第二章 动态系统模型第一第二节.ppt

1、第二章 动态系统模型,2.1 引言 2.2 系统的时域模型 2.3 复频域模型与传递函数 2.4 结构图及系统互联 2.5 信号流图及Mason增益公式 2.6 闭环系统的特性,2.1引言,数学模型 为了某种目的，用字母、数字及其它数学符号 建立起来的等式或不等式以及图表、图象、框图等描 述客观事物的特征及其内在联系的数学结构表达式。 静态数学模型 描述事物的静态特征及其内在联系，用代数方 程表示。 动态数学模型 描述事物的动态特征及其内在联系，用微分方 程表示。,控制系统的数学模型 控制系统为动态系统，用动态数学模型表示 系统变量间的关系。（经典控制理论主要讨论系统 输入/输出变量间的关系）

2、 在时域，用微分方程、差分方程、状态方程 来描述。 在复数域，用传递函数、结构图、信号流图等 来描述。 在频域，用频率特性、Bode图等描述。,建立控制系统的数学模型的方法 分析法：按系统各部分的运动机理建模。 实验法：系统辩识，给系统施加某种测试信 号，记录其输出响应，并用适当的数学模型去逼 近。,2.2 系统的时域模型,2.2.1 ODEs模型 微分方程：含有一个未知函数及其一阶或更多阶导数的方程，叫微分方程。例：,常微分方程（ODEs: ordinary differential equations） ：只含一个自变量时间t的微分方程。前例： 注意！在经典控制理论中， 用ODEs模型描述

3、系统输入/输出之间的关系。,输入 变量,输出 变量,用解析法列写系统或元部件ODEs模型的一般步骤： 根据系统的具体工作情况，确定系统或元部件的输入、输出变量； 从输入端开始，按照信号的传递顺序，依据各变量所遵循的物理（或化学）定律，列写出各元部件的动态方程，一般为微分方程组；, 消去中间变量，写出输入、输出变量的微分方程； 将微分方程标准化，即将与输入有关的各项放在等号右侧，与输出有关的各项放在等号左侧，方程两边变量的导数项降幂排列。微分方程还要化成尾1标准型,例2-1建立下图所示电网络系统的微分方程，ur为输入， uc为输出,解： （1）确定系统的输入、输出变量： ur为输入， uc为输出

4、。 （2）列写出各元部件的动态方程。, 消去中间变量i1、i2 ，写出输入ur 、输出uc 为变量的微分方程。 将微分方程标准化，即将与输入有关的各项放在等号右侧，与输出有关的各项放在等号左侧，并按降幂排列。 （第（3）步已完成这项工作）,推导过程,（3）代入（2）得 （4）代入（1）得,（3）式两边求导并整理得 （2）式两边求导并整理得,将i1、i2代入（5）并整理得,尾一标准型,例2-2建立下图所示弹簧-质量-阻尼器系统的微分方程，外力F(t)为输入，位移y(t)为输出。,解： （1）确定系统的输入、输出变量： F(t)为输入，位移y(t)为输出。 （2）列写出各元部件的动态方程。, 消去

5、中间变量，写出输入 、输出为变量的微 分方程。 （无中间变量可消，此步略去） 将微分方程标准化，即将与输入有关的各项放在等号右侧，与输出有关的各项放在等号左侧，并按降幂排列。,例2-3 列写下图所示电枢控制式直流电动机的微分方程。图中，电枢电压ua(t)为输入量，电动机转速(t)为输出量。Ra、La分别是电枢电路的电阻和电感，Mc（t）是折合到电动机轴上的总负载转矩。假设激磁if电流为常值。,解： （1）确定系统的输入、输出变量： 电枢电压ua(t)为输入量，电动机转速(t)为输 出量 （2）列写出各元部件的动态方程。 1） 电枢回路电压平衡方程：,Ea是电枢旋转时产生的反电势，其大小与转速成

