下半学期数学实验报告

1、高等数学数学实验报告高等数学数学实验报告 实验人员：院（系）实验人员：院（系） 土木工程学院学号土木工程学院学号 05A1121105A11211姓名于鹏姓名于鹏 实验地点：实验地点：计算机中心机房 实验一实验一 空间曲线与曲面的绘制空间曲线与曲面的绘制 一、实验题目：一、实验题目： （实验习题（实验习题 1-21-2） 利用参数方程作图，做出由下列曲面所围成的立体图形： 2222z 1 x y ,x y x 及平面；(1) (2) z xy,x y 1 0及z 0. 二、实验目的和意义二、实验目的和意义 1、利用数学软件绘制三维图形来观察空间曲线和空间曲面图形的特点， 以加强几何的直观性。

2、2、学会用绘制空间立体图形。 三、程序设计三、程序设计 空间曲面的绘制 x x(u,v) y y(u,v),uumin, max ,vv min ,v max 作参数方程 z z(u,v) 所确定的曲面图形的命令 为： 3Dx, ,选项 1 / 20 (1)(1) (2)(2) 四、程序运行结果四、程序运行结果 (1)(1) 2 / 20 1 0.75 0.5 0.25 0 1 0.5 0 0.5 1 0.5 0.25 0 0.25 0.5 1 1 0.5 0 0.5 1 0.75 0.5 0.25 0 0 0.25 0.5 0.75 1 3 / 20 1 0.75 0.5 0.25 0 1

3、0.5 0 0.5 1 1 1 0.5 0 0.5 （2） 4 / 20 五、结果的讨论和分析五、结果的讨论和分析 1、通过参数方程的方法做出的图形，可以比较完整的显示出空间中的 曲面和立体图形。 2、可以通过软件作出多重积分的积分区域，使积分能够较直观的被观 察。 3、从(1)中的实验结果可以看出，所围成的立体图形是球面和圆柱面所 围成的立体空间。 4、从(2)中的实验结果可以看出围成的立体图形的上面曲面的方程是 z xy，下底面的方程是0，右边的平面是x y 1 0。 实验一实验一 空间曲线与曲面的绘制空间曲线与曲面的绘制 一、实验题目：一、实验题目： （实验习题（实验习题 1-31-3）

4、 观察二次曲面族z x2y2kxy的图形。特别注意确定 k 的这样 一些值，当 k 经过这些值时，曲面从一种类型变成了另一种类型。 二、实验目的和意义二、实验目的和意义 1. 学会利用软件绘制三维图形来观察空间曲线和空间曲线图形的特点。 2. 学会通过表达式辨别不同类型的曲线。 三、程序设计三、程序设计 这里为了更好地分辨出曲线的类型，我们采用题目中曲线的参数 方程来画图，即z r2kr2costsint 输入代码： 3D3D r*tr*t，r*t2+ k*r2*t*t,r*t2+ k*r2*t*t, 5 / 20 t, 0, 2*, r, 0, 1t, 0, 2*, r, 0, 1， - 3

5、0 - 30 式中 k 选择不同的值：-4 到 4 的整数带入。 四、程序运行结果四、程序运行结果 4 4： 11 0.5 0 0.5 1 3 0.5 0 0.5 1 2 1 0 1 3 3： 11 0.5 0 0.5 1 0.5 0 0.5 1 2 1 0 2 2： 6 / 20 1 0.5 0 0.5 1 2 1.5 1 0.5 0 1 0.5 0 0.5 1 1:1: 1 0.5 0 0.5 1 1.5 1 0.5 0 1 0.5 0 0.5 1 0:0: 1 0.75 0.5 0.25 0 1 0.5 0 0.5 1 1 0.5 0 1 0.5 1:1: 7 / 20 1 0.5 0

