中考数学中的最值问题解法

1、可编辑版 中考数学几何最值问题解法中考数学几何最值问题解法 在平面几何的动态问题中，当某几何元素在给定条件变动时，求某几何量（如线段的长度、图形的周 长或面积、角的度数以及它们的和与差）的最大值或最小值问题，称为最值问题。 解决平面几何最值问题的常用的方法有： （1） 应用两点间线段最短的公理 （含应用三角形的三边关系） 求最值； （2）应用垂线段最短的性质求最值； （3）应用轴对称的性质求最值； （4）应用二次函数求最值； （5）应用其它知识求最值。下面通过近年全国各地中考的实例探讨其解法。 应用两点间线段最短的公理（含应用三角形的三边关系）求最值应用两点间线段最短的公理（含应用三角形的三边

2、关系）求最值 典型例题：典型例题： 例例 1.1. 如图，MON=90，矩形 ABCD 的顶点 A、B 分别在边 OM，ON 上，当 B 在边 ON 上运动时，A 随之在 边 OM 上运动， 矩形 ABCD 的形状保持不变， 其中 AB=2， BC=1， 运动过程中， 点 D 到点 O 的最大距离为 【】 A 2 1 B 5 C 1455 5D 52 例例 2.2.在锐角三角形 ABC 中， BC=4 2， ABC=45， BD 平分ABC， M、N 分别是 BD、 BC 上的动点， 则 CM+MN 的最小值是 。 例例 3.3.如图，圆柱底面半径为2cm，高为9cm，点A、B 分别是圆柱两底

3、面圆周上的点，且A、B 在同一 母线上，用一棉线从 A 顺着圆柱侧面绕 3 圈到 B，求棉线最短为 cm。 Word完美格式 可编辑版 练习题：练习题： 1.1. 如图，长方体的底面边长分别为2cm和 4cm，高为 5cm.若一只蚂蚁从 P 点开 始经过 4 个侧面爬行一圈到达 Q 点，则蚂蚁爬行的最短路径长为【】 A.13cm B.12cm C.10cm D.8cm 2.2.如图，圆柱的底面周长为 6cm，AC 是底面圆的直径，高 BC=6cm，点 P 是母线 BC 上一点，且 PC= 只蚂蚁从 A 点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P 的最短距离是【】 2 BC一 3 A、(4 6 ) B、5

4、cm C、3 5 D、7cm 3.3.如图所示，在边长为 2 的正三角形 ABC 中，E、F、G 分别为 AB、AC、BC 的中点，点 P 为线段 EF 上一个 动点，连接 BP、GP，则BPG 的周长的最小值是 _ 二、应用垂线段最短的性质求最值：典型例题：二、应用垂线段最短的性质求最值：典型例题： 例例 1.1. （20122012 山东莱芜山东莱芜 4 4 分）分）在ABC 中，ABAC5，BC6若点 P 在边 AC 上移动，则 BP 的最小值是 Word完美格式 可编辑版 例例 2.2.如图，菱形ABCD 中，AB=2，A=120，点P，Q，K 分别为线段 BC，CD，BD 上的任意一

5、点，则PK+QK 的最小值为【】 A 1 B3 C 2 D31 例例 3.3.已知梯形 ABCD，ADBC，ABBC，AD1，AB2，BC3， 问题 1：如图 1，P 为 AB 边上的一点，以 PD，PC 为边作平行四边形 PCQD，请问对角线 PQ，DC 的长能否相 等，为什么？ 问题 2：如图2，若P 为 AB 边上一点，以PD，PC 为边作平行四边形 PCQD，请问对角线PQ 的长是否存在最 小值？如果存在，请求出最小值，如果不存在，请说明理由 问题 3：若 P 为 AB 边上任意一点，延长 PD 到 E，使 DEPD，再以 PE，PC 为边作平行四边形 PCQE，请探 究对角线 PQ

