频率域稳定判据

1、3. 对数频率稳定判据,1. Nyquist 稳定判据的数学基础,5-4 频率域稳定判据,(1) 幅角原理,(2) 复变函数F(s)的选取,(3) S平面闭合曲线的选取,(4) 绘制开环传递函数G(s)的闭合曲线G,(5) 闭合曲线F包围原点的圈数R计算,2. Nyquist稳定判据,1. Nyquist 稳定判据的数学基础,5-4 频率域稳定判据,设F(s)是复变量 s 的单值有理函数，是S平,(1) 幅角原理,曲线)在F(s)平面上的象轨迹是一条闭合曲线F，,面上一条不经过 F(s) 的极点和零点的简单闭合曲,R = P - Z，,线。,曲线F包围F(s)平面原点的圈数为,式中 P是曲线包

2、围的F(s)极点个数；,包围的F(s)零点个数；,包围原点R次，,R次，,Z是曲线,R0表示曲线F逆时针,R0表示曲线F顺时针包围原点,R=0表示曲线F不包围原点；,S平面上的点s 沿曲线顺时针运动一周，(,说明：S 平面上的点 s 在 F(s) 平面上的象为 F(s) ，,否则值为0。,现在，关注相角变化情况，,的位置不同而不同；,因逆时针一周为 ，即,R = P Z。,s 沿曲线顺时针运动一周，( s - x )的值因 x,若x被曲线包围值为,零点必须都在 S 平面的左半部； F(s) 的极点也就,(2) 复变函数F(s)的选取,要求闭环系统稳定，则闭环极点，即 F(s) 的,已知开环传递

3、函数G(s)H(s)为,则征多项式为 F(s) = 1+G(s)H(s)，另一种形式为,是开环极点未被限制，影响闭环系统稳定性。,k 为在原点处的极点个数；,(3) S平面闭合曲线的选取,因为F(s)的零点都在,点，同样以无穷小半径的右半圆弧绕过极点。,在 S 平面上选取的闭合曲线 为：包围整个,S 平面右半部的闭合曲线；,极点，闭合曲线以无穷小半径的右半圆弧绕过原,点，对应的象是半径无穷大的圆弧，弧度为,若在原点处有开环,的闭合曲线只包围F(s),部的P个开环极点。,S平面的左半部，所选取,在S平面右半部的极点 ，,也就是F(s)在 S 平面右半,若在虚轴上有共轭极,只是F(s)平面原点等价

4、于G(s)平面上的(-1, j0 )点。,(4) 绘制开环传递函数G(s)的闭合曲线G,(即幅相曲线，Nyquist曲线。),轴对称，则闭合曲线G在平面上也关于实轴对,由于所选取的闭合曲线在S平面上关于实,通常，只需绘制 ：0+ 的半条G 曲线。,(5) 闭合曲线F包围原点的圈数计算,考虑到F(s)=1+G(s)，在G(s)平面上的闭合曲,线G与F(s)平面的闭合曲线F形状完全相同。,点的次数。或等于半条G包围 (-1, j0 )点的次数,这样，F包围原点的次数R等于G包围(-1, j0 ),乘2。,图5-32(a) v = 0：,P =0；R =-2；Z =2。闭环系统不稳定。,N+：正穿越

5、，相角增大；(-,-1),N-：负穿越，相角减小；,R = 2N = 2 ( N+-N- )；,图5-32(b) v = 1：,P =0；R =0；Z =0。,闭环系统稳定。,图5-32(c) v = 2：,P =0；R =0；Z =0。,闭环系统稳定。,R = 2 ( N+-N- ) = 2(1-1) = 0；,图5-32(d) v = 0：,R = 2 ( N+-N- )=2(0.5-1)=-1；,图5-32(e) v = 4：,R = 2 ( N+-N- ) = 2( 0 -1.5 ) = -3；,反馈控制系统稳定的充分必要条件是：闭合,2. Nyquist稳定判据,系统在 S 平面右半

6、部的开环极点个数 P。,曲线G逆时针包围临界点 (-1, j 0 ) 的次数 R 等于,(若曲线G 穿过(-1, j 0)点，系统可能是临界,简记： R = P 。,稳定的，工程上认为系统是不稳定的。),例5-8 已知负反馈系统开,v=1 )如图5-33所示，,试确定闭环系统稳定时,K值的范围。,环幅相曲线( K=10, P=0,图5-33,解：K=10时，,开环幅相曲线与负实轴的交点依次为，,系统稳定。,K值变化只改变图形大小，不改变图形形状。,该系统有三个临界稳定的开环增益分别记为,R = 2 ( N+-N- ) = 2( 1 -1 ) = 0；R = P；,K1、K2和K3。即,当K=K

7、1时，,则有K1/10=1/2；K1=5；,当K=K2时，,则有K2/10=1/1.5；K2=20/3；,当K=K3时，,则有K3/10=1/0.5；K3=20；,0 K 5 ， R = 0 ， 闭环系统稳定；,5 K 20/3 ， R = -2 ，闭环系统不稳定；,20/3 K 20 ，R = 0 ， 闭环系统稳定；,K 20 ， R = -2 ，闭环系统不稳定。,例5-9 已知延迟系统开环传递函数为,解：由于该延迟系统的相角、幅值都是递减的，,确定使闭环系统稳定的值范围。,只有N-为零，闭环系统才能稳定。,实轴有无穷多个交点，但交点逐渐接近原点。,临界稳定的值使幅相曲线首次与负实轴相,交在

8、临界点(-1, j 0 )。,结论：1.2092时，闭环系统稳定。,计算临界稳定的值：,幅相曲线与负,3. 对数频率稳定判据（略，针对对数频率曲线的,(1) 根据对数频率特性曲线概略绘制幅相曲线，,Nyquist 稳定判据使用方法）,再应用Nyquist 稳定判据。,(2) 将正穿越N+、负穿越N-概念应用到对数频率,特性曲线上： S 平面临界点(-1, j 0)左侧实轴对应,于对数幅频特性横轴上方及相频特性-180o 线。,式中 K = 10 3，Ti = 10 i-1；试根据对数频率曲线分,例5-10 已知负反馈系统的开环传递函数为,析闭环系统稳定性。,解：绘制概略幅相曲线,P=0；,R = 2( 0 -1 ) = -2；,R P；,闭环系