中考数学函数综合题题型及解题方法讲解

1、二次函数综合题型精讲精练二次函数综合题型精讲精练 主讲：康老师主讲：康老师 题型一：二次函数中的最值问题题型一：二次函数中的最值问题 例 1：如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y=ax2+bx+c 经过 A（2，4） ，O（0，0） ， B（2，0）三点 （1）求抛物线 y=ax2+bx+c 的解析式； （2）若点 M 是该抛物线对称轴上的一点，求 AM+OM 的最小值 解析： （1）把 A（2，4） ，O（0，0） ，B（2，0）三点的坐标代入 y=ax2+bx+c 中，得 解这个方程组，得 a= ，b=1，c=0 所以解析式为 y= x2+x （2）由 y= x2+x= （x1）2+ ，可

2、得 抛物线的对称轴为 x=1，并且对称轴垂直平分线段 OB OM=BM OM+AM=BM+AM 连接 AB 交直线 x=1 于 M 点，则此时 OM+AM 最小 过点 A 作 ANx 轴于点 N， 在 RtABN 中，AB= 因此 OM+AM 最小值为 = =4， 方法提炼：已知一条直线上一动点 M 和直线同侧两个固定点 A、B，求 AM+BM 最小值的问 题，我们只需做出点 A 关于这条直线的对称点 A，将点 B 与 A连接起来交直线与点 M， 那么 AB 就是 AM+BM 的最小值。同理，我们也可以做出点 B 关于这条直线的对称点 B， 将点 A 与 B连接起来交直线与点 M，那么 AB就

3、是 AM+BM 的最小值。应用的定理是： 两点之间线段最短。 AA BB M或者M AB 例 2：已知抛物线C 1 的函数解析式为y ax2bx 3a(b 0)，若抛物线C 1 经过点(0,3)，方程 ax2bx3a 0的两根为x 1 ，x 2 ，且x 1 x 2 4。 （1）求抛物线C 1 的顶点坐标. （2）已知实数x 0，请证明：x 11 2,并说明x为何值时才会有x 2. xx （3）若抛物线先向上平移 4 个单位，再向左平移 1 个单位后得到抛物线C 2 ，设A(m, y 1) ， B(n, y 2 )是C 2 上的两个不同点，且满足：AOB 900，m 0，n 0.请你用含有m的表

4、达式 表示出AOB的面积S，并求出S的最小值及S取最小值时一次函数OA的函数解析式。 解析：（1）抛物线过（,）点，3a a x2bx x2bx=的两根为x1,x2且 x 1 -x 2 x 1 x 2 (x 1 x 2 )24x 1 x 2 且b b x2x（x） 抛物线的顶点坐标为（，） （2）x，x x 11 22 ( x ) 0 xx 11 2,显然当x时，才有x 2, xx （3）方法一：由平移知识易得的解析式为：yx2 (m，m)，B（n，n） AOB为 Rt OA+OB=AB mmnn（mn）（mn） 化简得：m n 11 AOB=OAOB= m2 m4n2 n4 22 m n A

5、OB 111 2 m2 n22 m2 222m 11 1 1 1 (m)2 m 21 2m2m2 AOB的最小值为，此时m,(,) 直线OA的一次函数解析式为x 方法提炼：已知一元二次方程两个根 x1,x2,求|x1-x2|。因为|x1-x2|= (x 1 x 2 )24x 1x2 bb24acbb24ac 根据一元二次方程的求根公式x 1 ;x 2 ;可得到： 2a2a bc x 1 x 2 ;x 1x2 . aa m 11 2,(m o);当m 1时，m2 ，取得最小值。 mm 例 3：如图，已知抛物线经过点 A（1，0） 、B（3，0） 、C（0，3）三点 （1）求抛物线的解析式 （2）

