第5章_连续系统的s域分析.ppt

1、系统函数 第七章,Z变换 第六章,拉普拉斯 变换 第五章,傅里叶变换 第四章,离散时域 第三章,连续时域 第二章,绪论 第一章,状态变量 第八章,基本概念引导 核心内容,拓宽加深部分,信号与系统课程体系,第五章 连续系统的s域分析,主要内容,5.1.拉普拉斯变换: 一、从傅里叶变换到拉普拉斯变换 二、收敛域 三、单边拉普拉斯变换 5.2. 拉普拉斯变换的性质,5.3. 拉普拉斯逆变换 5.4.复频域分析 一、微分方程的变换解 二、系统函数 三、系统的s域框图 四、电路的s域模型 五、拉普拉斯变换与傅里叶变换,第五章 连续系统的s域分析,引言,引言,第五章 连续系统的s域分析,频域系统分析：零状

2、态响应：,时域信号分解：将任意信号f(t)分解为基本信号(冲激信号)之和。,零状态响应：,时域系统分析：,基本信号之和f(t)的零状态响应yzs 等于各项基本信号响应h(t)的加权和,频域信号分解：傅里叶变换(级数)将任意信号分解为无穷多项不同频率虚指数函数之和。,周期信号：,非周期信号：,等于将无穷多项基本信号分别作用于系统所得的响应取和。,(2)频域分析：只能求系统的零状态响应，给定初始状态的系统难以用频域分析方法。,引言,引言,第五章 连续系统的s域分析,本章引入复频率 s = +j，以复指数函数est为基本信号，任意信号可分解为不同复频率的复指数分量之和。 LTI系统的零状态响应等于输

3、入信号各分量引起响应的积分，且系统的零输入响应亦可求得。 这里用于系统分析的独立变量是复频率 s ，故称为s域分析。主要工具是拉普拉斯变换,频域分析方法存在的问题,(1)有些重要信号不存在傅里叶变换，,绝对可积条件：,如何解决？,一、从傅里叶变换到拉普拉斯变换,5.1 拉普拉斯变换,第五章 连续系统的s域分析,可用衰减因子e-t(为实常数）乘信号f(t) ，适当选取的值，使乘积信号f(t)e-t当t时信号幅度趋于0 ，使f(t) e-t的傅里叶变换存在。其傅里叶变换为：,信号的傅里叶变换,若信号不满足绝对可积条件，t时，幅度不衰减，,怎么办？,双边拉普拉斯变换(象函数),一、从傅里叶变换到拉普

4、拉斯变换,5.1 拉普拉斯变换,第五章 连续系统的s域分析,其傅里叶逆变换为,双边拉普拉斯逆变换(原函数),双边拉普拉斯变换(象函数),下面的问题是： 如何取值才能使f(t)e-t 的积分收敛？,二、收敛域,5.1 拉普拉斯变换,第五章 连续系统的s域分析,使 f(t)拉氏变换存在的的取值范围称为Fb(s)的收敛域。下举例说明,例5.1-1 因果信号f1(t)= et (t) ，求其拉普拉斯变换。,解：,收敛域：Res= (因果信号) 如图所示：,下面的问题是： 如何选择才能使f(t)e-t 的积分收敛？,5.1 拉普拉斯变换,第五章 连续系统的s域分析,例5.1-2 反因果信号 f2(t)=

5、 et(-t) ，求其拉普拉斯变换。,解：,二、收敛域,收敛域：Res= (反因果信号)。 如图所示：,5.1 拉普拉斯变换,第五章 连续系统的s域分析,二、收敛域,例3 双边信号,求其拉普拉斯变换。,解,其双边拉普拉斯变换 Fb(s)=Fb1(s)+Fb2(s),仅当时，其收敛域为 Res的一个带状区域，如图所示。,5.1 拉普拉斯变换,第五章 连续系统的s域分析,二、收敛域,例4 求下列信号的双边拉氏变换。 f1(t)= e-3t (t) + e-2t (t) f2(t)= e -3t (t) e-2t (t) f3(t)= e -3t (t) e-2t ( t),解：,Res= 2,Re

