第3章 平稳性与功率谱密度.ppt

1、随机信号分析,电气学院 电子工程系 林霏 ,2,有一类极为重要的随机信号，它的主要（或全部）统计特性关于参量保持“稳定不变”，这种随机信号被称为平稳随机信号。 本章讨论： 1）严格与广义平稳性；循环平稳性； 2）平稳信号相关函数的特性；有关物理意义； 3）平稳信号的功率谱密度与互功率谱密度； 4）白噪声及其实例热噪声,第3章 平稳性与功率谱密度,3,3.1 平稳性与联合平稳性 3.2 循环平稳性 3.3 平稳信号的相关函数 3.4 功率谱密度与互功率谱密度 3.5 白噪声与热噪声 3.6 应用举例,第3章 平稳性与功率谱密度,4,平稳性（Stationarity）: 随机信号的主要（或全部）统

2、计特性对于参量t保持不变的特性。 包括严格平稳性与广义平稳性。,3.1 平稳性与联合平稳性,5,一 平稳随机过程,1 严平稳随机过程,(1) 定义,如果对于任意的n和 ，随机过程 X(t)的 N 维概率密度满足：,则称X(t) 为严平稳（或狭义）随机过程 。,3.1.1 严格与广义平稳信号,6,(2) 一、二维概率密度及数学特征,严平稳随机过程的一维概率密度与时间无关,3.1.1 严格与广义平稳信号,7,严平稳随机过程的二维概率密度只与 t1, t2的时间间隔有关，而与时间起点无关,3.1.1 严格与广义平稳信号,8,(3)严平稳的判断,按照严平稳的定义，判断一个随机过程是否为严平稳，需要知道

3、其n维概率密度，可是求n维概率密度是比较困难的。不过，如果有一个反例，就可以判断某随机过程不是严平稳的，具体方法有两个：,(1) 若X(t)为严平稳，k为任意正整数，则 与时间t无关。,(2) 若X(t)为严平稳，则对于任一时刻t0， X(t0)具有相同的统计特性。,3.1.1 严格与广义平稳信号,9,2 宽平稳随机过程,若随机过程 X(t)满足,则称X(t)为宽平稳或广义平稳随机过程。,严平稳与宽平稳的关系：严平稳过程的均方值有界，则此过程为宽平稳的，反之不成立。对于正态过程，严平稳与宽平稳等价。,3.1.1 严格与广义平稳信号,10,3.1.1 严格与广义平稳信号,11,3.1.1 严格与

4、广义平稳信号,12,平稳性是随机信号的统计特性对参量（组）的移动不变性，即平稳随机信号的测试不受观察时刻的影响； 应用与研究最多的平稳信号是广义平稳信号； 严格平稳性因要求太“苛刻”，更多地用于理论研究中； 经验判据：如果产生与影响随机信号的主要物理条件不随时间而改变，那么通常可以认为此信号是平稳的。 非平稳信号：当统计特性变化比较缓慢时，在一个较短的时段内，非平稳信号可近似为平稳信号来处理。如语音信号，人们普遍实施1030ms的分帧，再采用平稳信号的处理技术解决有关问题。,3.1.1 严格与广义平稳信号,13,3.1.1 严格与广义平稳信号,14,3.1.1 严格与广义平稳信号,15,3.1

5、.1 严格与广义平稳信号,16,解：根据各个信号的均值、相关函数与概率特性,容易得出： (1)伯努利信号是严格平稳信号，也是广义平稳信号； (2)随机正弦信号（该例条件下）是广义平稳信号； (3)半随机二进制传输信号与泊松信号是非平稳的。,3.1.1 严格与广义平稳信号,17,3.1.1 严格与广义平稳信号,18,3.1.1 严格与广义平稳信号,19,3.1.2 联合平稳性,20,3.1.2 联合平稳性,21,3.1 平稳性与联合平稳性 3.2 循环平稳性 3.3 平稳信号的相关函数 3.4 功率谱密度与互功率谱密度 3.5 白噪声与热噪声 3.6 应用举例,第3章 平稳性与功率谱密度,目录,

