上海交通大学历年概率统计试卷

1、上海交通大学上海交通大学 概率论与数理统计试卷2004-01 姓名姓名: :班级班级: :学号学号: :得分得分: : 一判断题一判断题（10 分，每题 2 分） 1. . 在古典概型的随机试验中，P(A) 0当且仅当A是不可能事件 ( ) 2连续型随机变量的密度函数f (x)与其分布函数F(x)相互唯一确定 ( ) 3若随机变量X与Y独立，且都服从p 0.1的 (0，1) 分布，则X Y ( ) 4 设X为离散型随机变量, 且存在正数k使得P( X k) 0， 则X的数学期望 E(X)未必存在( ) 5在一个确定的假设检验中，当样本容量确定时, 犯第一类错误的概率与犯第 二类错误的概率不能同

2、时减少 ( ) 二选择题二选择题（15 分，每题 3 分） 1. 设每次试验成功的概率为p(0 p 1)，重复进行试验直到第n次才取 得r(1 r n)次成功的概率为. . r1rnrrr(a)C n ； (b)C n p (1 p)nr； 1 p (1 p) rnrr1r1nr1p (1 p)(c)C n ； (d). .p(1 p) 1 2. . 离散型随机变量X的分布函数为F(x)，则P(X x k ) . . ()P(x k1 X x k )； ()F(x k1 ) F(x k1 )； ()P(x k1 X x k1 )； ()F(x k ) F(x k1 ). . 3. 设随机变量X

3、服从指数分布，则随机变量Y max (X , 2003)的分布函 数. . () 是连续函数； () 恰好有一个间断点； () 是阶梯函数； () 至少有两个间断点. . 1 / 60 4. . 设随机变量(X ,Y)的方差D( X) 4, D(Y) 1,相关系数 XY 0.6,则 方差D(3X 2Y) . . () 40； () 34； () 25.6； () 17.6 5. . 设( X 1 , X 2 , X n )为总体N(1, 22)的一个样本，X为样本均值，则下列结 论中正确的是. . 1n t(n)； () (X i 1)2 F(n,1)；() 4 i1 2/n X 1 1n N

4、(0,1)； () (X i 1)22(n). .() 4 i1 2 /n X 1 二二. . 填空题填空题（28 分，每题 4 分） 1. 一批电子元件共有 100 个, 次品率为 0.05. . 连续两次不放回地从中任取 一个, 则第二次才取到正品的概率为 2. 设连续随机变量的密度函数为f (x)，则随机变量Y 3eX的概率密度函数 为f Y (y) 3. . 设X为总体X N(3,4)中抽取的样本(X 1 , X 2 , X 3 , X 4 )的均值, 则 P(1 X 5). . 4. 设二维随机变量(X ,Y)的联合密度函数为 1,y x, 0 x 1; f (x, y) 其 他 0

5、, 则条件密度函数为,当时 ,f Y X (y x) 5. . 设X t(m ),则随机变量Y X2服从的分布为 ( 需写出自由度 ) 6. . 设某种保险丝熔化时间X N(,2)（单位：秒） ，取n 16的样本，得 样本均值和方差分别为X 15, S2 0.36，则的置信度为 95%的单侧 置信区间上限为 2 / 60 7. . 设X的分布律为 X 1 2 3 P 2 2(1)(1)2 已知一个样本值(x 1 ,x 2 , x 3 ) ( 1, 2,1)，则参数的极大似然估计值 为 三三. . 计算题计算题（40 分，每题 8 分） 1. 已知一批产品中 96 %是合格品. 检查产品时，一合

6、格品被误认为是次品的 概率是 0.02；一次品被误认为是合格品的概率是 0.05求在被检查后认 为是合格品的产品确实是合格品的概率 2设随机变量X与Y相互独立，X，Y分别服从参数为,()的指数 分布，试求Z 3X 2Y的密度函数f Z (z). . 3某商店出售某种贵重商品. . 根据经验，该商品每周销售量服从参数为1 的泊松分布. .假定各周的销售量是相互独立的. .用中心极限定理计算该 商店一年内（52 周）售出该商品件数在 50 件到 70 件之间的概率. . 4. 总体X N(,2)，( X 1 , X 2 , X n )为总体X的一个样本. . 求常数k, 使kX i X为的无偏估计

7、量. . i1 n 5 （1） 根据长期的经验，某工厂生产的特种金属丝的折断力X N(,2) （单位：kg）. .已知 8 kg， 现从该厂生产的一大批特种金属丝中 随机抽取 10 个样品，测得样本均值x 575.2 kg. .问这批特种金属丝的 平均折断力可否认为是 570 kg ？ （ 5%） （2） 已知维尼纶纤度在正常条件下服从正态分布N(, 0.0482). 某日抽取 5 个样品，测得其纤度为: : 1.31， 1.55， 1.34， 1.40， 1.45 . . 问 这天的纤度的总体方差是否正常？试用10%作假设检验. . 3 / 60 四四. . 证明题证明题（7 分） 设随机变

