第一专题 量化误差2.pptx

1、量化误差与有限字长效应,第六专题,前言,数字信号处理的实质：一组数值运算 从设计的角度来讨论：认为数字是无限精度的 从实现的角度考虑：数字的精度就是有限的 从设计时的无限精度到实现时的有限精度，会产生 相对于原设计系统的误差，严重时会导致系统崩溃。,有限字长的影响，主要表现在以下三方面,输入信号经A/D变换产生的量化误差,即A/D变换器将模拟输入信号变为一组离散电平时产生的量化误差。,滤波器的系数量化误差,数字运算过程中的有效字长效应,即把系统系数用有限二进制数表示时产生的量化误差。,数字运算过程中为限制位数而进行尾数处理、防止溢出而产生的有效字长效应。,前言,主要内容,数字运算过程中的有效字

2、长效应,滤波器的系数量化误差,输入信号经A/D变换产生的量化误差,总 结,定点数表示就是指小数点在数中的位置是固定不变的。 常用表达形式为： 其中，最高位为符号位，0为正，1为负，小数点紧跟在符号位后；数的本身只有小数部分，称为“尾数”；,数字运算中的有效字长效应,定点数的表示,十进制计算公式为：,式中， 为符号位； 为整数宽度，表示长度为 位； 表示小数宽度。,定点数在FPGA IP核中表示,十进制计算公式为,数字运算中的有效字长效应,定点数在FPGA IP 核中表示,数字运算中的有效字长效应,定点数在FPGA IP 核中表示,数字运算中的有效字长效应,定点数表示的缺点,定点数作加减法时结果

3、可能会 “溢出” 乘法运算不溢出，但字长要增加一倍。,例：b=3=0.101 0.011 101 101 0.001111,成为六位数，截尾变成0.001。产生误差。,数字运算中的有效字长效应,数据的二进制数采用定点表示动态范围小，有溢出，尾数处理会带来截尾或舍入误差。由此，在数字系统的计算中便会发生有限字长效应。,结 论,浮点数的表示,数码中小数点的位置是浮动的，b位二进制数分成指数部分和尾数部分。浮点数F可表示为:,:尾数，决定浮点的精度。,2C:指数，决定浮点数的动态范围 ：阶码,符号位,符号位，正数小数点往右移，负数往左移,数字运算中的有效字长效应,浮点数的表示,例1：F=0.1012

4、010=0.6254=2.5,数字运算中的有效字长效应,浮点数的表示,例2：若两个二进制浮点数 求 及,将 的阶码变成与 一样：,两数相加可得：,将两浮点数的阶码相加，小数部分相乘即可。 结果为,数字运算中的有效字长效应,浮点数在FPGA IP核中的表示,根据标准浮点数字长由一个符号位S、指数e和无符号(小数)的规格化尾数 m构成。 其格式如下图所示。,最常见的浮点数格式为IEEE 754标准。IEEE 754标准有：32位单精度浮点数、4位双精度浮点数及80位扩展双精度浮点数。,数字运算中的有效字长效应,浮点数在FPGA IP核中的表示,最高位为符号位,O表示正数,1表示负数。其后是用原码表

5、示的指数e,若指数为E位,则表示范围为: ,指数的偏移量下式表示：,指数表示移位数：,浮点数字长的代数表达式为：,数字运算中的有效字长效应,浮点数在FPGA IP核中的表示,例：此处以32位单精度浮点数（1，8，23）为例：,计算结果,符号位,数字运算中的有效字长效应,浮点数在FPGA IP核中的表示,数字运算中的有效字长效应,浮点数在FPGA IP核中的表示,数字运算中的有效字长效应,定点数：数据的二进制数采用定点表示动态范围小，有溢出，尾数处理会带来截尾或舍入误差。由此，在数字系统的计算中会发生有限字长效应。,浮点数：浮点表示法尾数的字长决定浮点表示的精度，因此在硬件中（如DSP、FPGA

6、）实现计算时，由于硬件资源的限制及计算速率的要求对尾数的处理也会带来截尾或舍入误差。由于浮点表示的阶码决定浮点数的动态范围，因此与定点相比，浮点有更大的动态范围，且不易溢出。,数字运算中的有效字长效应,结 论,小 结,综上所述，在数字运算中，数据的二进制数无论是由定点表示还是由浮点表示，由于硬件的资源及计算速率的要求，计算结果中均有截尾误差或舍入误差，即存在有效字长效应。除非我们以资源或速率换取高精度，否则截尾误差及舍入误差是难免的。,1 程佩青.数字信号处理教程(第三版).清华大学出版社.2007 2 陈后金.数字信号处理(第二版).高等教育出版社.2004,数字运算中的有效字长效应,主要内

