静电场高斯定理

1、3.2 静电场高斯定理,1. 电力线,3.2.1 电力线（电场线， 线）,1831年，法拉第首先在磁场中引入了一种直观形象地描述场的几何方法 力线。接着在1832年，他又把这种方法应用到静电场中来。后来，麦克斯韦发现了法拉第这种描述方法的深刻数学内涵，从而将这种方法发展成描述一切矢量场的普遍手段。,在静电场重，我们用下面方法引入力线。,（1）在静电场中画一簇带箭头的曲线，规定 曲线上任一点的切线方向代表该点的电场强度 方向。切线的正方向顺着箭头方向选取。,上面那一簇曲线被称为电力线。,为了使电力线能同时表示电场强度的大小， 我们又有如下规定。,（2）在场中各点垂直于电场强度方向作一个小面元 d

2、s ，穿过该面元的电力线条数用dN表示。并让：,按上面规定，我们可以说穿过单位面积的电 力线条数，与电场强度在数值上相等。,首先需要说明，什么叫 “穿过单位面积的电,力线条数” 。在国际单位制中，单位面积为 1 平方米。实际上我们并不是真的取 1 平方米面 积，去数一数有多少条力线穿过；而是取一极 其小的面积元ds，并按穿过该小面积元的电力 线密度将其放大到 1 平方米，然后按放大后的 那 1平方米上的电力线条数去定义小面积元 ds 处的电场强度大小。,其次我们要说明，场强大小往往不是整数，而力线的条数总是整数。比如有一力线非常稀疏的场，在 2 平方米的面积上只有一条力线穿,过，按这样的密度考

3、虑，1平方米就平均只有 0.5 条力线了。这样就可以解决力线为整数而场强不为整数的矛盾了。,我们从上面的几何表示中，一眼就可以看出电场强度的方向；并且从电力线的疏密程度，也可以看出电场强度的大小。,（2）任何两条电力线在无电荷处不相交。,2. 电力线的性质,（1）起于正电荷或来自无穷远；止于负电荷 或伸向无穷远；,3. 典型带电体的电力线,3.2.2 电通量,穿过任意曲面 S 的电力线代数和称为穿过该曲面的电通量。,1. 电通量的几何定义,我们先说说电力线的代数和是什么意思。提到代数和，说明电通量是有正负的。我们知道电力线上面是有箭头的，因此电力线穿过曲面就有一个方向的问题。我们可以规定从一侧

4、穿过的电力线其电通量为正，那么从相反方向穿过的电力线其电通量就为负。,2. 电通量的数学表示,接下来，我们对电通量的正负作出具体规定。先给曲面规定一个法线方向，凡力线与法线成锐角时其通量为正，反之为负。,（1）穿过均匀电场中平面的电通量。,定义有向曲面：,于是在均匀电场中，穿过一个平面的电通量可表示为：,（2）穿过非均匀电场中任意曲面的电通量。,我们将任意曲面分成一系列有向面元 ，容易理解穿过任意曲面的电通量为：,如果曲面是闭合的，穿过它的电通量则用如下面积分表示：,电磁学中的闭合曲面被统称为高斯面。,对非闭合曲面，其上小面元的法向可随意选取，但无论怎样选取，结果的正负都会告诉我们电力线是从哪

5、一侧穿过的。不过，对高斯面则规定一律取外法向。按这样规定，进入高斯面的电力线其电通量为负，而从高斯面穿出的电力线其电通量为正。,3.2.3 静电场高斯定理,1. 穿过高斯面的电通量定性分析,如左图所示，当高斯面内无电荷（或电荷的代数和为零）的时候，进入、穿出的电力线条数相等，于是穿过高斯面的电通量显然为零。,当高斯面内有净剩的正电荷时，穿过高斯面的电通量显然为正；当高斯面内有净剩的,负电荷时，穿过高斯面的电通量显然为负。于是有下面结论：,穿过高斯面的电通量只取决于高斯面内的电荷代数和，而与高斯面外的电荷无关。,2. 静电场高斯定理,穿过高斯面的电通量与高斯面内电荷的关系由下式决定：,象静电场这

6、样，其力线有头有尾、有始有终的矢量场被称作有源场。高斯定理正是反映了静电场的这种有源性，静电场的源就是电荷。,3. 有源场,真空中的任何静电场中，穿过高斯面的电通量，在数值上等于该曲面内电荷的代数和除以 ，这叫静电场高斯定理。,3.2.4 高斯定理的应用,当场源电荷的分布有较高的对称性时，我们可以利用这种对称性，并借助高斯定理来求场强。下面分三种对称性来介绍。,1. 球对称,（1）均匀带电球面。（例 34）,由对称性分析容易得到：, 球面内、外任一点的电场强度方向只能沿半径向里或向外。, 到球心距离相等的点上，电场强度大小必定相等。,根据对称性分析，可取如图所示的高斯面 ，应用高斯定理：,同理

7、，取如图所示的高斯面 ，应用高斯定理：,在球面上（见例32）：,对称性分析及其结果，同球面情况完全相同，因此所取高斯面也相同。,（2）均匀带电球体。（例 35）,2. 轴对称,（1）无限长均匀带电细线。,由对称性分析容易得到：, 任一点的电场强度方向只能垂直于轴线向外辐射或指向轴线。, 到轴线距离相等的点上，电场强度大小必定相等。,作同轴圆柱形高斯面，应用高斯定理：,（2）无限长均匀带电圆柱面。（例 36）,对称性分析及其结果，同无限长细线情况完全相同。,在柱面上（见例33）：,（3）无限长均匀带电圆柱体。（例 37）,对称性分析及其结果，请同学自己进行。,（1）无限大均匀带电薄平板。（例 38）,3. 镜像对称,对称性分析可以得到：, 任一点的场强只能垂直于板面。, 到平板距离相等的点，场强大小必相等。,选取一个盒子状高斯