8、量X ,Y ,Z相互独立且服从同一贝努利分布B(1, p). . 试证明随机 变量X Y与Z相互独立. . 附表： 标准正态分布数值表 2 分布数值表 t 分布数值表 (0.28) 0.61032 0.05 (4) 9.488t 0.025 (15) 2.1315 (1.96) 0.9752 0.95 (4) 0.711t 0.05 (15) 1.7531 (2.0) 0.9772 2 0.05 (5) 11.071t 0.025 (16) 2.1199 (2.5) 0.9938 2 0.95 (5) 1.145t 0.05 (16) 1.7459 概概 率率 统统 计计 试试 卷卷 参参 考

9、考 答答 案案 一.判断题（10 分，每题 2 分）是非非非是 . . 二.选择题（15 分，每题 3 分）（） （） （） （） （）. . 三. 填空题（28 分，每题 4 分） 1.1/22 ；2. f 1 y fln(y/3) 0 Y (y) y 0y 0 ；3.0.9772 ； 4.当0 x 1时f 1/(2x) y x Y X (y x) x 0其他 ； 5.F(1,m)6.上限为 15.263 . .7.5 / 6 . . 四. 计算题（40 分，每题 8 分） 1. 1.A被查后认为是合格品的事件，B抽查的产品为合格品的事件. . P(A) P(B)P(A B) P(B)P(A

10、B) 0.960.98 0.040.05 0.9428， P(B A) P(B)P(A B)/P(A) 0.9408/0.9428 0.998. ex 2. 2. f x 0 yy 0 X (x) e 0其他 f Y (y) 0其他 4 / 60 (2 分) (4 分) (2 分) (1 分) z 0时，F Z (z) 0，从而f Z (z) 0； (1 分) z 0时，f Z (z) 所以 1 2 z /3 0 f X (x) f Y (z 3x)/2dx(2 分) 1 2 ex(zx)/ 2dx (ez /3ez / 2) (2 分) 3 2 (ez /3ez / 2), f Z (z)

11、3 2 z 0 0,z 0 (ez / 2ez /3 f ),z 0 Z (z) 2 3 0,z 0 3. 3. 设 X i 为第 i 周的销售量,i 1,2,52 X i P(1 ) 则一年的销售量为Y 52 X i ，E(Y) 52,D(Y) 52. . i1 由独立同分布的中心极限定理，所求概率为 P(50Y 70) P 2 52 Y 52 52 18 52 18 52 2 52 1 (2.50) (0.28) 1 0.9938 0.61031 0.6041. . 4. 4. 注意到 X 1 i X n X 1 X 2 (n1)X i X n E(X X) 0,D(X n 1 2 ii

12、X) n X X N 0, n 1 2 i z2 E(| X 1 n 2 n12 i X |) n | z |edz 2 n1 n z2 2 n1 2 2 n 0 z 1 dz 2n1 2 n1 e 2n n nn n E k |X i X| k E|X kn 2 i X| 2n1 令 i1 i1 5 / 60 (2 分) (1 分) (2 分) (4 分) (1 分) (2分) (1分) (3分) 5. 5. (1)要检验的假设为 H 0 : 570, H 1 : 570 (1 分) k 检验用的统计量 U 2n(n1) （2分） X 0 /n N (0,1)， 拒绝域为 U z (n1)

13、z0.025 1.96. (2 分) 2 U 575.2570 0 8/ 10 0.65 10 2.06 1.96，落在拒绝域内， 故拒绝原假设H 0 ，即不能认为平均折断力为570 kg . . U 0 571569.2 9/ 10 0.2 10 0.632 1.96, 落在拒绝域外， 故接受原假设H 0 ，即可以认为平均折断力为571 kg . . (2) 要检验的假设为H 2222 0 : 0.048, H 1 : 0.048 H 2222 0 : 0.79, H 1 : 0.79 5 (X i X)2 检验用的统计量 2 i12 2 (n1)， 0 拒绝域为 22n 1) 2 (0.0

14、5 (4) 9.488或 222 1(n1) 0.95 (4) 0.711 2 x 1.41 x 1.49 2 0 0.0362 /0.0023 15.739 9.488, , 落在拒绝域内， 2 0 0.0538/0.6241 0.086 0.711,落在拒绝域内， 故拒绝原假设H 0 ，即认为该天的纤度的总体方差不正常 . . 五、证明题(7 分)由题设知 X0 1X Y012 PqpPq22pqp2 P(X Y 0, Z 0) q3 P(X Y 0)P(Z 0)； 6 / 60 (1 分) (1 分) (2 分) (1 分) (2 分) P(X Y 0, Z 1) pq2 P(X Y 0