6、 正比，方向与电枢电压ua(t)相反 。 Ce是反电势系数。 ia(t)电枢电流。 2）电磁转矩方程 Mm(t)电枢电流产生的电磁转矩 Cm电动机转矩系数,3）电动机轴上的转矩平衡方程 fm电动机和负载折合到电动机轴上的粘性摩擦系 数 Jm电动机和负载折合到电动机轴上的转动惯量 Mc（t）是折合到电动机轴上的总负载转矩, 消去中间变量ia(t)、Ea、Mm(t)，写出输入 ua(t) 、输出(t)为变量的微分方程。 （4）将微分方程标准化，即将与输入有关的各项放在等号右侧，与输出有关的各项放在等号左侧，并按降幂排列。 （第（3）步已完成这项工作）,（5）化简微分方程。 考虑工程实际情况简化数学

7、模型。 电枢电路的电感La较小，可忽略不记。 Tm电动机机电时间常数 K1、 K2电动机传递系数,尾一标准型,例2-4 列写下图所示速度控制系统的微分方程,解： （1）确定系统的输入、输出变量： 由图知，电压ui(t)为输入量，负载转速(t)为 输出量。 （2）列写出各元部件的动态方程。 1） 运放：,2） 运放：,3） 功率放大器： 4）直流电动机 Tm电动机机电时间常数 Km、 Kc电动机传递系数 均考虑了齿轮系和负载效应,5）齿轮系 6）测速发电机 Kt测速发电机比例系数, 消去中间变量u1、 u2 、ua 、m 、 ut ，写 出输入ui、输出为变量的微分方程。,2.2.2非线性系统的

8、局部线性化模型 实际物理元件或系统都是非线性的。 相应的数学模型是非线性的。 非线性微分方程没有通用求解方法。但线性 微分方程有。 在研究系统时总是力图将非线性 问题在合理、可能的条件下简化为线性问题处理。,简化的方法： 忽略。非线性因素影响很小时，可以忽略它 们的影响。 切线法或小偏差法。适合于有连续变化的非 线性函数。方法的实质，在小范围内用直线段代 替非线性特性。,切线法或小偏差法原理： 假定变量对某一工作状态的偏离很小。 设非线性函数为 设系统的工作状态为（x0，y0），其中,在（x0，y0）附近将非线性函数展开成泰勒 级数： 当（x-x0）很小时，可略去高次项，得,令 得 这就是非线

9、性函数y=f(x)的增量线性化方程。当x在 x0附近偏离较小时可用该方程代替原方程。略去增量 符号，也可写作,例2-4汽车定速巡航控制系统的工作示意图如下：,系统工作原理：控制单元将实际车速与设定车速进行比较，当车速高于设定车速时，控制执行器（图中的控制算法）将节气门适当关闭；当车速低于设定车速时，控制执行器将节气门适当开启，从而使车速保持恒定。,f : 汽车牵引力，正比于节气门开度u，f=cu，0u1 ; c :由发动机的功率和变速器的挡位决定的常数； v :车速； vr :指定车速； kv :车速传感器反馈系数 ； v2：行车阻力 ； m:车身质量； mgsin :道路坡度变化引起的阻滞力

10、 ； e :车速差e= vr - kvv,问题： 1）求出汽车在平坦路上匀速行驶的最大速度； 2）求出汽车爬坡时允许的最大坡度； 3）写出车速差e= vr - kvv依赖于坡度变化的微分方程。,解： 1）求出汽车在平坦路上匀速行驶的最大速度； 由Newton力学第二定律得： 汽车匀速行驶时加速度为0，在平坦路上=0， 汽车以最大速度行驶，则节气门开度u最大，为1。 则有：,2）求出汽车爬坡时允许的最大坡度； 汽车爬坡处于极限行驶状态下： 节气门开度u最大，为1， 车速为0，但加速度不能小于0，否则汽车倒退。 由方程： 得： 最大坡度不超过,3）写出车速差e= vr - kvv依赖于坡度变化的微