7、容,数字运算过程中的有效字长效应,滤波器的系数量化误差,输入信号经A/D变换产生的量化误差,总 结,输入信号经A/D变换产生的量化误差,A/D转换器是一种将输入的模拟信号x(t)转换为b位二进制数字信号的器件。b的数值可以是8，12或高至20。它可以分为以下两部分： 采样：时间离散，幅度连续； 量化：数字编码，对采样序列作舍入或截尾处理，得有限字长数字信号 。 A/D变换器的功能原理图如下图所示。,A/D变换的工作原理,抽样,量化器,抽样 产生抽样序列x(n)x(t)|t=nTx(nT)， x(n)： 可看成是一个无限精度的数字信号 在满足抽样定理的前提下，模拟信号时间离散化的过程是可逆的。,

8、量化 对抽样序列进行幅度上的离散化之后，用某种格式的数字代码来表示。 量化过程是不可逆的 必定要引入量化误差或量化噪声。 量化噪声的大小决定了A/D转换器的动态范围，是恒量A/D转换器性能 的一个最重要指标。,量化误差的来源,输入信号经A/D变换产生的量化误差,A/D变换器的统计模型,实际采样时要精确地知道所有的量化误差e(n)是很困难的，一般情况下只要计算它的平均效应就可以了，所以用统计分析方法来分析量化误差的效应。,输入信号经A/D变换产生的量化误差,A/D变换器的统计模型,理想ADC,量化器相当于抽样序列与加性白噪声求和,输入信号经A/D变换产生的量化误差,抽样,量化器,x(n),e(n

9、),A/D变换器可建模为一个无限精度的数字信号 和量化误差 的叠加，即:,这时，我们常采用信噪比SNR来衡量量化效应：,其中， 表示信号功率， 表示噪声功率。,A/D变换器的误差计算,输入信号经A/D变换产生的量化误差,A/D变换器的误差计算,由此，可以计算误差为：,SNR用dB表示有：,输入信号经A/D变换产生的量化误差,信号功率 越大，信噪比越高； 字长越长，A/D变换的信噪比越高； 随着字长b的增加，信噪比也增大，字长b每增加一位，则信噪比增加约6dB。,输入信号经A/D变换产生的量化误差,结 论,在实际的信号处理中，输入信号的幅值往往会大于A/D变换器的动态范围，因此，需要将原有模拟输

10、入信号 压缩为 ， ，然后对其量化。由于 的实际方差为 ，所以信噪比为：,由于 ,压缩输入信号幅度将使SNR减小。,输入信号经A/D变换产生的量化误差,思 考,为了提高信噪比，是不是b越大越好呢？ b越大SNR越高，但芯片的复杂度越高； 输入信号本身也含有噪声n(t) 增加b，使量化噪声功率远小于信号本身携带的噪声功率即可，即：,输入信号经A/D变换产生的量化误差,小结,输入信号经A/D变换会产生量化误差。采用信噪比来估算量化误差的大小可知，提高A/D的量化信噪比的方法有： 增大输入信号 增加字长b,输入信号经A/D变换产生的量化误差,数字运算过程中的有效字长效应,滤波器的系数量化误差,输入信

11、号经A/D变换产生的量化误差,总 结,滤波器的系数量化误差,问题的提出,数字滤波器的系统函数可用下式表示： 理想滤波器系数 和 是无限精度的，但在硬件中实现时二者必须用有限位的二进制数存储在有限长的寄存器中，经过量化后的系数用 和 表示，则有,由滤波器系统函数的分母表达式进一步推导可知，量化误差的表达式为 （*） 基于此，若用三个相同的一阶IIR数字滤波器的级联结构来实现系统函数为 的数字滤波器，由于每个一阶极点都是相同的 ，为了使该系统稳定，由（*）式可得 ，即表示系数0.99只需用6位字长的二进制数表示即可。,滤波器的系数量化误差,由此可知，滤波器系数在硬件中实现时其长度不可能是无限精度的

12、，它会受到硬件资源的限制。而若对其进行量化则会产生截尾误差或量化误差，这一点是无可避免的，为了保持系统稳定，我们只能用有限字长来对滤波器系数以二进制表示。,滤波器系数量化效应除了与寄存器的字长有直接的关系外，还与滤波器的结构密切相关。高阶直接型结构滤波器的极点数目多而密集，而低阶直接型结构滤波器的极点数目少而稀疏，因而前者对系数量化误差要敏感得多12。,1 程佩青.数字信号处理教程(第三版).清华大学出版社.2007 2 桂志国，楼国红.数字信号处理.数字信号处理.2009,滤波器的系数量化误差,数字系统中的每一个数总是用有限字长的二进制数码表示， 运算过程中需要的数字信号的值、系统的系数和运算过程中的结果都是存储在有限字长的存储单元中的，此时数字的精度就是有限的，这就会使数值的二进制表示存在截尾误差或舍入误差。,浮点数具有更大的动态范围，取相同的尾数字长时，浮点运算的误差要比定点运算的误差小，因此在数值运算时尽量采用浮点运算。,为了减小A/D变换的量化误差，可以增大输入信号或增加字长，但若长到使A/D变换器的量化噪声比输入信号的噪声电平更低则没有意义