6、的长是否也存在最小值？如果存在，请求出最小值，如果不存在，请说明理由 问题 4：如图3，若P 为 DC 边上任意一点，延长PA 到 E，使AEnPA(n 为常数)，以PE、PB 为边作平行四 边形 PBQE，请探究对角线 PQ 的长是否也存在最小值？如果存在，请求出最小值，如果不存在，请说明理 由 例例 4.4. 如图，点 A 的坐标为（-1，0） ，点 B 在直线yx上运动，当线段 AB 最短 时，点 B 的坐标为【】 Word完美格式 可编辑版 A.（0，0） B.（ 222211 ，） C.（，） D.（，） 222222 例例 5.5.如图，在ABC 中，C=90，AC=BC=4，D

7、是 AB 的中点，点 E、F 分别在 AC、BC 边上运动（点 E 不 与点 A、C 重合） ，且保持 AE=CF，连接 DE、DF、EF在此运动变化的过程中，有下列结论： DFE 是等腰直角三角形； 四边形 CEDF 不可能为正方形； 四边形 CEDF 的面积随点 E 位置的改变而发生变化； 点 C 到线段 EF 的最大距离为 其中正确结论的个数是【】 A1 个B2 个C3 个D4 个 例例 6.6.如图，长方形纸片 ABCD 中，AB=8cm，AD=6cm，按下列步骤进行裁剪和拼图： 第一步： 如图， 在线段 AD 上任意取一点 E， 沿 EB， EC 剪下一个三角形纸片EBC(余下部分不

8、再使用)； 第二步：如图，沿三角形 EBC 的中位线 GH 将纸片剪成两部分，并在线段 GH 上任意取一点 M，线段 BC 上任意取一点 N，沿 MN 将梯形纸片 GBCH 剪成两部分； 第三步：如图，将 MN 左侧纸片绕 G 点按顺时针方向旋转 180，使线段 GB 与 GE 重合，将 MN 右侧 纸片绕 H 点按逆时针方向旋转 180，使线段 HC 与 HE 重合，拼成一个与三角形纸片 EBC 面积相等的四边 Word完美格式 可编辑版 形纸片 (注： 裁剪和拼图过程均无缝且不重叠)则拼成的这个四边形纸片的周长的最小值为cm， 最大值为cm 例例 8.8. 如图，ABC 中，BAC=60，

9、ABC=45，AB=22，D 是线段 BC 上的一个动点，以AD 为直径画 O 分别交 AB，AC 于 E，F，连接 EF，则线段 EF 长度的最小值为 例例 9.9. 如图所示， 在菱形 ABCD 中， AB=4，BAD=120， AEF 为正三角形， 点 E、F 分别在菱形的边 BCCD 上滑动，且 E、F 不与 BCD 重合 （1）证明不论 E、F 在 BCCD 上如何滑动，总有 BE=CF； （2）当点 E、F 在 BCCD 上滑动时，分别探讨四边形AECF 和CEF 的面积是否发生变化？如果不变，求 出这个定值；如果变化，求出最大（或最小）值 Word完美格式 可编辑版 例例 10.

10、10.在锐角ABC 中，AB=4，BC=5，ACB=45，将ABC绕点 B 按逆时针方向旋转，得到A1BC1 （1）如图 1，当点 C1在线段 CA 的延长线上时，求CC1A1的度数； （2）如图 2，连接 AA1，CC1若ABA1的面积为 4，求CBC1的面积； （3）如图 3，点 E 为线段 AB 中点，点 P 是线段 AC 上的动点，在ABC 绕点 B 按逆时针方向旋转过程中， 点 P 的对应点是点 P1，求线段 EP1长度的最大值与最小值 例例 11.11. 如图，在ABC 中，点 D、E 分别在边 BC、AC 上，连接 AD、DE，且1=B=C （1）由题设条件，请写出三个正确结论：

11、 （要求不再添加其他字母和辅助线，找结论过程中添加的字母和 辅助线不能出现在结论中，不必证明） 答：结论一：；结论二：；结论三： （2）若B=45，BC=2，当点 D 在 BC 上运动时（点 D 不与 B、C 重合） ， 求 CE 的最大值； 若ADE 是等腰三角形，求此时 BD 的长 （注意：在第（2）的求解过程中，若有运用（1）中得出的结论，须加以证明） 练习题：练习题： 1.1. 如图， OP 平分MON， PAON 于点 A，点 Q 是射线 OM 上的一个动点， 若 PA=2，则 PQ 的最小值为 【】 A、1B、2 C、3D、4 Word完美格式 可编辑版 2 2 如图，等腰梯形 A