6、0.5 1 1.5 1 0.5 0 1 0.5 0 0.5 1 2:2: 1 0.5 0 0.5 1 2 1.5 1 0.5 0 1 0.5 0 0.5 1 3:3: 1 1 0.5 0 0.5 1 0.5 0 0.5 1 2 1 0 4:4: 8 / 20 11 0.5 0 0.5 1 3 0.5 0 0.5 1 2 1 0 1 五、结果的讨论和分析五、结果的讨论和分析 k 取不同值，得到不同的图形。我们发现，当222 时，曲面为双曲抛物面。 实验二实验二 无穷级数与函数逼近无穷级数与函数逼近 一、实验题目：一、实验题目： （实验习题（实验习题 2-22-2） 改变例 2 中 m 及x 0

7、的数值来求函数的幂级数及观察其幂级数逼近函数 的情况。 二、实验目的和意义二、实验目的和意义 1.利用显示级数部分和的变化趋势。 2.学会如何利用幂级数的部分和对函数进行逼近以及函数值的近似计 算。 三、程序设计三、程序设计 若函数f (x) (1 x)m能展开成x 0 的幂级数（这里不验证） ，则根据函数展 开为幂级数的展开公式，其展开式为f (x) n0 f(n)(x 0 ) (x x 0 )n。因此首先 n! 9 / 20 定义 f (x)的 n 阶导数的函数 g(n,x 0 )，最后再构成和式即得f (x)的幂级 数展开式。用观察幂级数部分和逼近函数的情况。 2，x 0 =2 时 输入

8、如下命令： 2 2; ; f f ( (1 1) ) mm; ; x x0 0= =2 2; ; g g 0 0_ _ f f x x , , 0 0; ; s s gk,x0 * *( (0 0) ) k k, , k k, ,0 0 ; ; k! s s , , n n, ,2 20 0 ; ; p p1 1 t t , , 1 1/ /2 2, ,1 1/ /2 2 ; ; p p2 2 ( (1 1) ) mm, , 1 1/ /2 2, ,1 1/ /2 2 0 0, ,0 0, ,1 1 ; ; p p1 12 2 四、程序运行结果四、程序运行结果 从输出的图形观察 f (x)展开

9、的幂级数的部分和逼近函数f (x)的情况： 3.5 3 2.5 2 1.5 1 0.5 0.40.20.20.4 4 3 2 1 0.40.20.20.4 10 / 20 4 3 2 1 0.40.20.20.4 五、结果的讨论和分析五、结果的讨论和分析 从图中可以看到，当 n 越大时，幂级数越逼近函数。 实验二实验二 无穷级数与函数逼近无穷级数与函数逼近 一、实验题目：一、实验题目： （实验习题（实验习题 2-32-3） 观察函数f(x) f(x)的情况。 x, x 0 展成的傅里叶级数的部分和逼近 1, 0 x 二、实验目的和意义二、实验目的和意义 1.利用显示级数部分和的变化趋势。 2.

10、 学会展示傅里叶级数对周期函数的逼近情况。 三、计算公式三、计算公式 f(x)可以展开成傅里叶级数： 1 a 0 2 (a n cosnx n1 b n sinnx)，其中 a k f(x)coskxdx(k 0, 1, 2, )，b k 1 f(x)sinkxdx(k 0, 1, 2, ) 四、程序设计四、程序设计 输入代码： f = x 0, , 0 = x , 1;f = x 0, , 0 = x 0, 0, 1,g1 = fx, x, -2, 2, - 0, 0, 1, - ; m = 18; - ; m = 18; i = 1, i = m, i 2,i = 1, i ;g2 = s

11、x, i, x, , , - ; g1, g2, - $g1, g2, - $ 五、程序运行结果五、程序运行结果 3 2.5 2 1.5 1 0.5 321123 3 2.5 2 1.5 1 0.5 321123 12 / 20 3 2.5 2 1.5 1 0.5 -3-2-1123 3 2.5 2 1.5 1 0.5 -3-2-1123 13 / 20 3 2.5 2 1.5 1 0.5 321123 3 2.5 2 1.5 1 0.5 321123 14 / 20 3 2.5 2 1.5 1 0.5 321123 3 2.5 2 1.5 1 0.5 321123 3 2.5 2 1.5 1