15、)P(Z 1)； P(X Y 1, Z 0) 2pq P(X Y 1)P(Z 0)； P(X Y 1, Z 1) 2pq P(X Y 1)P(Z 1)； P(X Y 2, Z 0) pq P(X Y 2)P(Z 0)； P(X Y 2, Z 1) p P(X Y 2)P(Z 1). . 3 2 2 2 所以X Y与Z相互独立. . 7 / 60 (5 分) g 上海交通大学试卷（ A 卷） （ 2007至 2008学年 第 1 学期 ） 班级号_学号_姓名 课程名称概率论与数理统计（A 类）成绩 一一是非题（请填写是或非。共是非题（请填写是或非。共 6 6 分，每题分，每题 1 1 分）分）

16、1 若随机事件A与B独立，A与C独立， 则A与BC必独立。（） 2 若概率P(X 2008) 0.109， 则X不可能是连续型随机变量。（） 3 等 边 三 角 形 域 上 的 二 维 均 匀 分 布 的 边 缘 分 布 不 是 均 匀 分 布 。 （） 4 若P( Xa， 则 随 机 变 量X的 数 学 期 望E(X)一 定 不 小 于 数 a 。) 1 （） 5总体均值 （） 6 假 设 检 验 中 犯 第 二 类 错 误 的 概 率 是 指 P( 接受H 1 H 1为伪 ) 。 （） 二二填空题（共填空题（共 1515 分，每题分，每题 3 3 分）分） 7设随机变量X服从（1，3）上的

17、均匀分布，则随机因变量Y ln X的概率密度函数 为 fY(y) 。 8设随机变量X与Y相互独立，且都服从参数p 0.3的(0 1)分布，则函数 的置信区间上限比样本观测值(x1,x2, ,x n )中的任一x i 都要大。 Z maxX ,Y 的分布律为 。 9 对某一目标连续射击直至命中3 次为止。 设每次射击的命中率为0.6， 消耗的子弹数为X， 则E(X) _，D(X) _。 10设 E(X), D(X) , 由切比雪夫不等式知, P( X 10)的取值区 2 间为与之间。 8 / 60 11 设 （ X 1, 3 2 6 , X 9 ） 是 来 自 正 态 分 布N(0,1)的 简

18、单 随 机 样 本 ， 2 9 Y (X i ) (X i ) (X i )2。 i1i4i7 当k时， kY服从 分布，E(Y) _ , D(Y) _。 2 我承诺，我承诺， 我将严我将严 格遵守考试纪律。格遵守考试纪律。 题号 得分 批阅人 一二三17-2021-2324总分 三三选择题（共选择题（共 1515 分，每题分，每题 3 3 分）分） 12设随机事件A,B满足P(B) P(B A).，则下面结论正确的是。 （）P(AB) P(A)P(B)；（）P(AB) P(A)P(B)； （）P(B| A) P(A)；（）P(A| B) P(A)。 13设X N(a, b)，分布函数为F(x

19、)，则对任意实数c，有。 （）F(ac) F(ac) 0；（）F(ca) F(ca) 0； （）F(a c) F(a c) 1；（）F(ca) F(ca) 1。 14设随机变量X与Y的二阶矩都存在且独立同分布，记 X Y， X Y,则与 。 （）相互不独立；（）相互独立； （）相关系数不为零；（）相关系数为零。 x 15设X 1 , X n ,为独立随机变量序列，X i (i 1,2,)的密度函数是f Xi (x) e, x 0; f Xi (x) 0, x 0 ( 0)，(x)为标准正态分布函数，则下列选项中正确的 是。 nn （）limP n X i n i1 n x(x)； （）limP

20、i1 n X n i n/ 2n/ x(x)； （）limP i1 n X n i 1/ 21/ x(x)； （）limP n X i n i1 n x(x)。 9 / 60 16设总体X E()，即密度函数 ex,x 0 f (x) ，参数0且已知， x 0 0, ( X 1, X2 , 2 , X n )为X的样本，则统计量2nX服从的分布是 。 2 （） (n)； （）(2n)；（）t (n )；（）t (2 n )。 四四计算题计算题 ( ( 共共 5656 分分, , 每题每题 8 8 分分) ) 17 已知某油田钻井队打的井出油的概率为0.08， 而出油的井恰位于有储油地质结构位置

21、上 的概率为 0.85， 而不出油的井位于有储油地质结构位置上的概率为0.45。求钻井队 1） 在有储油地质结构位置上打井的概率； 2） 在有储油地质结构位置上打的井出油的概率。 18已知随机变量（X,Y）的联合分布律， 1）求Z X Y的分布律； 2）在Z 2的条件下求X的条件分布律。 10 / 60 Y X 1 1/10 1/5 2 1/2 1/5 0 1 19 设随机变量X,Y为区间0,1上任意取的两个数， 求Z X Y的分布函数与密度函数。 20国家宏观调控政策后，沧源路上某房地产中介公司每周卖出的住房套数服从参数为 0.5的 Poisson 分布，试用中心极限定理估计该房产中介一年（