12、BCD 中，ADBC，AD=AB=CD=2，C=60，M 是 BC 的中点 （1）求证：MDC 是等边三角形； （2）将MDC 绕点 M 旋转，当 MD（即 MD）与 AB 交于一点 E，MC（即 MC）同时与 AD 交于一点 F 时， 点 E，F 和点 A 构成AEF试探究AEF 的周长是否存在最小值如果不存在，请说明理由；如果存在， 请计算出AEF 周长的最小值 3.3.如图，O 的半径为 2，点 O 到直线 l 的距离为 3，点 P 是直线 l 上的一个动点， PQ 切O 于点 Q，则 PQ 的最小值为【】 A错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。 B错误！未找到引用源。错误！未找到引

13、用源。 C3 D2 4.4.如图，在四边形 ABCD 中，A=90，AD=4，连接 BD，BDCD，ADB=C若P 是 BC 边上一动点，则 DP 长的最小值为 5.5.如图，在 RtABC 中，C=90，AB=10cm，AC：BC=4：3，点 P 从点 A 出发沿 AB 方向向点 B 运动，速 度为 1cm/s，同时点Q 从点 B 出发沿 BCA 方向向点 A 运动，速度为2cm/s，当一个运动点到达终点时， 另一个运动点也随之停止运动 （1）求 AC、BC 的长； （2）设点 P 的运动时间为 x（秒） ，PBQ 的面积为 y（cm ） ，当PBQ 存在时，求 y 与 x 的函数关系式，

14、并写出自变量 x 的取值范围； （3）当点 Q 在 CA 上运动，使 PQAB 时，以点 B、P、Q 为定点的三角形与ABC是否相似，请说明理由； Word完美格式 2 可编辑版 （4）当 x=5 秒时，在直线 PQ 上是否存在一点 M，使BCM 得周长最小，若存在，求出最小周长，若不存 在，请说明理由 三、应用轴对称的性质求最值：典型例题：三、应用轴对称的性质求最值：典型例题： 例例 1.1. 如图，圆柱形玻璃杯高为12cm、底面周长为 18cm，在杯内离杯底 4cm 的点 C 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm 与蜂蜜相对的点 A 处，则蚂蚁到达蜂蜜的最 短距离为cm

15、例例 2.2. 如图，四边形 ABCD 中，BAD120，BD90，在 BC、CD 上分别找一点 M、N，使AMN 周长最小时，则AMNANM 的度数为【】 A130 B120 C110 D100 例例 3.3. 点 A、均在由面积为 1 的相同小矩形组成的网格的格点上，建立平面直角 坐标系如图所示若 P 是 x 轴上使得PAPB的值最大的点，Q 是 y 轴上使得 QA 十 QB 的值最小的点， 则OPOQ Word完美格式 可编辑版 例例4.4. 如图， 正方形ABCD中， AB=4， E是BC的中点， 点P是对角线AC上一动点， 则PE+PB的最小值为 例例 5.5.如图，MN 为O 的直

16、径，A、B 是 O 上的两点，过A 作 ACMN 于点 C，过 B 作 BDMN 于点 D，P 为 DC 上的任意一点，若 MN20，AC8，BD6，则 PAPB 的最小值是。 例例 6.6. 阅读材料： 例：说明代数式x21(x 3)24的几何意义，并求它的最小值 解：x21(x 3)2 4 (x 0)212(x 3)222，如图，建立平面直角坐标系，点P（x，0） 是 x 轴上一点，则(x 0)212可以看成点 P 与点 A（0，1）的距离，(x 3)2 22可以看成点 P 与点 B （3，2）的距离，所以原代数式的值可以看成线段PA 与 PB 长度之和，它的最小值就是PAPB 的最小值