12、 0.5 321123 六、结果的讨论和分析六、结果的讨论和分析 从图表可以看出， n 越大逼近函数的效果越好， 还可以注意到傅里叶级 数的逼近是整体性的。 15 / 20 实验三实验三 最小二乘法最小二乘法 一、实验题目：一、实验题目：( (实验习题实验习题 3-2)3-2) 一种合金在某种添加剂的不同浓度下进行实验，得到如下数据： 浓度 x 抗压强度 y 10.0 27.0 15.0 26.8 20.0 26.5 25.0 26.3 30.0 26.1 已知函数 y 与 x 的关系适合模型：y abxcx2， 试用最小二乘 法确定系数 a，b，c，并求出拟合曲线。 二、实验目的和意义二、实

13、验目的和意义 1. 学会利用最小二乘法求拟合曲线。 2. 学会画数据点的散点图及拟合函数的图形，并将两个图画在同 一坐标下。 三、计算公式三、计算公式 根据最小二乘法， 要求Q(a,b,c) (a i1 n bx i cx i 2) y i 2取最小值， 令此函数对各个参数的偏导等于 0， 解 1 元的方程组便可求得这些参数 的最小二乘解。 四、程序设计四、程序设计 输入代码： x = 10.0 + 5.0*i, i, 0, 4;x = 10.0 + 5.0*i, i, 0, 4; y = 27.0, 26.8, 26.5, 26.3, 26.1;y = 27.0, 26.8, 26.5, 2

14、6.3, 26.1; 16 / 20 = xi, yi, i, 1, 5; = xi, yi, i, 1, 5; q, , (a + b*xi + c*xi2 - yi)2, i, 1, 5q, , (a + b*xi + c*xi2 - yi)2, i, 1, 5 Dqa, b, c, a 0, Dqa, b, c, b 0,Dqa, b, c, a 0, Dqa, b, c, b 0, Dqa, b, c, c 0, a, b, cDqa, b, c, c 0, a, b, c t1 = , - 0.02,t1 = , - 0.02, - ; - ; f 27.56 + -0.057428

15、6*x + 0.000285714*x2;f 27.56 + -0.0574286*x + 0.000285714*x2; t2 = fx, x, 5, 35, - 5, 25,t2 = fx, x, 5, 35, - 5, 25, - ; - ; t1, t2, - $t1, t2, - $ 五、程序运行结果五、程序运行结果 首先得到 a，b，c 三个值： a - 27.56, b - -0.0574286, c - 0.000285714a - 27.56, b - -0.0574286, c - 0.000285714 然后得到同一坐标系下的数据点散点图及拟合函数的图形： 17 / 20

16、 27.2 27 26.8 26.6 26.4 26.2 5101520253035 六、结果的讨论和分析六、结果的讨论和分析 观察 a，b，c 的值以及图像可以发现，二次方项的系数非常小， 而所得的图像也非常接近于直线。 实验三实验三 最小二乘法最小二乘法 一、实验题目：一、实验题目：( (实验习题实验习题 3-3)3-3) 在研究化学反应速度时，得到下列数据： x i y i 3691215182124 57.6 41.9 31.0 22.7 16.6 12.28.96.5 其中x i 表示实验中作记录的时间，y i 表示在相应时刻反应混合物中物质 的量，试根据这些数据建立经验公式。 二、

17、实验目的和意义二、实验目的和意义 1. 学会利用最小二乘法求拟合曲线。 2. 学会由实际经验或相关的学科理论，能够提供拟合函数的可取 类型，通过适当的变量代换将拟合函数线性化，建立经验公式。 三、计算公式三、计算公式 18 / 20 在许多场合下，拟合函数不具有线性形式，但是由实际经验或相 关的学科理论，能够提供拟合函数的可取类型，而且可以通过适当的 变量代换将拟合函数线性化，同样可以建立经验公式。 模型 y aebx可以用变量替换Y ln y, X x将函数化为线性函数： Y lnabX。 四、程序设计四、程序设计 输入代码： （1）生成数据并作图观察 t1=3,6,9,12,15,18,21,24; y