社会统计学(卢淑华),第十二章

1、第十二讲 回归不相关,第一节 回归研究的对象,1、研究定距变量与定距变量之间的非确定关系 相关关系： 1）变量之间存在关系,2）这种关系是非确定性的,两个变量x和y，当x变化时会引起y相应变化，但 他们之间的变化关系是不确定的。如果当x取任何,一可能值xi y相应地服从一定的概率分布，则,称随机变量yx之间存在着相关。,2、散点图,x y, ,x1 y1,x y,2 2,x3 y3,xn yn,y,x1,x, ,3、回归方程与线性回归方程 1）回归方程 e yi f xi 自变量不同取值时，因变量y平均值的变化。 2）线性回归方程（一元） 当因变量y的平均值与自变量x呈线性关系时 ey x,问

2、题：用 y x 这个方程表示的回归线性 方程应该在坐标图上的哪一个位置，才使预 测时所犯错误最小？,第二节 回归直线的建立不最小二乘法, ,1、直线回归方程的建立 通过样本值作散布图，由散布图估计出 总体回归直线的系数 、 ，建立直线 回归方程。 但：抽样误差存在，样本均值并不等于 总体均值，要获得一条最佳的估计直 线，用最小二乘法。, ,它是总体线性回归方程 y x 的最佳 估计方程,2、最小二乘法 设总体中抽取一样本，围绕n个观测点画 一条直线 y a bx ，与各点都比较接近 的直线为最佳。要求：各点到待估直线 的铅直距离之和为最小。利用微分学中,lxy lxx,求极值的原理，求得： a

3、 y bx b 将a、b代入线性回归方程： y a bx,例,：妇女受教育的年限不家务劳劢时间调查资料,第三节 回归方程的假定不检验, ,一、线性回归模型基本假定的界定 1、自变量x可以是随机变量，也可以是 非随机变量，x值可以认为是无误差的。 2、由于x和y之间存在非确定性的相关关 系，因此要求y的所有子总体的方差都相 等：dy1 dy1 dy2 dyi dyn 3、y的所有子总体，其均值都在一条直 线上，称做线性假定。 eyi xi 4、要求随机变量 yi 是统计独立的,e i 0 d i , ,5、处于检验的需要，要求y值的每一个子 总体都满足正态分布。,d,以上假定用两组数据结构来表达

4、： 1）随机变量 yi 是独立的，且有： 均值：e yi xi 方差： yi 2 2）yi 与 xi 有如下关系： yi xi i i 是随机变量，它们相互独立，且有 2, ,二、回归方程的检验 1、原假设：x与y不存在线性关系, ,h h,0 1,： 0 ： 0,yi y ,tss ,2,1i yi, ,2、线性回归的平方和分解 1）总偏差平方和：反映观察值 yi 围绕均 值 y 的总分散程度。 n i 1,y ,1 n n,tss e1 ，不知x与y有关系时估计y的总 误差。,ess ,yi yi , ,2）剩余平方和：反映观测值 yi 偏离回 归线 y i 的程度。,n i 1,2,y

5、i 由回归直线 y a bx 确定 ess e2 ，知道x与y有关后，估计y所产 生的误差,rss ,yi y ,3）回归平方和：通过回归直线解释 掉的误差。,n i 1,2,n 2,x n 1,x 1,x n 2,3、统计量：, f 1, n 2,rss ess,f ,tss 2,2,rss 2,2,ess 2,2,如果 f f 拒绝 h 0 。,例：统计某城市家具销售额y（万元）与 新建住宅面积x（千平方米），得如下资 料：,年次,91,92,93,94,95,96,97,98,x y,116 129 137 146 144 165 182 198 104 115 124 131 132

6、145 158 172,建立回归方程，并进行f检验 0.05, x x y, y ,covx, y ,第四节 相关, ,一、相关系数 （线性相关） 1、协方差： i i n 1 表示x与y两变量观测值相对其各自均值 所造成的共同平均偏差。协方差的数量 可以作为变量线性相关程度的度量。, xi x yi y ,2、相关系数, ,相关系数就是标准化了的协方差，取值 范围：1,1 3、相关系数具有pre的性质, xi x yi y 2 2, ,pre ,tss ess rss, x x y y , x x y y ,2,l xx l yy,tss tss 2 2,i i,i i,e1 ( yi y

7、)2 tss e 2 ( yi y ) ess 2, ,r为相关系数；pre（ r2）系数为判定系数。 主意二者的区别？,1 ,4、相关系数的检验, ,h 1,h 0：p 0,： p 0,n 2 2,t ,tn 2,用 进行直接检验： 1）根据 公式计算样本的 值 2）给出显著性水平 和k=n-2，按附表查出相 应的临界相关系数 3）比较 与 的大小 如果 ，则x与y之间存在线性相关关系， 在显著性水平 下显著,例：以下是子代和父代受教育年限的抽 样调查：,求：回归直线、相关系数，是否有推论 意义？ 0.05,父代 子代,2 4,4 5,6 8,8 7,10 9,r n 2,1 r, ,5、相

8、关系数 的检验与回归系数 的 检验的关系： 如果通过了 的检验也必然导致 （f检 验）检验的通过。实际上，f公式与 r 公式有对应关系：,2,2,f ,f 1, n 2,r ,即：rss r tss,r tss,(1 r )tss,r,rss tss,2,2,2,2,2,(n 2),2 1 r,n 2,n 2,tss ess ess,f , ,6、相关与回归的比较 1）相同点：都是研究变量之间的非确定 性关系，而且都是研究其中的线性关 系。 2）不同点： 回归是研究变量之间的因果关系，但 相关不一定具有因果关系。 相关系数是双向对称的，回归直线是 非对称的。,第五节 用回归方程迚行预测,求y的区间估计值,e2,y2 a x2 ,yn a xn en,e1 , e2 en 相互独立。都服从相同的正态分 布 n 0, 2 ，则随机变量y的标准化：,y y s y,tn 2 服从自由度为n-2