17、设点 A 关于 x 轴的对称点为 A，则 PA=PA，因此，求 PAPB 的最小值，只需求 PAPB 的最小值， 而点A、 B间的直线段距离最短， 所以PAPB的最小值为线段AB的长度 为此， 构造直角三角形ACB， 因为 AC=3，CB=3，所以 AB=32，即原式的最小值为 32。 Word完美格式 可编辑版 根据以上阅读材料，解答下列问题： （1）代数式(x 1)21(x 2)29的值可以看成平面直角坐标系中点P（x，0）与点A（1，1） 、点B 的距离之和 （填写点 B 的坐标） （2）代数式x249 x212x37的最小值为 例例 7.7. 在学习轴对称的时候，老师让同学们思考课本中

18、的探究题。 如图（1） ，要在燃气管道l 上修建一个泵站，分别向A、B 两镇供气泵站修在管道的什么地方， 可使所用的输气管线最短？ 你可以在 l 上找几个点试一试，能发现什么规律？你可以在l上找几个点试一试，能发现什么规 律？ 聪明的小华通过独立思考，很快得出了解决这个问题的正确办法他把管道 l 看成一条直线（图（2） ） ， 问题就转化为，要在直线l 上找一点 P，使 AP 与 BP 的和最小他的做法是这样的： 作点 B 关于直线 l 的对称点 B 连接 AB交直线 l 于点 P，则点 P 为所求 请你参考小华的做法解决下列问题如图在ABC中，点 D、E 分别是 AB、AC 边的中点，BC=

19、6，BC 边上的 高为 4，请你在 BC 边上确定一点 P，使PDE 得周长最小 （1）在图中作出点 P（保留作图痕迹，不写作法） （2）请直接写出PDE周长的最小值： Word完美格式 可编辑版 练习题：练习题： 1.1. 如图，已知点 A(1，1)、B(3，2)，且 P 为 x 轴上一动点，则ABP的周长的 最小值为 2.2. 如图，在平面直角坐标系中，有A(1，2)，B(3，3)两点，现另取一点C(a，1)，当 a 时，AC BC 的值最小 3.3.去冬今春，济宁市遭遇了200 年不遇的大旱，某乡镇为了解决抗旱问题，要在某河道建一座水泵站，分 别向河的同一侧张村 A 和李村 B 送水。经

20、实地勘查后，工程人员设计图纸时，以河道上的大桥O 为坐标原 点，以河道所在的直线为x轴建立直角坐标系（如图） 。两村的坐标分别为 A（2，3） ，B（12，7） 。 (1) 若从节约经费考虑，水泵站建在距离大桥O 多远的地方可使所用输水管道最短？ (2) 水泵站建在距离大桥O 多远的地方，可使它到张村、李村的距离相等？ Word完美格式 可编辑版 4.4.如图，正方形 ABCD 的边长是 4，DAC 的平分线交 DC 于点 E，若点 P、Q 分别是 AD 和 AE 上的动点，则 DQ+PQ 的最小值【】 A、2 B、4 C、2 2 D、4 2 5.5.如图，在矩形 ABCD 中，AB6，BC8

21、，点 E 是 BC 中点，点 F 是边 CD 上的 任意一点，当AEF 的周长最小时，则 DF 的长为【】 A1B2C3D4 6.6.如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC=6，BD=8，点 E、F 分别是边 AB、BC 的 中点，点 P 在 AC 上运动，在运动过程中，存在PE+PF 的最小值，则这个最小值是 【】 A3 B4 C5 D6 Word完美格式 可编辑版 7.7.如图，在梯形ABCD 中，ABCD，BAD=90， AB=6，对角线AC 平分BAD，点E 在 AB 上，且AE=2（AE AD） ，点 P 是 AC 上的动点，则 PE+PB 的最小值是 四、应用二次函数求最值：典型

22、例题：四、应用二次函数求最值：典型例题： 例例 1.1.正方形 ABCD 的边长为 1cm， M、 N 分别是 BC CD 上两个动点， 且始终保持 AMMN， 当 BM=cm 时，四边形 ABCN 的面积最大，最大面积为cm 2 例例 2.2.如图，线段 AB 的长为 2，C 为 AB 上一个动点，分别以 AC、BC 为斜边在 AB 的同侧作两个等腰直角三 角形ACD 和BCE，那么 DE 长的最小值是 例例 3.3.在矩形 ABCD 中，AB=2，AD=3,P 是 BC 上的任意一点（P 与 B、C 不重合） ，过点 P 作 APPE，垂足为 P， PE 交 CD 于点 E. (1)连接