6、22,3.3.1 基本性质,23,3.3.1 基本性质,24,3.3.1 基本性质,25,3.3.1 基本性质,26,3.3.1 基本性质,27,3.3.1 基本性质,28,3.3.2 物理意义,29,3.3.2 物理意义,30,3.3.2 物理意义,31,3.3.2 物理意义,32,三、相关系数及相关时间,相关系数：,也称为归一化协方差函数或标准协方差函数。,相关时间：,相关时间示意图,3.3.2 物理意义,33,两个不同相关时间随机过程的样本函数,3.3.2 物理意义,34,3.4 功率谱密度与互功率谱密度,信号有两种类型： 1）能量型信号的能量有限，功率为0； 2）功率型信号的功率有限，

7、能量为无穷。 希望考察信号的能量或功率沿轴的密度状况，即，考虑给定频率处，单位带宽上所具有的能量或功率,35,频谱：,能谱密度：信号的能量按频率分布的情况,信号的 总能量,复 习,3.4 功率谱密度与互功率谱密度,36,随机过程的样本函数及其截尾函数,截取函数：,时间平均功率,功率谱密度：信号的平均功率按频率分布的情况,一、随机过程的功率谱密度,3.4.1 基本概念,37,时间平均功率,功率谱密度：信号的平均功率按频率分布的情况,随机过程的功率谱密度：,随机过程的平均功率,3.4.1 基本概念,38,平稳随机过程：,维纳辛钦定理,傅里叶 变换对,3.4.1 基本概念,39,3.4.2 定义与性

8、质,40,例题：,3.4.2 定义与性质,41,例题：,3.4.2 定义与性质,信号功率全部集中在频率0处。,42,求上例中的平均功率？,例题：,3.4.2 定义与性质,43,与确定信号不同的是，随机信号的频域分析主要是考察它的功率谱，而非信号谱。,3.4.2 定义与性质,44,3.4.2 定义与性质,45,45,例：平稳随机过程的自相关函数为 ，A0， ，求过程的功率谱密度。,解：应将积分按 和 分成两部分进行,46,3.4.2 定义与性质,47,3.4.2 定义与性质,48,3.4.2 定义与性质,物理谱,49,1.互功率谱密度,3.4.2 定义与性质,50,50,二、互谱密度和互相关函数

9、的关系,3.4.2 定义与性质,若X(t)、Y(t)各自平稳且联合平稳，则有,即,结论：对于两个联合平稳(至少是广义联合平稳)的实随机过程，它们的互谱密度与其互相关函数互为傅里叶变换。,51,51,三、互谱密度的性质,性质1：,证明：,（令 ）,3.4.2 定义与性质,52,52,性质2：,证明：,（令 ）,同理可证,3.4.2 定义与性质,53,53,性质3：,证明：类似性质2证明。,性质4：,若X(t)与Y(t)正交，则有,证明：若X(t)与Y(t)正交，则,所以,3.4.2 定义与性质,54,54,性质5：,若X(t)与Y(t)不相关，X(t)、Y(t)分别具有常数均值 和 ，则,证明：

10、,因为X(t)与Y(t)不相关，所以,（ ）,3.4.2 定义与性质,55,55,3.4.2 定义与性质,解：,56,3.4.2 定义与性质,57,3.4.2 定义与性质,58,3.4.2 定义与性质,59,59,3.5 白噪声与热噪声,3.5.1 白噪声,60,60,自相关函数为,自相关系数为,3.5.1 白噪声,61,61,总结：,（1）白噪声只是一种理想化的模型，是不存在的。,（3）白噪声在数学处理上具有简单、方便等优点。,3.5.1 白噪声,62,带限白噪声,实际信道或滤波器的带宽存在一定限制，白噪声通过后，其结果是带限噪声。若其谱密度在通带范围内仍具有白色特征，则称其为带限白噪声。

11、低通白噪声：如果白噪声通过理想矩形的低通滤波器或理想低通信道，则输出的噪声称为低通白噪声； 带通白噪声：如果白噪声通过理想矩形的带通滤波器或理想带通信道，则输出的噪声称为带通白噪声。,3.5.1 白噪声,63,若白噪声的每个随机变量都服从高斯分布，则称它为高斯白噪声（WGN, White Gaussian noise）。它也是独立信号，代表着信号“随机性”的一种极限。,3.5.1 白噪声,64,3.5.1 白噪声,65,3.6 应用举例,66,3.6 应用举例,67,3.6 应用举例,68,3.6 应用举例,69,3.6 应用举例,70,3.6 应用举例,71,3.6 应用举例,72,3.6 应用举例,73,3.6 应用举例,74,3.6 应用举例,75,3.6 应用举例,76,3.6