数理统计统计量及其分布

1、5.3 统计量及其分布,5.3.1 统计量及其分布,定义5.3.1 统计量:设x1,x2,xn为取自某总体的样本,若样本函数t=t(x1,x2,xn)中不含有任何未知参数,则称t为统计量. 抽样分布: 统计量的分布成为抽样分布.,注:统计量不依赖于未知参数,但是它的分布一般是依赖与未知参数的.,5.3.2 样本均值及其抽样分布,定义5.3.2 设x1,x2,xn为取自某总体的样本,其算术平均值称为样本均值，一般用 表示,即 在分组样本场合,样本均值的近似公式为 其中k为组数,xi为第i组的组中值, fi为第组的频数.,例5.3.1 某单位收集到20名青年人的某月的娱乐支出费用数据: 79 84

2、 84 88 92 93 94 97 98 99 100 101 101 102 102 108 110 113 118 125 则该月这20名青年的平均娱乐支出为,将这20个数据分组可以得到如下频数频率分布: 组序分组区间组中值频数频率,定理5.3.1 若把样本中的数据与样本均值之差称为偏差,则样本所有偏差之和为0,即,定理5.3.2 数据观察值与均值的偏差平方和最小, 即在形如 的函数中, 最小,其中c为任意给定常数.,证明: 为任意给定常数c,定理5.3.3 设x1,x2,xn是来自某个总体的样本，为样本均值 1) 若总体分布为 ，则 2) 若总体分布未知或者不是正态分布,但 则n较大时

3、,证明: 1) 证明见p210,习题13.（提示：用特征函数的性质证） 2)由中心极限定理,例5.3.3 求样本容量为30,总体分布如下的样本均值的渐进分布: 1)总体分布为均匀分布u(1,5); 2)总体分布密度函数为(倒三角分布) 3)总体分布为指数分布exp(1)；,解: 1) 均匀分布u(1,5)的均值和方差分别为3和4/3,所以样本均值的渐进分布为,2) 容易算出该分布均值和方差分别为3和2,所以样本均值的渐进分布为,3) 指数分布exp(1)的均值和方差都为1, 所以样本均值的渐进分布为,5.3.3 样本方差和 样本标准差,称为样本方差.,称为样本标准差.,也称为样本方差(也称无偏

4、方差),也称为样本标准差.,.,说明：,称为偏差平方和 的自由度,自由度的含义是：,分组样本场合，样本方差的近似计算公式为,练习:例5.3.4,证明:,5.3.4 样本矩及其函数,定义5.3.4 设x1,x2,xn是样本,则统计量,请回答：,定义5.3.5 设x1,x2,xn是样本,则统计量,称为样本偏度.,说明:,说明数据是对称的.,称为样本偏度.,说明数据中有几个较大的数，反映总体分布是正偏的或右偏的.,说明数据中有几个较小的数，反映总体分布是负偏的或左偏的.,5.3.5 次序统计量及其分布,一、次序统计量的定义及性质,例5.3.6 设总体x的分布为仅取0,1.2的离散均匀分布,分布列为,二、次序统计量的抽样分布,练习：请写出最小次序统计量和最大次序统计量的密度函数.（p157）,例5.3.7,解：由总体密度函数求出总体分布函数为:,例5.3.8,设总体分布为,例5.3.9,设总体分布为,极差,5.3.6 样本中位数与 样本分位数,5.3.7 五数概括与箱线图,所谓五数概括就是用,这五个数来大致描述一批数据的轮廓,5.3.7 五数概括与箱线图,一、单批数据箱线图 二、多批数据箱线图,用箱线图初步考察测验成绩的分布 sas程序如下:,1) 单批数据箱线图,2) 多批数据箱线图,对于