22、52 周）能卖出 20 到 30 套住房的概率。 11 / 60 e(x), 21 设总体X的密度函数为 f (x;) 0, 参数， x ， 其中, 0为未知 x X 1, , X n 为取之总体X的一个样本。求参数,的矩估计量与极大似然估计量。 22设总体X N(, )，设X 1, 2, X n , X n1 为其容量为n1的样本，引入统计量 n 2 U c X n1 X i i1 ， 试确定常数c使得U为的无偏估计量。 12 / 60 2 23据历史记载，上海 1 月份的平均最低气温为0.3 C，最近几年的上海 1 月份的平均最 低气温如下： 2001 38 o 2002 40 2003

23、07 2004 22 2005 10 2006 35 2007 31 (单位:C；数据来源: 天气在线)，试据此数据检验上海气候有无变暖？( 0.05) 五证明题五证明题 ( (本题本题 8 8 分分) ) 24设X t(n)，t(n)为 试证明： （1）Y X 附表： 标准正态分布数值表 分布数值表t 分布数值表 21 2. 5 9(0.78) 0.7823 0 2t 0.05 (6) 1.9432 . 0(56 ) 21. 6 3 5t 0 . 0(57 ) 1. 8 9 4 6 (0.87) 0.8078 0 . 9(56 ) 21 4. 0 6(1.18) 0.8810 0 7t 0.

24、025 (6) 2.4469 . 0(57 ) t 分布的上分位点，F (n,m) 为 F 分布的上 F (1， n)； （2）t1 /2 (n) F (1, n). 2 分位点。 2 2 13 / 60 2(7) 2.167t0.025(7) 2.3646(1.20) 0.8849 0.95 概率统计概率统计(A(A 类类) )试卷试卷 A A (评分标准) 2008.1.9 一一 是非题（是非题（6 6 分，每题分，每题 1 1 分）分）非是是是非非 e y/2, 0yln3 二二 填空题填空题 （1515分，分， 每题每题3 3分）分） 7. f Y (y) ；8. 其 他 0, 9.

25、10 0.490.51 ； 5，10/3 ；10. 0与0.01之间； 11. 1/3，9， 54. . 三三 选择题（选择题（1515 分，每题分，每题 3 3 分）分）bcdab 四四. . 计算题（计算题（5656 分，每题分，每题 8 8 分）分） 17设事件A打的井位于有储油地质结构位置上, B 打的井出油. 则P(B) 0.08，P(A B) 0.85，P(A B) 0.45.( 2 分) 1）由全概率公式 P(A) P(B)P(A B) P(B)P(A B) 0.080.850.920.45 0.482.( 3 分) 2) 由贝叶斯公式得所求概率为 P(B A) 181）Z X

26、Y P(AB) P(B)P(A B)68 0.141. ( 3 分) P(A)482P(A) 3 ；( 3 分) 1/107/101/5 P(X k,Z 2)5 P(X k,Z 2),k 1,2. ( 2 分) P(Z 2)4 12 2) P(X k Z 2) P(X 1,Z 2) P(X 1,X Y 2) P(X 1,Y 1) P(X 1,Y 0) P(X 1,Y 1) P(X 1,Y 1) 3/10 条件分布律为 533515 P(X 1 Z 2) ,P( X 2 Z 2 ). ( 3 分) 4108428 19(X,Y)的联合密度为f (x, y) 1, 0, x0,1,y0,1; 其他

27、 ，( 1 分) Z上的分界点为1, 0,1.分布函数为F Z (z) P(X Y z) 14 / 60 xyz f (x, y)dxdy z 1时F Z (z) 0；z 1时F Z (z) 1； ( 1 分) 1 z 0时，F Z (z) 1z 0 dx 1 dy (1 z)2；( 2 分) xz 2 1 1z2 0 z 1时，F Z (z) dxdy dxdy z .( 2 00zxz 22 z111 分) 0, 1 (1z)2, F Z (z)2 1 1 (1z)2, 2 1, 分) z 1; 1 z 0; 1z, f Z (z)1z, 0, 0 z 1; z 1 1 z 0; 0 z

28、1; ( 2 其他 “第i周卖出的房子数”，i=1,.,52，易知X 1, 20令X i 52 , X 52 独立同分布。 近似 i 由中心极限定理，该房产中介一年卖出的房子总数X 分) 从而 XN(26,26) ( 4 i1 P(20 X 30) P( 2026X 263026 ) ( 4262626 (0.78)(1.18) 0.78230.88101 0.6633 分) 21 （1）矩法估计( 4 分)：易知Y X 服从参数为的指数分布，从而 E(X ) D(X ) 1 1 EX 1 X 1 2 EX2 2 ( 1 1 n1 (X i X)2 n i1 n1 n )2 X i 2 1 X