6、s= 3, 3 2,可见:象函数相同，但收敛域不同。双边拉氏变换必须标出收敛域。,5.1 拉普拉斯变换,第五章 连续系统的s域分析,三、单边拉普拉斯变换,通常遇到的信号都有初始时刻，不妨设其初始时刻为坐标原点。这样，t0时，f(t)=0(因果信号)。从而,其收敛域：Res 。本书主要讨论单边拉普拉斯变换。,简记为,或,单边拉普拉斯变换,5.1 拉普拉斯变换,第五章 连续系统的s域分析,四、常见函数的拉普拉斯变换,例5.1-3：求矩形脉冲的象函数,解：信号显然可积，其收敛域为Res,5.1 拉普拉斯变换,第五章 连续系统的s域分析,四、常见函数的拉普拉斯变换,5.1 拉普拉斯变换,第五章 连续系

7、统的s域分析,例：求复指数函数的象函数，,解：,即,若s0为虚数，得虚指数函数的拉普拉斯变换为：,若s0 0，得单位阶跃的拉普拉斯变换为：,四、常见函数的拉普拉斯变换,5.1 拉普拉斯变换,第五章 连续系统的s域分析,四、常见函数的拉普拉斯变换,例：求 的象函数,解：,5.1 拉普拉斯变换,第五章 连续系统的s域分析,四、常见函数的拉普拉斯变换,5.2 拉普拉斯变换的性质,第五章 连续系统的s域分析,主要内容,1.线性,2.尺度变换,3.时移特性,4.复频移特性,5.时域微分,6.时域积分,7.时域卷积,复频域卷积,8.复频域微分,复频域积分,9.初值定理,终值定理,5.2 拉普拉斯变换的性质

8、,第五章 连续系统的s域分析,一、线性,若,则,5.2 拉普拉斯变换的性质,第五章 连续系统的s域分析,二、尺度变换,若,则,5.2 拉普拉斯变换的性质,第五章 连续系统的s域分析,三、时移(延时)特性,若,则,与尺度变换相结合,例5.2-2：求矩形脉冲的象函数,解：,5.2 拉普拉斯变换的性质,第五章 连续系统的s域分析,三、时移(延时)特性,例5.2-3：求在t=0-时接入的周期单位冲激序列 的象函数,等比级数，当Res0,|e-Ts|1，该级数收敛，可得：,解：,5.2 拉普拉斯变换的性质,第五章 连续系统的s域分析,四、复频移(s域平移)特性,若,则,例5.2-4：,5.2 拉普拉斯变

9、换的性质,第五章 连续系统的s域分析,四、复频移(s域平移)特性,例5.2-5：,5.2 拉普拉斯变换的性质,第五章 连续系统的s域分析,五、时域微分特性,若,则,收敛域至少是,如果发f(t)是因果函数,则,例5.2-6：已知 的象函数为： 求： 的象函数。,5.2 拉普拉斯变换的性质,第五章 连续系统的s域分析,五、时域微分特性,解：,即,收敛域至少是 与 重叠部分,5.2 拉普拉斯变换的性质,第五章 连续系统的s域分析,六、时域积分特性,若,则,如果发f(t)是因果函数,则,自学p223-p225例题,例5.2-8：求 的象函数,5.2 拉普拉斯变换的性质,第五章 连续系统的s域分析,六、

10、时域积分特性,解：,5.2 拉普拉斯变换的性质,第五章 连续系统的s域分析,七、卷积定理,若,时域卷积定理,复频域卷积定理,较少应用,例5.2-10：已知某LTI系统的冲激响应 ，求输入 时的零状态响应。,解：,解：f(t)在第一个周期内的函数,5.2 拉普拉斯变换的性质,第五章 连续系统的s域分析,七、卷积定理,例5.2-9：如图所示为t=0时接入的周期性矩形脉冲f(t),求其象函数。,5.2 拉普拉斯变换的性质,第五章 连续系统的s域分析,八、s 域微分和积分,若,则,s域微分,s域积分,例5.2-11：,解：,5.2 拉普拉斯变换的性质,第五章 连续系统的s域分析,八、s 域微分和积分,