23、AE，当APE 与ADE 全等时，求 BP 的长； (2)若设 BP 为 x，CE 为 y，试确定 y 与 x 的函数关系式。当 x 取何值时，y 的值最大？最大值是多少？ (3)若 PEBD，试求出此时 BP 的长. Word完美格式 可编辑版 例例 4.4.如图，在平行四边形ABCD 中，AB=5，BC=10，F 为 AD 的中点，CEAB 于 E，设ABC= （60 90） （1）当 =60时，求 CE 的长； （2）当 60 90时， 是否存在正整数 k，使得EFD=kAEF？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由 连接 CF，当 CE CF 取最大值时，求 tanDCF 的值 2

24、2 例例 5.5.等边ABC 的边长为 2，P 是 BC 边上的任一点（与 B、C 不重合） ，连接 AP，以 AP 为边向两侧作等边 APD 和等边APE，分别与边AB、AC 交于点 M、N（如图 1） 。 （1）求证：AM=AN； （2）设 BP=x。 若，BM=，求 x 的值； 记四边形 ADPE 与ABC 重叠部分的面积为 S，求 S 与 x 之间的函数关系式以及 S 的最小值； 连接 DE，分别与边 AB、AC 交于点 G、H（如图 2） ，当 x 取何值时，BAD=15 ？并判断此时以 DG、GH、 HE 这三条线段为边构成的三角形是什么特殊三角形，请说明理由。 0 3 8 例例

25、6.6.如图，已知半径为 2 的O 与直线 l 相切于点 A，点 P 是直径 AB 左侧半圆上 的动点，过点P 作直线 l 的垂线，垂足为C，PC 与O 交于点 D，连接PA、PB，设PC 的长为错误！未找到错误！未找到 引用源。引用源。. 当x=错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。 时，求弦 PA、PB 的长度； 当 x 为何值时，PD PC错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。的值最大？最大值是多少？ 5 2 Word完美格式 可编辑版 B P O D CA l 例例 7.7.如图所示，现有一张边长为4 的正方形纸片 ABCD，点 P 为正方形 AD 边上的一点（不与点A、点 D 重

26、 合）将正方形纸片折叠，使点B 落在 P 处，点 C 落在 G 处，PG 交 DC 于 H，折痕为 EF，连接 BP、BH （1）求证：APB=BPH； （2）当点 P 在边 AD 上移动时，PDH 的周长是否发生变化？并证明你的结论； （3）设 AP 为 x，四边形 EFGP 的面积为 S，求出 S 与 x 的函数关系式，试问S 是否存在最小值？若存在， 求出这个最小值；若不存在，请说明理由 例例 8.8.如图，正三角形 ABC 的边长为3+ 3 （1）如图，正方形 EFPN 的顶点 E、F 在边 AB 上，顶点 N 在边 AC 上在正三角形 ABC 及其内部，以 A 为位似中心，作正方形

27、EFPN 的位似正方形EFPN，且使正方形EFPN的面积最大（不要求写作法） ； （2）求（1）中作出的正方形EFPN的边长； （3）如图，在正三角形ABC 中放入正方形 DEMN 和正方形 EFPH，使得D、EF 在边 AB 上，点P、N 分别在 边 CB、CA 上，求这两个正方形面积和的最大值及最小值，并说明理由 Word完美格式 可编辑版 例例 9.9. 如图，在ABC中，C=90，BC=5 米，AC=12 米M 点在线段 CA 上，从C 向 A 运动，速度为1 米/ 秒；同时 N 点在线段 AB 上，从 A 向 B 运动，速度为 2 米/秒运动时间为 t 秒 （1）当 t 为何值时，A

