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文档简介
1、第9章 线性系统的状态变量分析,重点:,1.状态、状态变量和状态方程 2.连续时间系统状态方程的建立,9.1 状态、状态变量和状态方程,1.引言(问题的提出),前述用系统函数描述的线性系统模型,解决了单输入 单输出的系统问题. 经典的线性系统理论(时域和变换域法)应用的局限性 1)无法了解系统的内部特性;只能了解外部特征; 2)无法处理多输入多输出系统的问题. 卡尔曼于50至60年代引入状态空间分析法,其特点是: 1)利用状态变量描述系统的内部特性; 2)运用于多输入多输出系统; 3)可用于描述非线性系统或时变系统,并易于计算机求解. 用n个状态变量的一阶微分或差分方程组来描述系统 。 通过对
2、系统内部变量的观测和控制达到控制系统的目的。,2系统状态变量与状态方程,以一个简单的串联谐振电路为例,用两种方法研究系统:,方法一:单输入单输出法,通过系统函数建立输入输出关系,由高阶微分方程描述系统模型,写为,方法二:多输入多输出法(状态空间分析法),通过状态方程建立系统的输入输出关系,由一阶微分方程组描述系统模型.,写为矩阵形式:,只要知道 的初始状态及输入 即可完全确定电路的全部行为。,输出方程,此方法称为状态变量或状态空间分析法; 为状态变量。,例题:二阶电路,3状态方程的矢量表示,输出方程的矢量表示,状态:表示动态系统的一组最少变量(被称为状态变量),只要知道 时这组变量和 时的输入
3、,那么就能完全确定系统在 任何时间 的行为。,状态变量:能够表示系统状态的那些变量成为状态变量。例如上例中的 。,状态矢量:能够完全描述一个系统行为的k个状态变量,可以表示为矩阵。,状态方程: 用状态变量和激励表示的一组微分方程组,输出方程: 用状态变量和激励表示的一组代数方程组,系统方程: 状态方程和输出方程的总称.,说明:,2. 若A,B,C,D矩阵中的各元素都为常数,不随时间变化,表明系统是线性时不变的; 若A,B,C,D矩阵是时间的函数,表明系统是线性时变的.,1.对于线性系统,状态方程和输出方程是状态变量和输入信号的线性组合;,3.状态变量的选择不是唯一的,对同一个系统,选择不同的状
4、态变量可得出不同的状态方程.,(1) 便于研究系统内部的一些物理量在信号转换过程中的变化;,(2)一阶微分(或差分)方程组便于计算机进行 数值计算;,(4)便于分析多输入多输出系统;,(5)容易推广应用于时变系统或非线性系统;,(6)引出了可观测性和可控制性两个重要概念。,(3)系统的状态变量分析法与系统的复杂程度无关,都表示一些状态变量的线性组合,高阶系统只是矩阵的维数增加而已;,4用状态变量分析系统的优点,9.2 连续时间系统状态方程的建立,1状态变量的选取,对于一个电路,选择状态变量最常用的方法时取全部独立的电感电流和独立的电容电压. 说明:状态变量是互相独立的,不可互求。 状态变量的个
5、数,等于系统的阶数.,几种注意情况:,状态变量的选取原则:独立的电容电压和电感电流,2.状态方程建立的方法,由电路图直接建立状态方程 由系统微分方程或系统函数建立状态方程 由系统微分方程或信号流图建立状态方程 计算机辅助设计方法,写出下图所示电路的状态方程和输出方程。,选电感电流 和电容两端电压 作为状态变量,1)电路图 建立状态方程(重点),对连接电容的节点A列节点电流方程,对包含电容的回路 列回路电压方程,整理,写成矩阵形式,输出方程为,三个步骤:,(1)取所有独立的电感电流和电容电压为状态变量. (2) 对每个独立电感电流 列写回路电压方程; 对每个独立电容电压 列出节点电流方程. (3
6、)在上述方程中若含除激励源以外的非状态变量,则应用适当的节点和回路方程将其消去,整理成标准形式的状态方程.,例题:,2)由微分方程或系统函数 建立状态方程(了解),微分方程或系统函数:描述系统的输入输出关系 状态方程:描述系统内部特性,多输入多输出的模型,两种模型是对同一系统工作情况的不同描述。 两者之间存在一定的互换关系,注意:状态变量选择不同,转换得到的状态方程不同。,并非任意的微分方程或系统函数都可实现转换, 其条件是系统函数的mn,9.3连续时间系统状态方程的求解(了解),1连续时间系统状态方程的S域解法,状态方程,输出方程,?,系统特征矩阵,已知系统的状态方程和起始条件为,试求系统的状态变量。,(1)求特征矩阵,其行列式和伴随矩阵分别为,所以预解矩阵为,则状态变量矩阵为,
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