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1、1.5.2 二项式系数的 性质和应用,知识回顾,1.二项式定理,右边的多项式叫做(a+b)n的二项展开式,其中 Cnr an-rbr 叫做二项展开式的通项，记作Tr+1,一般地，对于n N*，有：,2.注意区别二项式系数与项的系数的概念,二项式系数为 ； 项的系数为：二项式系数与数字系数的积,问题情境,(a+b)1,(a+b)3,(a+b)4,(a+b)5,(a+b)2,1,1,1,2,1,1,3,3,1,1,4,6,4,1,1,5,10,10,5,1,(a+b)6,试计算下列各展开式中的二项式系数：,类似上面的表,早在我国南宋数学家杨辉1261年所著的详解九章算法一书里就已经出现了，这个表称

2、为杨辉三角。在书中，还说明了表里“一”以外的每一个数都等于它肩上两个数的和，杨辉指出这个方法出于释锁算书，且我国北宋数学家贾宪（约公元11世纪）已经用过它。这表明我国发现这个表不晚于11世纪。在欧洲，这个表被认为是法国数学家帕斯卡（Blaise Pascal, 1623-1662）首先发现的，他们把这个表叫做帕斯卡三角。这就是说，杨辉三角的发现要比欧洲早五百年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的.,讨论总结,杨辉三角,帕斯卡三角,通过探究，你能发现什么结论？,数学建构,(1)对称性：,与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等.,(2)增减性与最大值：,从第一项起至中间项，二

3、项式系数逐渐增大，随后又逐渐减小.,(3)各二项式系数的和,二项式系数的性质,(1)对称性：,与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等.,(2)增减性与最大值：,从第一项起至中间项，二项式系数逐渐增大，随后又逐渐减小.,二项式系数的性质,数学建构,(2)增减性与最大值：,从第一项起至中间项，二项式系数逐渐增大，随后又逐渐减小.,(2)增减性与最大值：,从第一项起至中间项，二项式系数逐渐增大，随后又逐渐减小.,因此，当n为偶数时，中间一项的二项式系数 取得最大值；当n为奇数时，中间两项的二项式 系数 、 相等且同时取得最大值,(3)各二项式系数的和,当n= 6时,令 :,其图象是7个孤立点,代数意义：,几何意义：,直线 作为对称轴 将图象分成对称的两部分.,函数思想,数学运用,例1 证明：在(ab)n展开式中,奇数项的二项 式系数的和等于偶数项的二项式系数的和.,证明：在展开式 中 令a=1，b=1得,数学运用,例2 用二项式定理证明：9910-1能被1000整除.,例3 求证：,证明：,倒序相加法,数学运用,变式训练： 是否存在等差数列 ，使 对任意 都成立？若存在，求出数列 的通项公式；若不存在，请说明理由.,课堂练习,随堂检测,课堂小结,(3) 数学

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