15,a4=28.,返回目录,（2）由此猜想an=n(2n-1). 下面用数学归纳法加以证明: 当n=1时，a1=1(2-1)=1结论成立. 假设n=k时，结论正确，即ak=k(2k-1). 则当n=k+1时,有 , 所以(k-1)ak+1=(k+1)ak-(k+1)=(k+1)k(2k-1)-(k+1) =(k+1)(2k2-k-1)=(k+1)(2k+1)(k-1)(k-10). 所以ak+1=(k+1)2(k+1)-1. 即当n=k+1时，结论成立. 由可知，an的通项公式an=n(2n-1).,返回目录,(3)证明：因为 bn 是等差数列，所以2b2=b1+b3. 所以 因为a1=1，a2=6,a3=15且c0, 由上式解得c=- ,所以 故Sn=b1+b2+bn=