11、例5.2-12：,解：,S域积分性质,设函数f(t)不含(t)及其各阶导数，且 ，则,5.2 拉普拉斯变换的性质,第五章 连续系统的s域分析,九、初值定理和终值定理,初值定理和终值定理常用于由F(s)直接求f(0+)和f(），而不必求出原函数f(t),初值定理,终值定理,若f(t)当t 时存在，并且 ，则,5.2 拉普拉斯变换的性质,第五章 连续系统的s域分析,九、初值定理和终值定理,5.2 拉普拉斯变换的性质,第五章 连续系统的s域分析,小结,1.线性,2.尺度变换,3.时移特性,4.复频移特性,5.时域微分,6.时域积分,7.时域卷积,8.复频域微分,复频域积分,9.初值定理,终值定理,5

12、.3 拉普拉斯逆变换,第五章 连续系统的s域分析,引言,复变函数积分， 比较困难。,如何求解原函数？ F(s)f(t)？,定义,解：分母多项式的根(极点)为:,查表: 编号2-12,一、 查表法求拉普拉斯反变换(附录五),例5.3-1 求 的原函数f(t),怎么办？,5.3 拉普拉斯逆变换,第五章 连续系统的s域分析,引言,若象函数F(s)是s的有理分式,若mn，可用多项式除法将象函数F(s)分解为有理多项式P(s)与有理真分式之和。,二、部分分式展开法,有理多项式P(s)部分： 由冲激函数及其各阶导数构成。,B(s)的幂次小于A(s)的幂次，,例如,5.3 拉普拉斯逆变换,第五章 连续系统的

13、s域分析,部分分式展开法,有理真分式：若F(s)是s的实系数有理真分式(mn)，即：,特征多项式：分母多项式A(s) 称为F(s)的特征多项式； 特征方程：方程A(s)=0称为特征方程； 特征根： A(s)=0的根，也称为F(s)的固有频率(或自然频率)； 极点：特征方程的n个特征根si(i=1,2,n)称为F(s)的极点； 零点：B(s)=0的根称为F(s)的零点；,特征根有多种情况：实根？复根？单根？重根？,5.3 拉普拉斯逆变换,第五章 连续系统的s域分析,部分分式展开法单极点,1.F(s)有单极点：特征根为单根,其中,另外，由于,例5.3-3：求 的原函数f(t).,5.3 拉普拉斯逆

14、变换,第五章 连续系统的s域分析,部分分式展开法单极点,解：象函数的分母多项式,5.3 拉普拉斯逆变换,第五章 连续系统的s域分析,部分分式展开法共轭单极点,2.共轭单极点（特征根为共轭单根） 实系数方程 A(s)=0 若有复数根，则必成对出现(s1,2= j),例：5.3-4 求 的原函数f(t),解：,5.3 拉普拉斯逆变换,第五章 连续系统的s域分析,部分分式展开法共轭单极点,2.共轭单极点（特征根为共轭单根） 实系数方程 A(s)=0 若有复数根，则必成对出现(s1,2= j),5.3 拉普拉斯逆变换,第五章 连续系统的s域分析,部分分式展开法共轭单极点,例：求象函数的原函数。,解：A