28、MN=ANM？ （2）当 t 为何值时，AMN 的面积最大？并求出这个最大值 例例 10.10.如图，A、B 两点的坐标分别是（8，0） 、 （0，6） ，点P 由点 B 出发沿 BA 方向向点 A 作匀速直线运动， 速度为每秒 3 个单位长度，点Q 由 A 出发沿 AO（O 为坐标原点）方向向点O 作匀速直线运动，速度为每秒 2 个单位长度，连接 PQ，若设运动时间为 t（0t （1）当 t 为何值时，PQBO？ （2）设AQP 的面积为 S， 求 S 与 t 之间的函数关系式，并求出S 的最大值； 若我们规定：点P、Q 的坐标分别为（x1，y1） ， （x2，y2） ，则新坐标（x2x1，

29、y2y1）称为“向量PQ”的 坐标当 S 取最大值时，求“向量 PQ”的坐标 10 ）秒解答如下问题： 3 。 例例 14.14.在 RtPOQ 中，OP=OQ=4,M 是 PQ 中点，把一三角尺的直角顶点放在点M 处，以 M 为旋转中心，旋转 三角尺，三角尺的两直角边与POQ的两直角边分别交于点 A、B， Word完美格式 可编辑版 (1)求证：MA=MB (2)连接 AB，探究：在旋转三角尺的过程中，AOB 的周长是否存在最小值，若存在，求出最小值，若不 存在。请说明理由。 例例 15.15. （20122012 江苏南京江苏南京 8 8 分）分） 某玩具由一个圆形区域和一个扇形区域组成，

30、 如图， 在 O 1 和扇形O2CD中， O 1 与O2C、O2D分别相切于 A、B，CO 2D 60 ，E、F 事直线O1O2与 O 1 、扇形O2CD的两个 交点，EF=24cm，设 O 1 的半径为 x cm， 用含 x 的代数式表示扇形O2CD的半径； 若 O 1 和扇形O2CD两个区域的制作成本分别为0.45 元/cm2和 0.06 元/cm2， 当 O 1 的半径为多少 时，该玩具成本最小？ C A E O O1 1 B O O2 2 F D 例例 16.16.（20122012 湖南娄底湖南娄底 1010 分）分）如图，在ABC 中，AB=AC，B=30，BC=8，D 在边 BC

31、 上，E 在线段 DC 上，DE=4，DEF 是等边三角形，边 DF 交边 AB 于点 M，边 EF 交边 AC 于点 N （1）求证：BMDCNE； （2）当 BD 为何值时，以 M 为圆心，以 MF 为半径的圆与 BC 相切？ （3）设 BD=x，五边形 ANEDM 的面积为 y，求 y 与 x 之间的函数解析式（要求写出自变量x 的取值范围） ； 当 x 为何值时，y 有最大值？并求 y 的最大值 Word完美格式 可编辑版 练习题：练习题： 1.1. （20112011 宁夏自治区宁夏自治区 1010 分）分）在等腰ABC 中，AB=AC=5，BC=6动点M、N 分别在两腰 AB、AC

32、 上（M 不与 A、B 重合，N 不与 A、C 重合） ，且 MNBC将AMN沿 MN 所在的直线折叠，使点A 的对应点为 P （1）当 MN 为何值时，点 P 恰好落在 BC 上？ （2）当 MN=x，MNP 与等腰ABC 重叠部分的面积为 y，试写出 y 与 x 的函数关系式当 x 为何值时，y 的值最大，最大值是多少？ 2.2.（20112011 福建龙岩福建龙岩 1414 分）分）如图，在直角梯形 ABCD 中，D=BCD=90，B=60，AB=6，AD=9，点 E 是 CD 上的一个动点(E 不与 D 重合)，过点 E 作 EFAC，交 AD 于点 F(当 E 运动到 C 时，EF

33、与 AC 重合)把 DEF 沿 EF 对折，点 D 的对应点是点 G，设 DE=x，GEF 与梯形 ABCD 重叠部分的面积为 y。 (1) 求 CD 的长及1 的度数； (2) 若点 G 恰好在 BC 上，求此时 x 的值； (3) 求 y 与 x 之间的函数关系式。并求x 为何值时，y 的值最大?最大值是多少? 3.3.（20112011 浙江杭州浙江杭州 1212 分）分）图形既关于点 O 中心对称，又关于直线AC，BD 对称，AC=10，BD=6，已知点 E，M 是线段 AB 上的动点（不与端点重合） ，点 O 到 EF，MN 的距离分别为h1，h2，OEF 与OGH 组成的图形称为蝶