6、点M 是线段 BC 上的点（不与B，C 重合） ，过M 作 MNy 轴交抛物线于 N，若点M 的横坐标为 m，请用 m 的代数式表示 MN 的长 （3）在（2）的条件下，连接NB、NC，是否存在m，使BNC 的面积最大？若存在，求m 的值；若不存在，说明理由 解析： （1）设抛物线的解析式为：y=a（x+1） （x3） ，则： a（0+1） （03）=3，a=1； 抛物线的解析式：y=（x+1） （x3）=x2+2x+3 （2）设直线 BC 的解析式为：y=kx+b，则有： ， 解得； 故直线 BC 的解析式：y=x+3 已知点 M 的横坐标为 m，则 M（m，m+3） 、N（m，m2+2m+

7、3） ； 故 MN=m2+2m+3（m+3）=m2+3m（0m3） （3）如图； SBNC=SMNC+SMNB= MN（OD+DB）= MNOB， SBNC= （m2+3m）3= （m ）2+ 当 m= 时，BNC 的面积最大，最大值为 （0m3） ； 方法提炼： 因为BNC 的面积不好直接求， 将BNC 的面积分解为MNC 和MNB 的面积和。 然后将BNC 的面积表示出来，得到一个关于m 的二次函数。此题利用的就是二次函数求最 值的思想，当二次函数的开口向下时，在顶点处取得最大值；当二次函数的开口向上时，在 顶点处取得最小值。 题型二：二次函数与三角形的综合问题题型二：二次函数与三角形的综

8、合问题 例 4：如图，已知：直线y x 3交 x 轴于点 A，交y 轴于点 B，抛物线y=ax2+bx+c 经过 A、B、C（1，0）三点. （1）求抛物线的解析式; （2）若点 D 的坐标为（-1，0），在直线y x 3上有一点 P,使 ABO 与 ADP 相似， 求出点 P 的坐标； （3）在（2）的条件下，在 x 轴下方的抛物线上，是否存在点 E，使 ADE 的面积等于 四边形 APCE 的面积？如果存在，请求出点 E 的坐标；如果不存在，请说明理由 解： （1） ：由题意得，A（3，0） ，B（0，3） 抛物线经过 A、 B、 C 三点， 把 A （3， 0） ， B （0， 3） ，

9、 C （1， 0） 三点分别代入y = ax2+ bx+ c 得方程组 9a 3b c 0 c 3 a b c 0 a 1 解得： b 4 c 3 抛物线的解析式为 y = x2- 4x+ 3 （2）由题意可得：ABO 为等腰三角形,如图所示， 若ABOAP1D，则 AOOB ADDP 1 DP1=AD=4, P1(- 1,4) 若ABOADP2，过点 P2作 P2Mx 轴于 M，AD=4, ABO 为等腰三角形, ADP2是等腰三角形,由三线合一可得：DM=AM=2= P2M， 即点 M 与点 C 重合P2（1，2） （3）如图设点 E(x, y)，则 S ADE 1 AD| y | 2|

10、y | 2 当 P1(-1,4)时， S 四边形 AP1CE=SACP1+SACE 11 242| y | 22 =4+ y 2 y = 4+ yy = 4 点 E 在 x 轴下方y = - 4 代入得： x2- 4x+ 3= - 4,即x24x7 0 =(-4)2-47=-120 此方程无解 当 P2（1，2）时，S 四边形 AP2CE=S三角形 ACP2+S三角形 ACE = 2+ y 2 y = 2+ yy = 2 点 E 在 x 轴下方y = - 2代入得：x2- 4x+ 3= - 2 即 x24x50，=(-4)2-45=-40 此方程无解 综上所述，在 x 轴下方的抛物线上不存在这