29、 n i1 (X i X)2 n i1 ,x n ，则似然函数为 n （2）极大似然估计( 4 分)：设样本观测值为x 1, L(,) e(xi), x i i1 n ln L(,) ln(x ) nln(x ) ii i1i1 n 15 / 60 lnL(,) nn (x i ) 0 i1 lnL(,) n 0 易知L(,)关于的单增函数，要使L(,)极大，要尽可能地大，故 minX 1 1, ,X n: X(1) ， 1 为所求极大似然估计量. n n (X i X (1) ) i1 22EU c n E(X 2 n n1 X i ) c 1 X i ) 2n2c 2 i1 D(X n i

30、1 c 1 2n 23x 2.61, s21.80 s 1.34 假设： H 0 :0.3, H 1 :0.3( 或H 0 :0.3, H 1 :0.3) 则取统计量t X 0. 3 S /7 ，在H 0 为真条件下，t t(6)， 拒绝域 D t 0 t . 0 ( 5 6 ) t 1. 9 4 3 2 代入数据计算得 t 2.610.3 1.34/7 4.56 1.9432 从而拒绝H 0 ，即认为上海气候明显变暖。 五证明题五证明题 ( 8( 8 分分) ) 24设X t(n)，则X Z 2 (n ) / n ，其中Z N (0, 1)， 令 Y X2 Z2 2(n)/n Z2/1 2(

31、n)/n ， 则 Y F( 1 ,n.) 由 t 分布定义 P( X t 1 2 (n) P( X t 2 (n) P( X2 t2 (n) P(Y t2 1 (n) P(Y F (1,n) 22 t 2 1/2 (n) F (1, n). 16 / 60 ( 6 分) ( 2 分) ( 2 分) ( 2 分) ( 4 分) ( 4 分) ( 2 分) ( 2 分) 上海交通大学试卷（ A 卷） （ 2008至 2009学年 第 2 学期 ） 2009.7.1 班级号_学号_姓名 一一是非题（共是非题（共 6 6 分，每题分，每题 1 1 分）分） 1在事件A发生条件下 , 事件B与C同时发生

32、的概率为1，则必有A BC。 （） 2二维随机变量(X,Y)在矩形域G (x, y) a x b,c y d上服从均匀分布， 则 X,Y （） 相互独立。 3若连续随机变量X的密度函数f (x)关于直线x 0对称，则数学期望必存在且为 0. （） 4.若 随 机 变 量X与Y相 互 独 立 ， 则X与Y必 不 相 关 。 （） 5 若X i N ( 0 ,1(i 1, 2, （） 6( X1, X 2 , （） 二二填空题（共填空题（共 2424 分，每题分，每题 3 3 分）分） 7P(A) 0.4，P(A B) 0.2 P(B A)，则P(AB) _。 8 设随机变量X N(1, 1 )，

33、Y N( 2 , 2 )， 1 0， 2 0， 且Y 3X 2。 则数学期望E(XY) 。 9设随机变量(X ,Y)服从区域x y 2上的均匀分布，则在Y 1的条件下X的 条件密度函数f X|Y (x |1) 22 22 2,n) ,则X 1 2 X 2 2 X n 2(n). 1m , X m )是总体B(n, p)的样本，则pX i 是参数 p 的无偏估计。 nm i1 17 / 60 。 10 二 维 随 机 变 量 (X,Y) N(1, 4;1, 9; 0.5) ,令 Z 2X Y ， 则 。 cov(Z,Y)_。 cov(X,Y) 0.54 9 3 cov(2X Y,Y) cov(2

34、X,Y) cov(Y,Y) 2cov( X,Y) cov(Y,Y) 6 D(Y) 69 _。 11在独立试验中，每次试验成功的概率为p，则在成功 2 次之前已经失败 3 次的 概率为。 我承诺，我承诺， 我将严我将严 题号 得分 批阅人 一二三20-2223-26总分 格遵守考试纪律。格遵守考试纪律。 X 2 ， X 3 ， X 4 ) 为 取 自 总 体N(3，12 设 ( X 1 ，4) 的 样 本 ， 则P(1 X 5) 。 13设（X 1, X2 , X 9 ）是来自正态总体X N(, 4)的简单随机样本，则 9 P(X i X)28.72 _。 i1 14某清漆的干燥时间服从正态分布

35、N(, 0.36)现测得 9 个样品的平均干燥时间为 6 小时，则的置信度为 0.95 的单侧置信区间上限为。 X N(0,1)， n 6 0.6 9 N(0.1) 66 p ? 0.95查表的p 1.645 0.95 0.6 0.6 99 18 / 60 p 6 1.6450.6 0.95 9 *为了了解一台测量长度的仪器的精度，对一根长为30mm 的标准金属棒进行 6 次重 复测量，测得 结果如下： 30.1 29.9 29.8 30.3 30.2 29.6 假 定 测 量 值 服 从N(, 为。 2)， 其 中 未 知 。 则的 置 信 度 为 0.95 的 置 信 区 间 X S n