11、分方程。 为讨论问题方便，先对方程（2-14）做变换 令w= v/vmax，则v = vmax w 而 将v = vmax w代入（2-14）得,注意，这是非线性微分方程。,归一化处理。,令 得,设恒定的节气门开度u0和坡度0对应恒定的巡速w0 ，则,如果在行驶过程中，坡度在工作点0邻域内作微小的变化，即 则 代入（2-15）,将 作泰勒级数展开，取到1次项： 同时，忽略w2项,上式化为：,略掉增量记号得： 进一步化简：,得： 或,在（2-17a）中， u为PI控制器的输出： 其中 将u代入（2-17a）得,两边求导得：,代入式（2-18），整理后得 这就是车速差e= vr - kvv依赖于坡

12、度变化的微分 方程。且是局部线性化的微分方程。,首1标准型,例2-5 铁芯线圈如下图所示。试列写以电压为输入，电流为输出的铁芯线圈的微分方程。,解： （1）确定系统的输入、输出变量： 电压ur为输入，电流i为输出。 （2）列写出各元部件的动态方程。 1）铁芯线圈的磁通变化时产生的感应电势： 2）铁芯线圈电路的方程：,3）铁芯线圈电路方程的小偏差线性化： 设线圈的电压、电流只在平衡工作点（ u0, i0 ） 附近作微小的变化 。相应于平衡工作点的磁通为0。 这时有：,代入铁芯线圈电路方程：,0为定值，所以 在平衡工作点处 所以得增量线性化方程,略去增量符号得：,2.2.3卷积 卷积（褶积）是求解

13、系统响应的一种重要方 法。 什么时候用这种方法？ 若构成系统的部件很多，系统内部结构很复 杂，无法使用解析法建立模型时，则可用卷积来 求系统的输出（响应）。 一个例子。,前图是F007的电路图。 输入是 输出是 把整个系统看成一个“黑箱”，用方框图表示如下：,使用卷积的时候，把一个系统看作是从输入信号u到输出信号y的一种变换映射算子。 卷积的数学原理： 1）卷积用来计算线性时不变系统的输出。 2）线性时不变系统(LTI)的基本特性： 叠加性：若 ( u1, y1) 和(u2, y2) 为系统的输入/ 输出对，a和b为实数，则 (au1+bu2, ay1+by2) 也是系统的输入/输出对。,补充

14、说明：叠加性的这种表述方式实际上还隐含了线性系统的齐次性即： 若 ( u1, y1) 为系统的输入/ 输出对，a为实数，则 (au1, ay1) 也是系统的输入/输出对。 有些老一点的教材会单列出线性系统的齐次性。,时不变性：若 u(t), y(t)为系统的输入/输出对，则对于正实数， u(t-), y(t-)也为系统的输入/输出对，即与时间原点的平移无关。,输出曲线只是y(t)的平移,形状不变,3）动态系统的因果性：系统在t0时刻的输出只与t t0时刻的输入有关。有输入才有输出，输入是因，输出是果。 4）系统的脉冲响应 如果给系统输入端施加单位脉冲函数(t)，则系统的输出叫脉冲响应。,单位脉

15、冲函数(t)的定义：,实际无法获得单位脉冲函数(t)，用下图所示实际脉冲代替(t)。,假设系统输入(t)时的输出为g(t),输入(t)时的输出为g(t),当0时有： (t) (t) g(t) g(t) 问题：如果已知系统的脉冲响应为g(t),如何求得任一输入信号u(t) 作用下系统所产生的输出y(t) ？,解：设输入信号u(t) 的波形如下所示：,1）先对输入信号u(t) 做近似处理。 把区间(t0, t)n等分，每等分的时间段为。 第k个脉冲的幅度为u(tk),（k=0,1,2,n-1）。 用n个实际脉冲来近似u(t) ，当n时，即 0时，这种近似的误差趋于0。 用实际脉冲表示第k个脉冲： u(tk)(t- tk) 整个输入信号u(t) 就是,补充说明：这个和式表达了任意一个连续的输入信号可以用一段一段的不同幅度的实际脉冲拼接而成。当n时，这种拼接就完全与实际的输入信号吻合。,2）根据线性系统的基本特性求系统的输出响应 先看每一段脉冲输入对应的系统的输出： 第一段脉冲为u(t0)(t- t0) ， 因为系统对(t- t0) 的输出为g(t- t0) ， 所以，由齐次性