11、样的点 E。 方法提炼：求一点使两个三角形相似的问题，我们可以先找出可能相似的三角形，一般是 有几种情况，需要分类讨论，然后根据两个三角形相似的边长相似比来求点的坐标。要求 一个动点使两个图形面积相等，我们一般是设出这个动点的坐标，然后根据两个图形面积相 等来求这个动点的坐标。如果图形面积直接求不好求的时候，我们要考虑将图形面积分割成 几个容易求解的图形。 例 5：如图，点 A 在 x 轴上，OA=4，将线段 OA 绕点 O 顺时针旋转 120至 OB 的位置 （1）求点 B 的坐标； （2）求经过点 AO、B 的抛物线的解析式； （3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点 P，使得以点 P、O、

12、B 为顶点的三角形是等腰三 角形？若存在，求点 P 的坐标；若不存在，说明理由 解析： （1）如图，过 B 点作 BCx 轴，垂足为 C，则BCO=90， AOB=120， BOC=60， 又OA=OB=4， OC= OB= 4=2，BC=OBsin60=4 点 B 的坐标为（2，2） ； =2， （2）抛物线过原点 O 和点 AB， 可设抛物线解析式为 y=ax2+bx， 将 A（4，0） ，B（22 ， ）代入，得 解得， x2+x此抛物线的解析式为 y= （3）存在， 如图，抛物线的对称轴是 x=2，直线 x=2 与 x 轴的交点为 D，设点 P 的坐标为（2，y） ， 若 OB=OP，

13、 则 22+|y|2=42， 解得 y=2 当 y=2 ， =，时，在 RtPOD 中，PDO=90，sinPOD= POD=60， POB=POD+AOB=60+120=180， 即 P、O、B 三点在同一直线上， y=2不符合题意，舍去， ） |2=42， 点 P 的坐标为（2，2 若 OB=PB，则 42+|y+2 解得 y=2， 故点 P 的坐标为（2，2） ， |2，若 OP=BP，则 22+|y|2=42+|y+2 解得 y=2， ） ，故点 P 的坐标为（2，2 综上所述，符合条件的点 P 只有一个，其坐标为（2，2） ， 方法提炼：求一动点使三角形成为等腰三角形成立的条件，这种

14、题型要用分类讨论的思想。 因为要使一个三角形成为等腰三角形，只要三角形的任意两个边相等就可以，所以应该分三 种情况来讨论。 题型三：二次函数与四边形的综合问题题型三：二次函数与四边形的综合问题 例 6：综合与实践：如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+2x+3 与 x 轴交于 AB 两 点，与 y 轴交于点 C，点 D 是该抛物线的顶点 （1）求直线 AC 的解析式及 B，D 两点的坐标； （2）点 P 是 x 轴上一个动点，过 P 作直线 lAC 交抛物线于点 Q，试探究：随着 P 点的运 动，在抛物线上是否存在点 Q，使以点 AP、Q、C 为顶点的四边形是平行四边形？若存在， 请直接写

15、出符合条件的点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由 （3）请在直线 AC 上找一点 M，使BDM 的周长最小，求出 M 点的坐标 解析： （1）当 y=0 时，x2+2x+3=0，解得 x1=1，x2=3 点 A 在点 B 的左侧， AB 的坐标分别为（1，0） ， （3，0） 当 x=0 时，y=3 C 点的坐标为（0，3） 设直线 AC 的解析式为 y=k1x+b1（k10） ， 则， 解得， 直线 AC 的解析式为 y=3x+3 y=x2+2x+3=（x1）2+4， 顶点 D 的坐标为（1，4） （2）抛物线上有三个这样的点 Q， 当点 Q 在 Q1位置时，Q1的纵坐标为 3，代入抛物线可

16、得点 Q1的坐标为（2，3） ； 当点 Q 在点 Q2位置时，点 Q2的纵坐标为3， 代入抛物线可得点 Q2坐标为（1+，3） ； 当点 Q 在 Q3位置时，点 Q3的纵坐标为3， 代入抛物线解析式可得，点 Q3的坐标为（1 综上可得满足题意的点 Q 有三个，分别为： Q1（2，3） ，Q2（1+，3） ，Q3（1，3） ，3） ； （3）点 B 作 BBAC 于点 F，使 BF=BF，则 B为点 B 关于直线 AC 的对称点 连接 BD 交直线 AC 与点 M，则点 M 为所求， 过点 B作 BEx 轴于点 E 1 和2 都是3 的余角， 1=2 RtAOCRtAFB， ， 由 A（1，0）