36、t(n1)， X S 6 t(61) X X p ? 0.95查表的p t0.025(6 1) 0.95 SS 66 X p 2.4469 0.95 S 6 17（070802） 为了了解一台测量长度的仪器的精度，对一根长为30mm 的标准金属棒 进行 6 次重复测量，测得 结果如下： 30.1 29.9 29.8 30.3 30.2 29.6 假 定 测 量值 服从N(, )， 其 中 为。 2 未 知 。则 2 的 置 信 度为 0.95 的 置信 区间 (n 1S )2(n 1)S2 2 (n 1) (n 1S )2 ( 5) ) 2p( ? 2 ? )0. 9 5 p( 0 . 9 7

37、(55 ) 2 0 . 0 2 5 0. 9 5 p(0.831 (n 1)S2 2 (n 1)S2(n 1)S2 212.833) 0.95p() 0.95 12.8330.831 19 / 60 三三单项选择题（共单项选择题（共 1515 分，每题分，每题 3 3 分）分） 15设B A，则下面正确的等式是 （）P(AB) 1 P(A)；（）P(B | A) P(B)； （）P(A| B) P(A)；（）P(B A) P(B) P(A)。 16设( X1, X 2 , 量 , X n )为来自正态总体N(,2)的样本，X 为样本均值，已知统计 Y k(X i X)2 X2是参数2的无偏点估

38、计量，则常数k i1 n （） 11 ；（）； nn1 （） 11 ；（）。 nn 1 17设随机变量X的分布函数F(x) 0.2(x) 0.8(x / 2 0.5)，(x)为标准正 态分布函数， 则X的数学期望E(X) （）0.2 ；（）0.4 ； （）0.8 ；（）1 。 18设X 1 , X n ,为独立随机变量序列，X i (i 1,2,)服从指数分布E(2)，(x) 为 标准正态分布函数，x为任一实数。则下列选项中正确的是 2n4n1 X n xlimPX x(x)； （）limP； （）(x) ii nn n2n i1i1 2n （）limP4(X 2) x(x)；（）lim P

39、(X i n) x(x)。 nn n i1i1 19设( X1, X 2 , n , X n )为来自正态总体N(,2)的样本，又Y N(,2)且 与X i (i 1,2n)相互独立，X 与S2分别为样本均值和样本方差，则 （） Y X S n 1Y X t(n 1)； （） nS 20 / 60 n t(n 1)； n 1 （） Y X S n 1Y X t(n)； （） nS n t(n)。 n 1 四四解答题解答题 ( ( 共共 4848 分分, , 每题每题 8 8 分分) ) 20某台机器正常工作时，所生产的一等品与二等品各为 50%。该机器不能正常工作 时，生产的一等品为 25%，

40、二等品为 75%。已知这台机器有 10%的时间不能正常工作。现 从该机器在某特定的时间内生产的所有产品中随机地选取1 件， 查看后仍放回， 共依次查看 5 件。 （1）如果该机器在此特定的时间内正常工作，试求取到的为 4 件一等品、1 件二等品 的概率； （2）如果取到的为 4 件一等品、1 件二等品，试求该机器在此特定时间内正常工作的 概率。 21设二维随机变量 (X,Y) 的联合密度函数为 xex(1y) f (x,y) 0 求随机变量Z x 0,y 0 其他 。 X Y 的分布函数F(x)与密度函数f (x)。 21 / 60 19（08-7 题） 学校某课程考试成绩分优秀、及格、不及格

41、三种，优秀得3 分、及格得 2 分、不及格得 1 分.根据以往统计参加考试的学生获优秀及格不及格的分别占20%、70%和 10%. 现有 100 位学生参加考试, (1) 试用切贝雪夫不等式估计这100 位学生考试总分在 200 分至 220 分的概率； (2) 用中心极限定理近似计算这100 位学生考试总分在 200 分至 220 分的概率 22 / 60 X i 是第 i 个人的得分 X i 的分布为 Xi p 3 0.20 2 0.70 1 0.10 E(X i ) 30.2 20.7 10.1 2.1 E(X i 2) 320.2 220.7 120.1 4.7 D(X i ) EX

42、i 2 E2(X i ) 0.29 E(X i ) 210 i1 100 D(X i ) 100D(X i ) 29 i1 100 (1) P(200 X i1 100 i 220) P(200 210 X i E(X i ) 220 210) i1i1 100100 P(X i E(X i ) 10) 1 i1i1 100100 D(X i ) i1 100 102 0.71 (2) X i1 100 i N210, 29(近似) 100 P(200 X i 220) ( i1 220 210 29 )( 200 210 29 ) (1.87)(1.87) (1.87)1 20.96931