34、形。 （1）求蝶形面积 S 的最大值； Word完美格式 可编辑版 （2）当以 EH 为直径的圆与以 MQ 为直径的圆重合时，求h1与h2满足的关系式，并求h2的取值范 围。 4.4. （20112011 江苏宿迁江苏宿迁 1212 分）分）如图，在边长为2 的正方形 ABCD 中，P 为 AB 的中点，Q 为边 CD 上一动点，设 DQt （0t2） ， 线段 PQ 的垂直平分线分别交边 AD、 BC 于点 M、 N， 过 Q 作 QEAB 于点 E， 过 M 作 MFBC 于点 F （1）当 t1 时，求证：PEQNFM； （2）顺次连接 P、M、Q、N，设四边形 PMQN 的面积为 S，

35、求 出 S 与自变量 t 之间的函数关系式，并求S 的最小值 5.5.（20112011 江苏淮安江苏淮安 1212 分）分）如图，在 RtABC 中，C90，AC8，BC6，点 P 在 AB 上，AP2。 点 E、F 同时从点 P 出发，分别沿 PA、PB 以每秒 1 个单位长度的速度向点A、B 匀速运动，点 E 到达点 A 后立即以原速度沿 AB 向点 B 运动，点 F 运动到点 B 时停止，点 E 也随之停止.在点 E、F 运动过程中， 以 EF 为边作正方形 EFGH，使它与ABC 在线段 AB 的同侧，设 E、F 运动的时间为t秒（t0） ，正 方形 EFGH 与ABC 重叠部分面积

36、为 S. （1）当t1 时，正方形 EFGH 的边长是； 当t3 时，正方形 EFGH 的边长是； （2） 当 0t2 时，求 S 与t的函数关系式； （3） 直接答出：在整个运动过程中，当t为何值时，S 最大？最大面积是多少？ Word完美格式 可编辑版 6.6.（20112011 内蒙古巴彦淖尔、赤峰内蒙古巴彦淖尔、赤峰1414 分）分）如图（图1，图2） ，四边形ABCD 是边长为 4 的正方形，点E 在线 段 BC 上，AEF=90，且 EF 交正方形外角平分线 CP 于点 F，交 BC 的延长线于点 N，FNBC （1）若点 E 是 BC 的中点（如图 1） ，AE 与 EF 相等吗

37、？ （2）点 E 在 BC 间运动时（如图 2） ，设 BE=x，ECF 的面积为 y 求 y 与 x 的函数关系式； 当 x 取何值时，y 有最大值，并求出这个最大值 A A D D P P P P A AC C F F F F B BE EC CN NB BE ED D N N 图 1图 2 五、应用其它知识求最值：典型例题：例五、应用其它知识求最值：典型例题：例 1.1.（20112011 山东滨州山东滨州 3 3 分）分）如图在ABC 中，B90， A30，AC4cm，将ABC 绕顶点 C 顺时针方向旋转至ABC 的位置，且 A、C、B三点在同一条直 线上，则点 A 所经过的最短路线的

38、长为【】 A、4 3cm错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。 D、cm错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。 B、8cm8cm C、 16 cm错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。 3 8 3 例例 2.2.（20122012 广西来宾广西来宾 3 3 分）分）如图，已知线段OA 交O 于点 B，且 OB=AB，点 P 是O 上的一个动点，那么 OAP 的最大值是【】 A30 B45 C60 D90 Word完美格式 可编辑版 例例 3.3.（20112011 贵州贵阳贵州贵阳 3 3 分）分）如图，ABC 中，C=90，AC=3，B=30，点P 是 BC 边上的动点，则AP 长不可