17、 ，B（3，0） ，C（0，3）得 OA=1，OB=3，OC=3， AC= BF= ，AB=4 ， ， ，BB=2BF= 由1=2 可得 RtAOCRtBEB， ， ，即 BE=，BE=， 3= ， ） OE=BEOB= B点的坐标为（ 设直线 BD 的解析式为 y=k2x+b2（k20） ， 解得， x+， ， 直线 BD 的解析式为：y= 联立 BD 与 AC 的直线解析式可得： 解得， ，） M 点的坐标为（ 方法提炼：求一动点使四边形成为平行四边形成立的条件，这种题型要用分类讨论的思想， 一般需要分三种情况来讨论。 题型四：二次函数与圆的综合问题题型四：二次函数与圆的综合问题 例 7：

18、如图，半径为 2 的C 与 x 轴的正半轴交于点 A，与 y 轴的正半轴交于点 B，点 C 的 坐标为（1，0） 若抛物线 y （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线上是否存在点 P，使得PBO=POB？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在 说明理由； （3） 若点 M 是抛物线 （在第一象限内的部分） 上一点， MAB 的面积为 S， 求 S 的最大 （小） 值 3 2x bxc过 A、B 两点 3 解析： （1）如答图 1，连接 OB BC=2，OC=1 OB=41 3 B（0，3） 将 A（3，0） ，B（0，3）代入二次函数的表达式 3 2 3 93bc 0b 得 3 ，解得： 3

19、， c 3 c 3 y 3 2 2 3 x x3 33 （2）存在 如答图 2，作线段 OB 的垂直平分线 l，与抛物线的交点即为点 P B（0，3） ，O（0，0） ， 直线 l 的表达式为y 3 代入抛物线的表达式， 2 得y 3 2 2 33 x x3 ； 332 10 ， 2 解得x 1 P（1 103 ，） 22 （3）如答图 3，作 MHx 轴于点 H 设 M（x m，ym ） ， 111 则 SMAB=S 梯形 MBOH+SMHASOAB= （MH+OB）OH+HAMHOAOB 222 111 = (y m 3)x m (3 x m )y m 3 3 222 = 333 x m

20、y m 3 222 y m S MAB = 3 2 2 3 x m x m 3， 33 333 2 2 33 3 x m (x m x m 3) 22332 3 2 3 3339 3 x m x m (x m )2 22228 当x m 39 3 时，S MAB 取得最大值，最大值为 28 题型五：二次函数中的证明问题题型五：二次函数中的证明问题 例 8：如图 11，已知二次函数y （1）求二次函数的解析式： （2）求证：ACB 是直角三角形； （3）若点 P 在第二象限，且是抛物线上的一动点，过点 P 作 PH 垂直 x 轴于点 H，是否存 在以 P、H、D、为顶点的三角形与ABC 相似？若

21、存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请 说明理由。 1 (x 2)(ax b)的图像过点 A(-4，3），B(4，4). 48 解：（1）将 A(-4，3），B(4，4)代人y 1 (x 2)(ax b)中，整理得： 48 4a -b 72 a 13 解得 b -20 4a b 32 二次函数的解析式为：y 1315 整理得： x2y x- 4886 1 (x 2)(13x-20) ， 48 13 2 15 x x- 0 20 86 13x2 6x-40 0 x 1 2,x 2 （2）由 48 整理 13 20 （， 0）C （-2，0） D 13 从而有：AC2=4+9BC2=36+16AC