43、22如果要估计抛掷一枚图钉时尖头朝上的概率，为了有 95%以上的把握保证所观察 到的频率与概率 p 的绝对误差小于 p 10 ，试用中心极限定理估计至少应该作多少次试验？ 23 / 60 23已知X 1 ， X 2 ， ， X n 是取自于总体X的样本，且X的分布函数为 F(x；) 12x2， x （0） ， f (x；) 2 2x3， 0，其他 0， 试求：(1) 的矩估计量 ；(2) 的极大似然估计量L。 24 / 60 x 其他 E(x ) xf (x)dx 21 222 x 2x dx 2 0(2) 2 21 E(X) 2 X 所以的矩估计量 X 2 322x n 2323 似然函数

44、L(x 1,x2 ,., x n ,) 2x 1 2x 2 3ln L(x 1,x2 ,., x n ,) ln(2n2nx 1 3x 2 3x n ) nln22nln3(ln x 1 ln x 2 .ln x n ) 2n lnL(x 1,x2 ,., x n ,) 0不能做 3 2 n2nx 1 3x 2 L(x 1,x2 ,., x n ,) f (x 1, ) f (x 2 ,).f (x n ,) 0 3x n , x 1, x 2 ,., x n 3 2 n2nx 1 3x 2 0 3x n , min(x 1,x2 ,., x n ) min(x 1,x2 ,., x n )

45、min(X 1, X2 ,., X n ) 24设随机变量（X,Y）的分布律如下所示，求：(1)D(maxX,Y)；(2) 25 / 60 YX 0 1 -1 5/20 3/20 0 2/20 3/20 1 6/20 1/20 XY。 25化肥厂用自动包装机包装化肥，某日测得9 包化肥的质量（单位：kg）如下： 49.750.449.950.550.149.749.850.350.5 设每包化肥质量服从正态分布，是否可以认为每包化肥的平均质量为50 kg？是否可以认为 每包化肥的平均质量显著偏小于 50 kg？是否可以认为每包化肥的平均质量显著偏大于 50 kg？取( 0.05)。 H0 :

46、50H 1 50 X 50 S n t(91) X 50 W t(8) t 0.025 (8) 2.306 2 S n 1n X x i 50.1 n i1 1n 2S(x i x)2 n 1 i1 S 1n 2(x x) i n 1 i1 X 50 0.89, 因为0.89 2.306，所以接受 H0 认为化肥的平均质量为50 kg。 S n H0 : 50H 1 50 X 50 S n t(91) 26 / 60 X 50 W t(8) t 0.05 (8) 1.8595 S n X 50 0.89 1.8595， 不认为显著偏小于 50 kg。 S n H0 : 50H1 50 X 50

47、 S n t(91) X 50 W t(8) t 0.05 (8) 1.8595 S n X 50 0.89 1.8595， 不认为显著偏大于 50 kg。 S n 五证明题五证明题 ( (本题本题 7 7 分分) ) 26设连续型随机变量X的数学期望存在，F(x)为X的分布函数。已知对常数a， 恒有P(X a) 1。证明： （1）x a时，F(x) 0； （2）E(X) a。 附表： 标准正态分布数值表 分布数值表t 分布数值表 27 / 60 2 2(8) 15.507t 0.05 (8) 1.8595(2) 0.9772 0.05 2( 5 8 )2. 1 8t 0.025 (8) 2.

48、306(0.5) 0.6915 0 . 9 7 2(9) 16.919t 0.05 (9) 1.8331(1) 0.8413 0.05 2(9) 2.70t 0.025 (9) 2.2622(1.96) 0.975 0.975 概率统计试卷概率统计试卷 (A(A 类类) )(评分标准 )方框内为 B 卷答案 2009.7.1 一一是非题（共是非题（共 6 6 分，每题分，每题 1 1 分）分） 非是非是非是 是非非是非是 二二填空题（共填空题（共 2424 分，每题分，每题 3 3 分）分） 0.5 1 x 1 70.32 0.42；8 12 12 ；9f X|Y (X |1) ； 0其他 1

49、03 3；114p (1 p)；12(2) (4) 0.9772； 13.0.975 14.6.3925.608 . 三三单项选择题（共单项选择题（共 1515 分，每题分，每题 3 3 分）分） ddcabccdba 四四解答题解答题 ( ( 共共 4848 分分, , 每题每题 8 8 分分) ) 20设事件 A 表示“机器正常工作” ，事件 B 表示“该机器生产的是一等品” ，则 23 P(A) 0.9P(A) 0.1P(B| A) P(B| A) 0.5 P(B| A) 0.25P(B| A) 0.75 （2 分） 设事件C表示 “在选取的5个产品中有4个一等品和1个二等品” ， 则由