39、能是【】 A、3.5B、4.2 C、5.8D、7 例例 4.4.（20122012 河北省河北省 1212 分）分）如图 1 和 2，在ABC 中，AB=13，BC=14，cosABC= 5 13 探究：如图 1，AHBC 于点 H，则 AH=，AC=，ABC 的面积 SABC=； 拓展：如图 2，点 D 在 AC 上（可与点 A，C 重合） ，分别过点 A、C 作直线 BD 的垂线，垂足为 E，F，设 BD=x， AE=m，CF=n（当点 D 与点 A 重合时，我们认为 SABD=0） （1）用含 x，m，n 的代数式表示 SABD及 SCBD； （2）求（m+n）与 x 的函数关系式，并求

40、（m+n）的最大值和最小值； （3）对给定的一个 x 值，有时只能确定唯一的点D，指出这样的 x 的取值范围 发现：请你确定一条直线，使得 A、B、C 三点到这条直线的距离之和最小（不必写出过程） ，并写出这个 最小值 例例 5.5.（20112011 河北省河北省 1010 分）分）如图 1 至图 4 中，两平行线 AB、CD 间的距离均为 6，点 M 为 AB 上一定点 思考 如图 1，圆心为0 的半圆形纸片在 AB，CD 之间（包括AB，CD） ，其直径MN 在 AB 上，MN=8，点P 为半 圆上一点，设MOP= 当 = 度时，点 P 到 CD 的距离最小，最小值为 Word完美格式

41、可编辑版 探究一 在图 1 的基础上，以点M 为旋转中心，在AB，CD 之间顺时针旋转该半圆形纸片，直到不能再转动为 止，如图 2，得到最大旋转角BMO= 度，此时点 N 到 CD 的距离是 探究二 将如图 1 中的扇形纸片 NOP 按下面对 的要求剪掉， 使扇形纸片 MOP 绕点 M 在 AB， CD 之间顺时针旋 转 （1）如图 3，当 =60时，求在旋转过程中，点 P 到 CD 的最小距离，并请指出旋转角BMO 的最 大值； （2）如图 4，在扇形纸片 MOP 旋转过程中，要保证点P 能落在直线 CD 上，请确定 的取值范围 （参考数椐：sin49=错误！未找到引用源。错误！未找到引用源

42、。 ，cos41=错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。 ，tan37=错误！未错误！未 找到引用源。找到引用源。 ） 例例 6.6.（20112011 四川成都四川成都 4 4 分）分）在三角形纸片 ABC 中，已知ABC=90，AB=6，BC=8过点 A 作直线 l 平行 于 BC，折叠三角形纸片 ABC，使直角顶点 B 落在直线 l 上的 T 处，折痕为 MN当点 T 在直线 l 上移动时， 折痕的端点 M、N 也随之移动若限定端点M、N 分别在 AB、BC 边上移动，则线段AT 长度的最大值与最小 值之和为 （计算结果不取近似值） 例例 7.7.（20112011 陕西省陕西省 12

43、12 分）分）如图，在矩形 ABCD 中，将矩形折叠，使 B 落在边 AD（含端点）上，落点记 为 E，这时折痕与边 BC 或者边 CD（含端点）交于 F，然后展开铺平，则以 B、E、F 为顶点的三角形BEF 称为矩形 ABCD 的“折痕三角形” （1）由“折痕三角形”的定义可知，矩形ABCD 的任意一个“折痕BEF”是一个三角形 （2）如图、在矩形 ABCD 中，AB=2，BC=4， ，当它的“折痕BEF”的顶点 E 位于 AD 的中点时，画出这 个“折痕BEF”，并求出点F 的坐标； （3）如图，在矩形 ABCD 中，AB=2，BC=4，该矩形是否存在面积最大的“折痕BEF”？若存在，说明 理由，并求出此时点 E 的坐标？若不存在，为什么？ 图 图 图 图 例例 8.8.（20112011 浙江金华、丽水浙江金华、丽水 3 3 分）分）如图，西安路与南京路平行，并且与八一街垂直，曙光路与环城路垂 Word完美格式 可编辑版 直如果小明站在南京路与八一街的交叉口，准备去书店，按图中的街道行走，最近的路程约为【】 A、600mB、500m C、400m D、300m 例例 9.9.（20112011 湖北宜昌湖北宜昌 1010 分）分）如图 1，RtABC 两直角边的边长为 AC=1，BC=2 （1）如图2，O与