22、2+ BC2=13+52=65 AB2=64+1=65 AC2+ BC2=AB2故ACB 是直角三角形 1315 （3）设 p(x， x2x- ) （X0） 4886 201315 PH= x2x-HD=- x AC=13BC=2 13 134886 PHHD 当PHDACB 时有： ACBC 13 2 1520 x x - x 13 2 5125 86 13 x x-0 即： 48 整理 24439132 13 203550 x 2 （舍去）此时，y 1 131313 50 35 p 1 (- ， ） 13 13 x 1 - 当DHPACB 时有： DHPH ACBC 2013 2 15 -

23、 xx x - 86 整理 13 x2 17 x - 305 0 即：13 48 48878 132 13 284 20122y 1 x 1 -x2（舍去）此时， 13 1313 p 2 (- 122 284 ，） 1313 50 35122 284 ， ） ，）p 2 (- 13 131313 综上所述，满足条件的点有两个即 p 1 (- 例 9： 在平面直角坐标系 xOy 中，点P 是抛物线：y=x2上的动点（点在第一象限内） 连接 OP，过点 0 作 OP 的垂线交抛物线于另一点 Q连接 PQ，交 y 轴于点 M作 PA丄 x 轴于 点 A，QB 丄 x 轴于点 B设点 P 的横坐标为

24、m （1）如图 1，当 m=时， 求线段 OP 的长和 tanPOM 的值； 在 y 轴上找一点 C，使OCQ 是以 OQ 为腰的等腰三角形，求点 C 的坐标； （2）如图 2，连接 AM、BM，分别与 OP、OQ 相交于点 D、E 用含 m 的代数式表示点 Q 的坐标； 求证：四边形 ODME 是矩形 解析： （1）把 x=代入 y=x2，得 y=2，P（，2） ，OP= =PA丄 x 轴，PAMOtanP0M=tan0PA= 设 Q（n，n2） ，tanQOB=tanPOM， Q（ n= ） ，C2（0，） ； ， ） ，OQ= 当 OQ=OC 时，则 C1（0， 当 OQ=CQ 时，则

25、C3（0，1） （2）P（m，m2） ，设 Q（n，n2） ，APOBOQ， ，得 n=，Q（，） ，）代入，得：设直线 PO 的解析式为：y=kx+b，把 P（m，m2） 、Q（ 解得 b=1，M（0，1） ，QBO=MOA=90， QBOMOA MAO=QOB， QOMA 同理可证：EMOD 又EOD=90， 四边形 ODME 是矩形 题型六：自变量取值范围问题题型六：自变量取值范围问题 例 10：如图，在平面直角坐标系 xOy 中，四边形 ABCD 是菱形，顶点 ACD 均在坐标 轴上，且 AB=5，sinB= （1）求过 ACD 三点的抛物线的解析式； （2）记直线 AB 的解析式为

26、y1=mx+n， （1）中抛物线的解析式为 y2=ax2+bx+c，求当 y1 y2时，自变量 x 的取值范围； （3）设直线AB 与（1）中抛物线的另一个交点为 E，P 点为抛物线上 AE 两点之间的一个 动点，当 P 点在何处时，PAE的面积最大？并求出面积的最大值 解析： （1）四边形 ABCD 是菱形， AB=AD=CD=BC=5，sinB=sinD= ； RtOCD 中，OC=CDsinD=4，OD=3； OA=ADOD=2，即： A（2，0） 、B（5，4） 、C（0，4） 、D（3，0） ； 设抛物线的解析式为：y=a（x+2） （x3） ，得： 2（3）a=4，a= ； 抛物线：y= x2+ x+4 （2）由 A（2，0） 、B（5，4）得直线 AB：y1= x ； 由（1）得：y2= x2+ x+4，则： ， 解得：，； 由图可知：当 y1y2时，2x5 （3）SAPE= AEh， 当 P 到直线 AB 的距离最远时，SABC最大； 若设直线 LAB，则直线 L 与抛物线有且只有一个交点时，该交点为点 P； 设直线 L：y= x+b，当直线 L 与抛物线