50、C 得 (A A)， 28 / 60 （ （2 分） 1）P(C | A) C5 4(0.5)4(10.5) 5 0.156 32 （2）P(C) P(A)P(C| 1 5 A) P(A)P(C| A) 4 1 5 4 P(A)C P(B| A) P(B | A) P(A)C P(B| A) P(B | A) 50.9(0.5) 5 0.1(0.25)40.75 5 0.02842 0.1421. （2 分） 所以该机器在该特定时间内正常工作的概率为 P(A)P(C | A)0.9(0.5) 5 P(A |C) 0.9897 P(C)0.02842 （2 分） 21解：当 z 0 时， F Z

51、 (z ) ； （1 分） 当z Y ) z0时，F Z ( z) P( Zz)P( X dxxex(1y)dy 1ez 0 z x 0 ( f ,x ) y dxdy x y z （3 分） 所以密度函数 e z f Z (z) 0 z 0 z 0 （4 分） 22设 n 次试验中尖头朝上有 X 次，则 X B( n, ， p E(X ) np, D(X ) np(1 p)（2 分） P (| （2 分） 29 / 60 n A p p |) 0.95 n10 P( 1npnA np1np ) 0.95 101 pnp(1 p)101 p 1np1np () () 0.95 101 p101

52、 p 1np1np 2() 1 0.95 () 0.975 101 p101 p 1np 1.96 101 p (1 p)19.62 n p （4 分） 23 （2 分） (1) （3 分） (2) （3 分） 24 （4 分） (2) （4 分） 25 （2 分） 检验统计量T 设 (1) 2 2x3 x X f (x;) x 0 0.5X ； minX ， X n L1 X 2 ， 。 D(maxX,Y) 91 0.2275 400 ； XY 33 0.20006 299 91 。 H 0 :50;H 1 :50 . . X t(n1) 拒绝域W： T t0.025(8) 2.306， S

53、 /n 30 / 60 19 2 9 2x 50.1, s x i x 0.1125， 8 i1 8 2 T 分） 50.150 0.89 2.306， （4 0.3354/9 拒绝域 T W因为当H 0 为真时，T W，所以接受H 0 . .（2 分） 五证明题五证明题 ( (本题本题 7 7 分分) ) 26.（1）1 F(a) 1 P(X a) P(X a) 1 F(a) 0，由F(x)的单调不减 F(x) 0 , x a （4 分） （2）设f (x)为X的密度函数； f (x) F(x) 0 , x a，从而 E(X ) a （3 分） a xf (x)dx a xf (x)dx a

54、 af (x)dx f (x)dx af (x)dx a 31 / 60 上海交通大学试卷（ A 卷） （ 2009至 2010学年 第 2 学期 ） 2010.7.7 班级号_学号_姓名 课程名称概率论与数理统计（B 类）成绩 一一单项选择题单项选择题（每题 3 分，共 15 分） 1已知f1(x)为标准正态分布的密度函数，f 2 (x)为区间(1,3)上均匀分布的密度函数， 随机变量X的密度函数为f (x) a f 1 (x), b f 2 (x), x 0 x 0 ； （a 0，b 0） ，则 (A)a b 3；(B)2a 3b 4； (C)a b 1；(D)2a 3b 1。 x 0 0

55、, 0 x 1，则概率P(X 1) 2设随机变量X的分布函数F(x) 1/2, 1ex,x 1 （A）0；（B）1/2； （C）1/2 e1；（D）1 e1。 1n 3设随机变量X 1 , X 2 , X n (n 1)独立同分布，方差为 0 。令Y X i ，则 n i1 2 (A)Cov(X 1 ,Y) 2 n ；(B)Cov(X 1 ,Y) ； 2 (C)D(X1Y) n2 2 n1 2 ；(D)D(X1Y) 。 nn 22 4设(X 1 , X 9 )为来自总体N(,)的简单随机样本，, 均未知，则的 置信度为 99%的置信区间是 （A）(X SSSS （B）t 0.025 (8),

56、X t 0.025 (8)；(X t 0.025 (9), X t 0.025 (9)； 3333 SSSS （D）(X t 0.005 (8), X t 0.005 (8)。t 0.01 (9), X t 0.01 (9)； 3333 （C）(X 32 / 60 我承诺，我承诺， 我将严我将严 题号 得分 批阅人 一二三19-2122-2425总分 格遵守考试纪律。格遵守考试纪律。 5设A,B为样本空间上的两对立随机事件，则P(B AB AB AB) （A）1；（B）P(B)； （C）P(B A )；（D）P(B A )。 二二填空题填空题（共 18 分，每题 3 分） 6 设 随 机 变 量X服 从 均 匀 分 布U(1,1)， 则Y eX的 密 度 函 数 fY(y) 。 7若(X,Y)的联合分布列为 (X,Y)(1,0) (1,2) (1,4) (0,0) (0,2) (0,4) P0.10.20.10.30.20.1 F(x, y)为(X,Y)的联合分布函数，则F(0, 2) 。 8设随机变量X与Y相互独立， 且都服从参数p 0.4的(0 1)分布，设