15、(s)=0共有6个单根：,5.3 拉普拉斯逆变换,第五章 连续系统的s域分析,部分分式展开法重极点,3.F(s)有重极点(特征根为重根),若A(s) = 0在s = s1处有r重根，,解：A(s)=0有三重根，和单根,5.3 拉普拉斯逆变换,第五章 连续系统的s域分析,部分分式展开法重极点,例：求象函数的原函数。,5.3 拉普拉斯逆变换,第五章 连续系统的s域分析,部分分式展开法,3.重极点,1.单极点,2.共轭单极点,5.4 复频域分析,第五章 连续系统的s域分析,主要内容,1.微分方程的变换解,2.系统函数,3.系统的s域框图,4.电路的s域框图,5.拉普拉斯变换与傅里叶变换,5.4 复频

16、域分析,第五章 连续系统的s域分析,一、微分方程的变换解,描述n阶系统的微分方程的一般形式为：,系统的初始状态为：y(0-) ,y(1)(0-),，y(n-1) (0-),两端拉氏变换，由微分特性：,若f (t)在t = 0时接入系统，则,Yzi(s),Yzs(s),代数方程,取反变换:y(t)=yzi(t)+yzs(t),已知输入 初始状态,求系统的零状态响应、零输入响应和全响应,5.4 复频域分析,第五章 连续系统的s域分析,一、微分方程的变换解,解：对方程两边进行拉氏变换,例5.4-1：描述某LTI连续系统的微分方程为：,5.4 复频域分析,第五章 连续系统的s域分析,一、微分方程的变换

17、解,已知：,5.4 复频域分析,第五章 连续系统的s域分析,一、微分方程的变换解,零状态响应,输入为零,5.4 复频域分析,第五章 连续系统的s域分析,一、微分方程的变换解,解：,由例5.4-1,已知,5.4 复频域分析,第五章 连续系统的s域分析,一、微分方程的变换解,解：,先求其零状态响应，对方程两边进行拉氏变换,已知输入 求系统的零状态响应和零输入响应。,例5.4-3：描述LTI系统的微分方程为,5.4 复频域分析,第五章 连续系统的s域分析,一、微分方程的变换解,设零输入响应为,代入初始值得：,所以，,由已知：,解法一同例5.4-1,解法二,5.4 复频域分析,第五章 连续系统的s域分

18、析,二、系统函数,N阶LTI系统的微分方程为：,其零状态响应：,系统函数定义为：,它只与系统的结构、元件参数有关，而与激励、初始状态无关。,yzs(t)= h(t)*f (t),H(s)= L h(t),Yzs(s)= L h(t)F(s),5.4 复频域分析,第五章 连续系统的s域分析,二、系统函数,例5.4-6：已知 时，某LTI系统零状态响应为,解：,求该系统的冲激响应和描述该系统的微分方程。,微分方程可写为：,5.4 复频域分析,第五章 连续系统的s域分析,三、系统的s域框图,时域框图和 s 域框图,5.4 复频域分析,第五章 连续系统的s域分析,三、系统的s域框图,加法器,数乘器,5

19、.4 复频域分析,第五章 连续系统的s域分析,三、系统的s域框图,积分器（零状态）,积分器（非零状态）,5.4 复频域分析,第五章 连续系统的s域分析,三、系统的s域框图,时域框图基本单元,s域框图基本单元,积分器 零状态,加法器,数乘器,5.4 复频域分析,第五章 连续系统的s域分析,三、系统的s域框图,例5.4-7：某LTI系统时域框图如下，已知输入 ，求冲激响应和零状态响应。,解：零状态下，画出系统的s域框图,则s域方程为：,按左右两端的加法器列出s域方程：,左端加法器,右端加法器,5.4 复频域分析,第五章 连续系统的s域分析,三、系统的s域框图,5.4 复频域分析,第五章 连续系统的s域分析,三、系统的s域框图,例5.4-8：已知上例系统初始状态为，求系统的零输入响应。,解：由上例已知：,所以零输入响应应该满足：,取拉氏变换：,则零输入响应为：,5.4 复频域分析,第五章 连续系统的s域分析,三、系统的s域框图,例5.4-9：已知 当 时，全响应,解：,当 时，全响应,当 时，求系统的全响应。,5.4 复频域分析,第五章 连续