矢量微积分(修改版)

1、,矢量微积分,矢量微分 直角坐标系中的矢量微分 曲线坐标系中的矢量微分 矢量微分应用举例 矢量积分 直角坐标系中的矢量积分 曲线坐标系中的矢量积分,Outline,任何一个矢量,都可以表示成 的形式，其中 ， 是 的单位矢量。从而 在直角坐标系中，由于基失是常矢量，不难得到 在曲线坐标系中，由于基矢方向可变，故曲线坐标系中的矢量微分比起直角坐标系来相对要复杂些。,直角坐标系中的矢量微分,1.在极坐标系（三维即为柱坐标系） 中，应用几何知识，可以得出。 则,曲线坐标系中的矢量微分,设柱坐标系中的任意矢量为 则,曲线坐标系中的矢量微分,2.在球坐标系中，同样应用几何知识可得 则,曲线坐标系中的矢量

2、微分,微分的结果，已无法在球坐标系中表述。在理论力学中，为研究方便起见，引入辅助基矢 ，它相当于直角坐标系中的 ，是 球坐标系中 时的 ，于是,曲线坐标系中的矢量微分,设 则,曲线坐标系中的矢量微分,求地球表面物体的运动受力情况。 解：地球时刻不停地在自转，因此在地球表面的物体，无论是其运动状况还是其受力状况，都不可避免地受地球自转的影 响。我们不妨把地球视为理想球体，并把所求的问题放在以球心为坐标原点，以地球自转轴为 的球坐标系中来处理。 设地球半径为R，自转角速度为 ，任意时刻 A 物体的位置矢量显然是 ，速度 ，根据球坐标中的微分表达式有：,矢量微分的应用举例,令 而 ，则 这里， 中包

3、含 ，把 分离出来，则物体相对于地球运动的分速度为 因地球自转而使物体有一个牵连分速度 即使物体相对于地球表面静止， 仍然存在，这就是所谓的“坐地日行八百里”。物体的加速度 为,矢量微分的应用举例,从而 这个结论在理论力学中很重要，可用来解释许多 自然现象。这里讨论两种特殊情况:,矢量微分的应用举例,(1).当物体相对于地面静止时 , 从而 ， 又 ，故 。此时物体所受的力为： 由于 的存在，致使物体受力 （重力）不指向地心（ 的反方向），并随地球纬度的改变而不同。 (2).当物体做纬向运动时， ， ，此时物体所受力中有一个径向分力 。令 ， ， 。则此径向分力可改写为 ，这个力就是科里奥利力

4、，用科氏力可以解释河流冲刷右岸等自然现象。,矢量微分的应用举例,矢量微分 直角坐标系中的矢量微分 曲线坐标系中的矢量微分 矢量微分应用举例 矢量积分 直角坐标系中的矢量积分 曲线坐标系中的矢量积分,Outline,在直角坐 标系中，由于基矢方向恒定，矢量积分可以直接进行。 例：求载流直导线周围的磁感强度 解：设直角坐标系如图，即原点在导线中心轴上，让y轴与导线中心轴重合，y 轴方向与电流同向，让x轴通过场点p，则 于是,直角坐标系中的矢量积分,(1).如果导线长为L ,且 ，即求导线中垂直面上的磁感强度，则 (2).如果导线无限长（ ），则,直角坐标系中的矢量积分,在曲线坐标中，由于基矢方向可变，矢量积分应慎重。 例：求圆形载流线圈中心轴上的 。 解：设柱坐标系如图，则 这个答案明显是错误的，因为被积矢量中基矢 本身是一个会随着积分变量而改变的变矢量。,曲线坐标系中的矢量积分,如果将 表示成某一定点基矢的函数 ，答案就不会错了。,曲线坐标系中的矢量积分,而在有些情况下，曲线坐标系中进行矢量积分，又会得到非常理想的结果。 例：求无限长载流 直导线周围的磁感应强度 。 解：我们把它放在柱坐标系中解决。设 Z 轴与导线